ROZWIĄZANIA ZADAŃ EGZAMINACYJNYCH
Z PODSTAW ELEKTROTECHNIKI
STUDIUM ZAOCZNE (GRUDZIĄDZ)
SEMESTR II
z dnia 03.07.2004
Dla podanego obwodu napisać równania według metody potencjałów węzłowych umożliwiających jego rozwiązanie.
Rozwiązanie
Narzucone w treści zadania oznaczenia (nazwy) potencjałów punktów węzłowych oraz zerowa (odniesieniowa) wartość potencjału pozwalają określić potencjał jednego z węzłów bezpośrednio:
Pozostałe równania zapisać należy bazując na prądowym prawie Kirchhoffa następująco:
- dla węzła z potencjałem V1 ,
- dla węzła z potencjałem V2 .
Proste przekształcenia tych równań prowadzą do układu:
,
.
Zadanie 2
Obliczyć wartość rezystancji Rx, przy której moc wydzielona w tym rezystorze ma wartość największą. Obliczyć tę moc.
W celu rozwiązania zadania należy „wyciąć” z obwodu rezystor Rx i punktu widzenia zacisków, pozostałych po tym cięciu, zastosować twierdzenie Thevenina o zastępczym źródle napięciowym. W ten sposób obwód zostanie doprowadzony do postaci pokazanej na następującym rysunku:
Wyznaczenie wartości zastępczego napięcia źródłowego Thevenina ET polega na rozwiązaniu obwodu pozostałego po „wycięciu” Rx w obwodzie
Zastosowanie twierdzenia Thevenina w tym obwodzie przekształci obwód do postaci:
Tutaj już prosto wyznaczyć można napięcie na zaciskach pozostałych po Rx, bowiem ze względu na równowagę źródeł napięciowych, w obwodzie prąd nie będzie płynął. W związku z tym ET = 40 V. Rezystancja RT będzie efektem połączenia równoległego 1 kW i 5 kW (2 kW + 3 kW) czyli RT = 833 W. Dopasowanie energetyczne osiągnięte zostanie dla Rx = RT = 833 W, zaś maksymalna moc wydzielająca się na Rx będzie
Zadanie 3
Obliczyć wartość średnią i wartość skuteczną podanego okresowo zmiennego przebiegu napięcia.
Obliczenia wartości średniej i skutecznej przebiegu okresowego wymagają, zgodnie z definicja tych wartości, całkowania przebiegu oraz jego kwadratu w przedziale równym okresowi. Należy więc przede wszystkim zadany przebieg napięcia opisać analityczne w przedziale okresowości:
Zgodnie z definicją wartości średniej:
Podobnie wartość skuteczna:
Zadanie 4
Na rysunku przedstawiono przebieg mocy chwilowej p(t) odbiornika. Wyznaczyć współczynnik mocy tego odbiornika oraz częstotliwość napięcia zasilającego.
Współczynnik mocy odbiornika, jak wiadomo, jest stosunkiem mocy czynnej do pozornej tego odbiornika. Z załączonego rysunku, przedstawiającego moc chwilową odbiornika, można odczytać moc czynną, jako wartość średnią za okres mocy chwilowej (P = 10 W) oraz moc pozorną, jako amplitudę zmian mocy chwilowej (S = 20 VA). Poszukiwany współczynnik mocy jest więc równy
Częstotliwość mocy chwilowej jako odwrotność okresu jest zaś równa
Częstotliwość mocy chwilowej jest dwukrotnie większa od częstotliwości harmonicznych przebiegów napięciowo prądowych, więc poszukiwana częstotliwość napięcia zasilającego f = 50 Hz.
W podanym obwodzie prądu przemiennego obliczyć wskazanie watomierza i amperomierzy. Przyjąć e(t) = 230·sin(wt) V,w = 314 s-1. Naszkicować wykres fazorowy układu.
Obwód rozwiązać najlepiej stosując metodę wartości skutecznych zespolonych. W tym celu naszkicować wypada schemat obwodu raz jeszcze, z wartościami impedancji zespolonych elementów i wartością skuteczną zespolona napięcia zasilającego.
Wartości reaktancji XL oraz XC obliczymy następująco:
Wartość skuteczna zespolona napięcia zasilającego
Z wielu znanych metod rozwiązania zaproponuję następującą:
stąd
Pozostałe prądy będą
Amperomierze będą więc wskazywać wartości:
- A1: 2,12 A,
- A2: 1,276 A,
- A3: 1,693 A.
Wskazanie watomierza obliczymy jako
Wykres fazorowy (bez skali) przedstawia następujący rysunek:
Obliczyć dla jakiej wartości pojemności C wskazanie amperomierza nie zależy od stanu łącznika. Obliczyć to wskazanie amperomierza. Wykonać wykres fazorowy prądów i napięć dla obu stanów łącznika. Przyjąć dane: e(t) = 230·sin(wt) V,w = 314 s-1, R = 100 Ω, R0 = 200 Ω.
Uwaga: Przypadek , który zapewnia XC = 0, jako trywialny, nie stanowi rozwiązania zadania.
Jest oczywiste, że amperomierz pokaże tę samą wartość niezależnie od stanu klucza wówczas, gdy moduły impedancji zespolonych obwodu w obu przypadkach będą równe sobie. W przypadku otwartego łącznika:
czyli ;
Gdy łącznik jest zamknięty
Moduł tej impedancji jest równy
Równość modułów impedancji prowadzi do równania
które po niezbędnych przekształceniach algebraicznych prowadzi do dwukwadratowgo równania względem poszukiwanej pojemności C w postaci
Jedynym rozwiązaniem dodatnim takiego równania jest
co po podstawieniu danych liczbowych daje wartość C = 15,92 mF.
Wskazanie amperomierza będzie wówczas równe
Wykresy fazorowe można przedstawić następująco:
Obliczyć pulsację i częstotliwość rezonansową obwodu oraz naszkicować wykres fazorowy obwodu dla częstotliwości rezonansowej.
Przyjąć dane: R = 10 W, L = 40 mH, C = 250 nF.
Impedancja zespolona obwodu jest
Jak wiadomo warunkiem rezonansu jest zerowanie się części urojonej impedancji zespolonej obwodu, więc:
Wyznaczona stąd pulsacja wr określona jest wzorem
Po podstawieniu danych liczbowych okazuje się, że obliczenie wr prowadzi do wyniku zespolonego, co oznacza, że nie ma takiej częstotliwości napięcia (lub prądu) zasilającego, przy której obwód byłby w rezonansie.
Gdyby rezonans był możliwy, to wykres fazorowy obwodu w stanie rezonansu mógłby wyglądać następująco:
W układzie 1-kreskowym podanym na rysunku odbiornik energii posiada następujące dane znamionowe: Un = 230 V,Pn = 2,5 kW, cosf =0,6. Ponadto X = 0,25 W. Częstotliwość przebiegów napięciowo-prądowych f = 50 Hz.
Naszkicować wykres fazorowy układu oraz obliczyć:
- pojemność C kompensującą moc bierną układu do poziomu cosfz=0,94;
- moc czynną wydzielającą się w odbiorniku gdy napięcie zasilania układu U = 235 V.
Zakładając znamionowa pracę odbiornika, czyli napięcie na jego zaciskach równe obliczyć można prąd pobierany przez ten odbiornik:
Spadek napięcia na szeregowej reaktancji indukcyjnej
W związku z tym napięcie na pojemności równe napięciu zasilającemu (przy założeniu znamionowej pracy odbiornika) będzie:
To umożliwia obliczenie pojemności kompensującej moc bierną do żądanego poziomu:
Wykres fazorowy układu przedstawia rysunek:
mariuszwz1