wstęp do roz rrz.pdf

(270 KB) Pobierz
Microsoft Word - Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego.doc
Równania różniczkowe,
Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe są szczególnym przypadkiem równań funkcyjnych, to znaczy takich
równań, w których niewiadomą jest funkcja. W równaniach różniczkowych występują
zawsze pochodne niewiadomych (szukanych) funkcji.
Definicja 1. Równania różniczkowe zwyczajnym nazywamy równanie zawierające zmienną
niezależną x, , nieznana funkcję y , oraz jej pochodne y’, y’’, …,y (n)
F ( x, y ’ , y ’’ , …,y ( n) ) = 0 gdzie F: R n+2 → R (1)
Równanie różniczkowe jest równaniem z udziałem nieznanej funkcji i jej pochodnych.
Przykład
Tor kuli wystrzelonej z armaty opisuje krzywa będąca rozwiązaniem zwyczajnego równania
różniczkowego.
Prostym przykładem może być drugie prawo Newtona opisujące ruch ciała o stałej masie m:
gdzie siła F zależy od położenia ciała x(t) w czasie t , a nieznana funkcja x(t) pojawia się po
obu stronach równania, co widać w zapisie F ( x ( t )).
Rozwiążmy równanie różniczkowe
najwyższe pochodnych wynosi 2, to mówimy, że równanie różniczkowe jest rzędu 2.
Całkujemy obustronnie
Jeśli jeszcze raz dokonamy całkowania , powinniśmy znaleźć rozwiązanie.
analiza. mat. ćw. 16.05.2010
385666594.041.png 385666594.042.png 385666594.043.png 385666594.044.png 385666594.001.png 385666594.002.png 385666594.003.png 385666594.004.png 385666594.005.png
Równania różniczkowe,
Definicja 2. Rząd równania jest równy n jeśli w równaniu (1) występuje pochodna y ( n) ,
natomiast nie występują pochodne wyższych rzędów niż n
Definicja 3. Rozwiązaniem równania (1) w [a,b] nazywany funkcję y o tej własności , że
∧ F ( x, y ’( x), y ’( x) ’, …, y ( n) ( x )) = 0
x ∈[a,b]
Rozwiązanie równania różniczkowego polega na znalezieniu funkcji y, której pochodne
spełniają to równanie
Rozwiązaniem albo całką, równania różniczkowego nazywa się funkcja y(x) zmiennej
niezależnej x, która ma n pochodnych i po podstawieniu do równania spełnia to równanie
tożsamościowo.
Definicja 4. Problemem początkowym Cauchy’ego dla równania (1) nazywamy następujące
zagadnienie:
Znaleźć rozwiązanie równania (1) spełniające warunek początkowy (2)
⎧
y
(
x
0
)
=
y
0
⎪
⎪
y
'
(
x
0
)
=
y
1
⎨
.
⎪
⎪
.
⎪
y
n
−
1
(
x
)
=
y
⎩
0
n
−
1
gdzie x ∈[a,b]
y
0
,
y
1
,...,
y
(
n
1
są zadanymi liczbami
Definicja 5 Całką szczególna równania (1) nazywany rozwiązanie zachowujące
jednoznaczność rozwiązania problemu początkowego Cauchy’ego.
Definicja 6. Wykres całki szczególnej nazywamy krzywa całkową .
Definicja 7 . Zbiór wszystkich całek szczególnych równania (1) nazywamy całka ogólną.
Definicja 8. Rozwiązanie odznaczające się tym , że w każdym punkcie jego wykresu
zagadnienie Cauchy’ego nie ma jednoznacznego rozwiązania nazywamy rozwiązaniem
osobliwym
analiza. mat. ćw. 16.05.2010
−
Równania różniczkowe,
Zadanie 1
Bank prowadzi konta z ciągłą kapitalizacją odsetek. Niech oznacza wartość w chwili
kapitału złożonego w tym banku (jednostką czasu jest 1 rok). Niech będzie roczną stopą
procentową.
a) Pokazać, że zachodzi równanie
.
b) Na jaki okres należy złożyć kapitał w banku z ciągłą kapitalizacją odsetek i roczną stopą
procentową , by go podwoić?
(Niech oznacza kapitał początkowy złożony w banku. Do jakiej kwoty urósłby on po
latach, gdyby bank dokonywał kapitalizacji odsetek w stosunku rocznym? Do jakiej kwoty
urósłby on po latach, gdyby bank dokonywał kapitalizacji odsetek razy w ciągu roku?
Przechodząc we wzorze na tę ostatnią kwotę do granicy (przy zmierzającym do
nieskończoności), otrzymamy szukaną zależność przy kapitalizacji ciągłej. Wystarczy teraz
sprawdzić, czy spełnia ona zadane równanie różniczkowe. )
R OZWIĄZANIE
a) Niech oznacza kapitał początkowy złożony w banku. Gdyby bank
dokonywał kapitalizacji odsetek w stosunku rocznym, to po latach kapitał urósłby do
kwoty
. Gdyby kapitalizacja była dokonywana razy w roku, kapitał
urósłby do kwoty
.
b) Jeśli kapitalizacja jest ciągła, kapitał urośnie do kwoty
A stąd
.
b) Szukamy czasu takiego, że
.
Wyliczamy
.
Należy zatem złożyć kapitał na 8 lat i 8 miesięcy...
analiza. mat. ćw. 16.05.2010
385666594.006.png 385666594.007.png 385666594.008.png 385666594.009.png 385666594.010.png 385666594.011.png 385666594.012.png 385666594.013.png 385666594.014.png 385666594.015.png 385666594.016.png
Równania różniczkowe,
Przegląd metod całkowania równań różniczkowych zwyczajnych
Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
D EFINICJA
Równanie różniczkowe
lub równoważnie
nazywamy równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych (rrzr).
Równanie to rozwiązujemy, "rozdzielając zmienne", czyli grupując wyrażenia z po jednej
stronie, a wyrażenia z po drugiej stronie znaku równości. Otrzymujemy:
skąd rozwiązanie ogólne równania (rrzr) dostajemy w postaci
Żeby rozwiązać równanie o zmiennych rozdzielonych, doprowadzamy go do postaci
h( x ) dx = g( t ) dt i całkujemy obie strony.
gdzie przez zapis i rozumiemy dowolną pierwotną z funkcji
podcałkowej i gdzie jest stałą dowolną.
Uwaga: Przy dzieleniu równania przez wyrażenie, które zależy od x i/lub y można „zgubić”
rozwiązanie, na których to wyrażenie jest równe zeru.
Postępując jak powyżej, mogliśmy „zgubić” pewne rozwiązania równania (rrzr). Dokładniej,
skoro dzielimy (rrzr) przez
stronami, to nasze rozwiązanie nie uwzględnia rozwiązań
postaci
gdzie jest takie, że
Te rozwiązania (o ile istnieją) musimy dołączyć
do rozwiązania ogólnego równania (rrzr).
zaznaczając w ten sposób, że należy rozważyć, czy rozwiązania postaci
dla
są rozwiązaniami naszego równania.
analiza. mat. ćw. 16.05.2010
385666594.017.png 385666594.018.png 385666594.019.png 385666594.020.png 385666594.021.png 385666594.022.png 385666594.023.png 385666594.024.png 385666594.025.png 385666594.026.png 385666594.027.png 385666594.028.png
Równania różniczkowe,
A zatem rozwiązania (rrzr) są postaci
lub
dla
P RZYKŁAD
Zadanie 1
Rozwiązać równanie
Dzieląc przez , dostajemy
Odtąd zakładamy, że
Całkując, mamy
gdzie stałą zapisujemy jako
dla pewnej stałej
a zatem
czyli
a więc
Oprócz tego, jak od razu widać, rozwiązaniem jest funkcja
Reasumując, możemy napisać, że wszystkie rozwiązania naszego równania są postaci
gdzie jest stałą dowolną.
analiza. mat. ćw. 16.05.2010
385666594.029.png 385666594.030.png 385666594.031.png 385666594.032.png 385666594.033.png 385666594.034.png 385666594.035.png 385666594.036.png 385666594.037.png 385666594.038.png 385666594.039.png 385666594.040.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin