Analiza wyklady 2.doc

Uzupełnienie rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej

LEMAT 1.1    (Fermata, o zerowaniu się pochodnej)

                            Z:              

                            T:             

              Dowód jest następujący:

                            Niech dla przykładu:   

                                          Wiemy wówczas, że:   

                                          Stąd dla :             .

                                          Natomiast dla :    ,

a wobec faktu, że granica przy istnieje, wnioskujemy, że .

              (Dowód dla min jest analogiczny.)

TWIERDZENIE 1.1  (Rolle’a)

              Jeśli funkcja jest określona i ciągła w przedziale domkniętym , istnieje pochodna skończona przynajmniej w przedziale otwartym i na końcach przedziału funkcja przyjmuje równe wartości, wówczas między i można znaleźć taki punkt , że .

                            Z:              

                            T:             

                            Dowód obejmuje dwa przypadki:

                                          1º Funkcja jest stała. Wówczas:

                                          2º Funkcja jest różnowartościowa ().

                                          Dla dowodu przyjmijmy, że:

                                                        ,

a ponieważ funkcja jest ciągła i przyjmuje takie same wartości na krańcach przedziałów, wobec tego . Stąd na podstawie Lematu 1.1 wnioskujemy, iż

                                                        .

TWIERDZENIE 1.2      (Cauchy’ego)

Jeśli funkcje i są określone i ciągłe w przedziale domkniętym , istnieją pochodne skończone przynajmniej w przedziale otwartym i w przedziale , wówczas między i można znaleźć taki punkt , że:               

                            Z:              

                            T:             

Dowód:

Wiedząc, że wnioskujemy, iż . Możemy zatem wprowadzić nową funkcję:

                                          .

Możemy wyliczyć , oraz . A ponieważ z własności kombinacji funkcji ciągłych wnioskujemy, że , przeto możemy zastosować twierdzenie 1.1:

                                                        .

Wyliczając pochodną , przyrównując ją do zera i przekształcając, otrzymujemy tezę.

TWIERDZENIE 1.3  (Lagrange’a, szczególny przypadek twierdzenia Cauchy’ego)

                            Z:              

T:             

                            Dowód:

                                          Jest to szczególny przypadek twierdzenia Cauchy’ego, dla .

Inne postacie twierdzenia Lagrange’a.

              Jeśli przyjmiemy i , wówczas możemy zauważyć, że wyrażenie

  da się przekształcić (przez wymnożenie licznika i mianownika ułamka przez ()) w:              

              gdzie i . Czyli twierdzenie nie zależy od “kolejności” i .

              Twierdzenie możemy więc zapisać w następujący sposób:

              Z:              , gdzie oraz   .

                            T:             

Wyliczanie wartości przybliżonej funkcji.

                            Jeśli przyjmiemy , wtedy:  , gdzie

                            wówczas teza twierdzenia Lagrange’a przyjmie postać:

                            ,

                            skąd wyliczyć możemy    .

                            Możemy więc wysnuć wniosek 1.1

WNIOSEK 1.1

                            Z:              , gdzie oraz .

                            T:             

PRZYKŁAD 1.1

              Obliczymy .

              Przyjmujemy , , i obliczamy:

              A więc:      .

TWIERDZENIE 1.4    (Wzór Taylora)

                            Z:             

                            T:             

,

                                          gdzie nazywamy resztą Lagrange’a.

                            Dowód:

                                          Przyjmiemy . Wprowadzimy nowe funkcje:

                                                        , gdzie ,

                                                        .

                            Na podstawie swoich własności obie te funkcje spełniają założenia twierdzenia Cauchy’ego. Obliczmy ich pochodne:

                                          ,

                                                        .

                                          Zauważmy teraz, że:    

                            Wykorzystamy teraz twierdzenie Cauchy’ego:

                                                        ,

                                          a z drugiej strony

                            .

                                          A więc:

                                          ,

                                          co jest przekszatałceniem tezy twierdzenia.

Inne postacie twierdzenia Taylora. Rozwinięcia funkcji.

Powyższe twierdzenie możemy zapisać również w następujący sposób:

                            Z:             

                            T:             

                                          ,

Wzór ten pozwala obliczać przybliżone wartości funkcji. Ilustruje to następujący:

PRZYKŁAD 1.1  cd

              Obliczymy ponownie z dokładnością do . Ustalmy liczbę kroków . Rozpisujemy wzór Taylora:

                            Przyjmujemy , , i obliczamy pochodne:

                                          ...