Rozdz_12B.pdf
(
133 KB
)
Pobierz
PrimoPDF, Job 16
T w i e r d z e n i e G a u s s a - O s t r o g r a d s k i e g o
. Obszar o objħtoĻci t, og-
raniczony powierzchniĢ s, dzielimy na podobszary o objħtoĻciach
D - ograniczo-
ne powierzchniami
D (rys. 12.9), przy czym
i
n
t
=
Ã
=
D
t
i
.
i
1
Rys. 12.9
Zgodnie z okreĻleniem diwergencji - wzory (12.15) (12.16) - dla kaŇdego pod-
obszaru
i
( n
=
1
2
...,
)
moŇemy napisaę zaleŇnoĻci
C
s
C
Ð
s
A
d
=
( A
div
)
D
t
i
Ļr
i
D
i
i nastħpnie, po ich obustronnym zsumowaniu, w granicy otrzymamy
Ð
A
µ
d A
s
=
Ð
div
C
d
t
,
(12.32)
s
t
D
i wchodzĢcych do podobszarw przy-
legþych. Strumieı wektora pola
C
wychodzĢcy z powierzchni zamkniħtej s jest wiħc
rwny caþce z diwergencji wektora
C
rozciĢgniħtej na caþy obszar t.
W taki sam sposb moŇemy udowodnię twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego dla
pola skalarnego j
i
Ð
j
d
C
=
Ð
grad
j
d
t
,
(12.33)
s
t
wykorzystujĢc definicjħ gradientu (12.14).
348
i
D
i
µ
C
gdyŇ strumienie wewnĢtrz obszaru t ulegnĢ redukcji ze wzglħdu na rŇnice w zna-
kach strumieni wychodzĢcych z obszaru
Rys. 12.10
T w i e r d z e n i e S t o k e s a
. Powierzchniħ s
ograniczonĢ brzegiem l
wypeþ-
niamy powierzchniami elementarnymi ,
i
D
ktre sĢ ograniczonymi liniami D
(rys. 12.10)
n
s
=
Ã
=
D
s
.
i
1
Na podstawie definicji wirowoĻci (12.19) (12.20), dla kaŇdej elementarnej
powierzchni
D piszemy rwnanie
i
Ð
C
C
C
C
A
µ
d
l
=
rot
i
A
µ
D
.
i
D
l
i
W wyniku zsumowania tych rwnaı dla wszystkich elementw powierzchni, w gra-
nicy otrzymamy
Ð
A
µ
d
l
=
Ð
rot
A
C
µ
d
C
,
(12.34)
l
s
poniewaŇ czħĻci caþek elementarnych po liniach wsplnych dla sĢsiednich elemen-
tw znoszĢ siħ. Cyrkulacja wektora
C
wzdþuŇ linii l jest wiħc rwna strumieniowi
rotacji tego wektora przez dowolnĢ powierzchniħ
s, ktrej brzegiem jest krzywa l.
12.3. Tensory kartezjaıskie drugiego rzħdu
T e n s o r . Niektre wielkoĻci fizyczne sĢ bardziej zþoŇonymi obiektami niŇ
skalary czy wektory i muszĢ byę okreĻlone przez wiħcej niŇ trzy skþadowe. Przykþa-
dem takiej wielkoĻci fizycznej jest stan naprħŇenia w pþynie lepkim, opisywany
przez dziewiħę funkcji (8.1) (8.3); naprħŇenie jest funkcjĢ czasu, wspþrzħdnych
oraz orientacji powierzchni, na ktrĢ dziaþa.
349
i
C
C
Tensor drugiego rzħdu zapisuje siħ w postaci
Ç
T
11
T
12
T
13
×
{ }
È
Ø
T
=
T
j
i
=
T
21
T
22
T
23
.
(12.35)
È
Ø
É
T
31
T
32
T
33
Ù
Skalar nazywa siħ niekiedy tensorem rzħdu zerowego. Wektor jest tensorem rzħdu
pierwszego. IstniejĢ obiekty geometryczne i fizyczne bħdĢce tensorami jeszcze wyŇ-
szych rzħdw - w przestrzeni trjwymiarowej tensor rzħdu n
ma 3
n
skþadowych.
Nie kaŇda funkcja trzech wspþrzħdnych moŇe przedstawiaę pole skalarne. Ska-
lar musi byę niezmienniczy wzglħdem zmiany ukþadu wspþrzħdnych, tj. przyjmo-
waę jednĢ i tħ samĢ wartoĻę w danym punkcie przestrzeni, bez wzglħdu na to
w jakim ukþadzie wspþrzħdnych jest wyraŇony. Musi wiħc byę
j
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
j
(
x
,
x
,
x
)
,
(12.36)
jeĻli przez
x
i
( =
1
2
3
oznaczymy wspþrzħdne x, y, z, a przez
, , - nowy
ukþad wspþrzħdnych.
Po wprowadzeniu oznaczeı
a
=
x
i
,
(12.37)
i
j
x
j
gdzie
a
i
x
=
cos
j
(
x
,
)
,
macierz cosinusw kierunkowych przyjmie postaę
x
1
x
2
x
3
x
1
a
11
a
12
a
13
x
2
a
21
a
22
a
23
,
x
3
a
31
a
32
a
33
stĢd
x a
i
=
i
j
x
j
(12.38)
lub teŇ
x
i
= , (12.39)
a
j
i
x
j
350
1
2
3
i
x x x
1 2 3
j
i
jeĻli wykorzystamy u m o w ħ s u m a c y j n Ģ E i n s t e i n a
, oznaczajĢcĢ sumowa-
nie wzglħdem indeksu niemego
j.
PodstawiajĢc wzr (12.39) do wzoru (12.38) mamy
x
i
=
a
i
j
a
k
j
x
,
skĢd wynika ortogonalnoĻę cosinusw kierunkowych
Ë
0
dla
k
i
,
a
a
=
d
=
i
j
k
j
i
k
Ì
1
dla
k
=
i
,
gdzie
i
d jest tensorem jednostkowym, zwanym takŇe d e l t Ģ K r o n e c k e r a
.
Podobnie nie kaŇde trzy funkcje )
k
i
xA przedstawiajĢ pole wektorowe i nie
(
j
A
mogĢ byę skþadowymi wektora tylko wtedy, gdy transformujĢ siħ jak wspþrzħdne,
tzn.:
ji
T przedstawia pole tensorowe. WielkoĻci
(
k
i
A a
=
i
j
A
j
lub
A
i
a= (12.40)
j
i
A
.
RwnieŇ, aby wielkoĻę fizyczna bħdĢca tensorem nie zmieniaþa swojej wartoĻci
w dowolnym ukþadzie wspþrzħdnych, jej skþadowe muszĢ transformowaę siħ zgod-
nie z zaleŇnoĻciami
T
ji
T
=
a
i
k
a
j
l
k
l
lub
T
ji
T
=
a
m
i
a
n
j
m
n
.
(12.41)
C
w ktrym nie
stosujemy Ňadnego z poznanych iloczynw dwu wektorw. DziaþajĢc wyraŇeniem
A
C
D i a d a w e k t o r w
. RozwaŇmy iloczyn dwu wektorw ,
A
C
C
na pole wektorowe
C
C
,( z
y
,
)
w nastħpujĢcy sposb
A
C
B
C
µ
C
C
=
A
C
( C
B
µ
C
)
,
(12.42)
w wyniku otrzymamy nowe pole wektorowe o kierunku pola .
C
W przypadku dzia-
þania A
C
C
na pole C
C
lewostronnie
C
C
µ
A
C
B
C
=
( µ
C
C
A
C
)
B
C
(12.43)
uzyskamy pole wektorowe majĢce kierunek wektora ,
C
czyli
C
C
µ
A
C
B
C
A
B
µ
C
C
.
(12.44)
351
k
Ê
kaŇdy zbir dziewiħciu funkcji )
i
j
x
C
C
C
C
ktry odwzorowuje pole wektorowe C
C
na inne pole wektorowe
nosi nazwħ i l o c z y n u d i a d y c z n e g o w e k t o r w
C
i
.
A
C
C
Do jego okre-
Ļlenia niezbħdna jest znajomoĻę dziewiħciu skalarw
Ç
A
x
B
x
A
x
B
y
A
x
B
z
×
A
i
B
j
=
È
A
y
B
x
A
y
B
y
A
y
B
z
Ø
,
(12.45)
È
Ø
É
A
z
B
x
A
z
B
y
A
z
B
z
Ù
wynikajĢca z uwzglħdnienia cechy nieprzemiennoĻci iloczynu diadycznego
C
C
C
C
C
C
C
D
A
B
=
(
A
i
+
A
j
+
A
k
)
(
B
i
+
B
j
+
B
k
)
=
x
y
z
x
y
z
C
C
C
C
C
C
+
A
B
i
i
+
A
B
i
j
+
A
B
i
k
+
x
x
x
y
x
z
C
C
C
C
C
C
+
A
B
j
i
+
A
B
j
j
+
A
B
j
k
+
y
x
y
y
y
z
C
C
C
C
G
C
+
A
B
k
i
+
A
B
k
j
+
A
B
k
k
.
z
x
z
y
z
z
TworzĢc iloczyn diadyczny
C
¯
otrzymamy tensor, bħdĢcy gradientem pola
wektorowego
C
=
A
,( z
y
,
)
C
C
C
D
=
¯
A
=
Grad A
,
(12.46)
ktry dla wektora prħdkoĻci V
C
zapisuje siħ nastħpujĢco
Ç
V
x
V
y
V
z
×
È
Ø
x
x
x
È
Ø
V
C
V
È
V
V
V
Ø
j
È
x
y
z
Ø
Grad
=
=
.
(12.47)
x
È
y
y
y
Ø
i
È
Ø
V
V
V
È
Ø
x
y
z
È
z
z
z
Ø
Zatem pochodnĢ (3.11) moŇna rwnieŇ przedstawię w postaci
C
C
C
C
d
V
V
=
+
V
Grad V
.
(12.48)
d
t
t
Dla sprawdzenia, Ňe V
C
Grad jest tensorem zapisujemy wielkoĻę (12.47) w ukþa-
dzie
i
352
Operator ,
È
Ø
È
Ø
A
C
x
É
Ù
x
Plik z chomika:
t500
Inne pliki z tego folderu:
Rozdz_12B.pdf
(133 KB)
Rozdz_12A.pdf
(128 KB)
Rozdz_11C.pdf
(121 KB)
Rozdz_11B.pdf
(301 KB)
Rozdz_11A.pdf
(205 KB)
Inne foldery tego chomika:
Mechanika płynów
Mechatronika
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin