Wpływ układu pomiarowego na efekty aktywnej regulacji drgań konstrukcji ramowych.pdf

(662 KB) Pobierz
Microsoft Word - Lewandowski_Szymkowiak_got.doc
XLVIII KONFERENCJA NAUKOWA
KOMITETU INŻ YNIERII LĄ DOWEJ I WODNEJ PAN
I KOMITETU NAUKI PZITB
Opole – Krynica
2002
Roman LEWANDOWSKI 1
Tomasz SZYMKOWIAK 2
WPŁ YW UKŁ ADU POMIAROWEGO NA EFEKTY
AKTYWNEJ REGULACJI DRGAŃ KONSTRUKCJI RAMOWYCH
1. Wstęp
Stałą tendencją jest dążenie do budowy konstrukcji lekkich, o wię kszej rozpię tości, optymal-
nie zaprojektowanych i wykonywanych z materiałó w o wyższej wytrzymałości. Ró wnocześ-
nie konstrukcje te są bardziej wrażliwe na działanie obciążeń dynamicznych. Drgania
wywołane tymi obciążeniami mogą w sposó b istotny zmniejszać komfort użytkowania lub,
w skrajnych przypadkach, zagrażać bezpiecznej eksploatacji tych obiektó w. Konieczne staje
się wię c doskonalenie metod redukcji drgań konstrukcji budowlanych. Jednym ze sposobó w
redukcji drgań jest zastosowanie układó w automatycznej regulacji.
Ogó lnie rzecz ujmują c, układ aktywnej regulacji składa się z pewnej liczby czujnikó w
mierzą cych odpowiedź dynamiczną w wybranych punktach konstrukcji, komputera wyzna-
czają cego potrzebne siły aktywnego sterowania oraz siłownikó w wywołują cych wspomniane
siły regulacji. Opis różnych układó w aktywnej regulacji umożliwiają cych redukcję drgań
budynkó w można znaleźć w pracy [1].
Analizę dynamicznego zachowania konstrukcji z zainstalowanym układem aktywnej regu-
lacji przeprowadza się zakładają c zazwyczaj, że mierzony jest stan dynamiczny całej konstrukcji
gdy tymczasem, ze wzglę dó w technicznych poprzestaje się na pomiarze stanu dynamicznego kilku
wybranych punktó w. Może to w istotny sposó b zmienić działanie rzeczywistego układu regulacji w
poró wnaniu z zachowaniem wynikaj ą cym z analizy modelu obliczeniowego.
Niniejsza praca jest poświę cona analizie wpływu rozmieszczenia czujnikó w drgań , ich
ilości i rodzaju na efekty redukcji drgań konstrukcji ramowych poddanych działaniu wiatru.
Wykazano, że rozmieszczenie czujnikó w drgań ma zasadniczy wpływ na efekty regulacji
drgań . W poró wnaniu do przypadku w któ rym mierzy się stan dynamiczny całej konstrukcji
można uzyskać zaró wno zwię kszenie jak i zmniejszenie efektó w regulacji. Niestety przez
nieodpowiedni wybó r punktó w pomiaru można również spowodować, że układ aktywnej
regulacji stanie się niestabilny.
1 Dr hab. inż., Politechnika Poznań ska
2 Mgr inż., Studio projektowe ADS
76290659.011.png
118
2. Ró wnania ruchu konstrukcji ramowej
Ró wnanie ruchu rozpatrywanej konstrukcji ramowej daje się zapisać w postaci:
M
q
(
t
)
+ &
D
(
t
)
+
Kq
(
t
)
=
B
1
u
(
t
)
+
p
(
t
)
,
(1)
oraz p ( t oznaczono odpowiednio wektory przemieszczeń , sił
aktywnej regulacji i obciążeń węzłowych. Wymiar wektoró w
( ), ( )
t
u
t
q
t p
),
(
t
)
jest równy n, a
, oraz B oznaczają
odpowiednio macierz mas, macierz tłumienia, macierz sztywności oraz prostoką tną macierz o
wymiarze ( nxr ) określają cą punkty przyłożenia sił aktywnej regulacji. Modelem
obliczeniowym ramy jest tzw. rama ścinana opisana mię dzy innymi w monografii [2]. Rygle
tej ramy są nieskoń czenie sztywne, a masa konstrukcji jest skoncentrowana na poziomie
rygli. Przemieszczenia poziome rygli są jedynymi stopniami dynamicznej swobody ramy.
Obciążeniem ramy są siły wywołane dynamiczną częścią parcia wiatru. Zakłada się , że
obciążenie to ma charakter losowego procesu ergodycznego wzglę dem czasu. Obciążenie nie
jest skorelowane przestrzennie. Siłę wymuszają cą działają cą na poziomie stropu i -tej
kondygnacji, któ ra jest ró wnocześnie i -tym elementem wektora
M ,
K
t p , oblicza się ze wzoru:
(
)
p
i
(
t
)
=
r
C
z
A
i
V
i
w
i
(
t
)
,
(2)
w i oraz A i oznaczają odpowiednio gęstość powietrza,
współczynnik opływu, średnią prę dkość wiatru i jego losowe fluktuacje na poziomie i -tego
stropu oraz pole ekspozycji stowarzyszone z i -tą kondygnacją . Funkcje opisują ce losowe
fluktuacje prę dkości wiatru wyznacza się w sposó b opisany w pracy [3] na podstawie funkcji
gę stości widmowej zaproponowanej przez Davenporta. Ostatecznie przyk ładowe fluktuacje
prę dkości wiatru dają się opisać za pomocą wzoru o postaci:
C ,
V ,
( t
)
=
N
w
k
(
t
)
=
a
jk
cos(
w
j
t
+
q
j
)
,
(3)
j
1
( 1 ,
dw = max / N gdzie w max jest tzw. czę stością obcię cia funkcji gę stości widmowej, a N
liczbą harmonicznych uwzglę dnionych w rozwinię ciu (3).
Analizę układó w automatycznej regulacji czę sto przeprowadza się używają c ró wnań ruchu
zapisanych za pomocą zmiennych stanu. W rozpatrywanym przypadku ró wnania te mają postać:
, 0 2 p . Ponadto w
>
j
= -
dw
& ( )
t
=
Ax
( )
t
+
Bu
( )
t
+
Hp
( )
t
,
(4)
gdzie x
( )
t
=
col
( , & )
q q
, a ponadto
Ø
0
I
ø
,
Ø
0
ø
,
Ø
M
0
ø
.
A
=
B
=
H
=
(5)
Œ
œ
Œ
œ
Œ
œ
-
M
-
1
K
-
M
-
1
D
M
-
1
B
-1
º
ß
º
ß
º
ß
1
3. Metoda automatycznej regulacji drga ń
Zgodnie z teorią liniowej regulacji kwadratowej (LQR) wskaźnik jakości sterowania przyję to
w postaci:
&
gdzie symbolami q
(
wektor sił aktywnej regulacji ma wymiar r . Ponadto symbole
gdzie symbole r ,
gdzie współczynniki a jk są określone w sposó b podany w pracy [3], a q j to losowe kąty
fazowe o rozkładzie równomiernym z przedziału <
x
76290659.012.png
119
¥
J
=
(
x
T
(
t
)
Qx
(
t
)
+
u
T
(
t
)
Ru
(
t
)
)
dt
,
(6)
0
gdzie symbolami Q i R oznaczono macierze wagowe. Macierz Q jest symetryczna i
pó łdodatnio określona, a macierz R jest symetryczna i dodatnio określona.
Oznaczmy ponadto symbolem
y c -wymiarowy wektor zawierają cy te współrzę dne
( t
)
x któ re mierzy się za pomocą czujnikó w. Można teraz napisać dodatkowe
ró wnanie o postaci:
( t
y =
(
t Cx
)
(
t
)
,
(7)
gdzie C jest zerojedynkową macierzą transformacji o wymiarze ( cx2n ).
Zakładamy dalej, że siły aktywnej regulacji są określane na podstawie tylko tych
współrzę dnych wektora stanu któ re są znane z pomiaru. Można wię c napisać:
u
(
t
)
=
Gy
(
t
)
=
GCx
(
t
)
,
(8)
gdzie G jest chwilowo nieznaną macierzą sprzężenia zwrotnego.
Omawiany problem jest traktowany jako zadanie optymalizacji w któ rym należy
wyznaczyć macierz G w taki sposó b aby wskaźnik jakości sterowania (6) osią gnął wartość
minimalną oraz aby ró wnocześnie były spełnione ograniczenia wyrażone ró wnaniami (4), (7)
i (8). Zadanie to rozwią zano za pomocą metody opisanej w pracy [4]. Po jej zastosowaniu
otrzymuje się do rozwią zania układ trzech macierzowych ró wnań o postaci:
G
=
-
1
R
-
1
B
T
PLC
T
(
CLC
T
)
-
1
,
(9)
2
P
(
A
+
BGC
)
+
(
A
+
BGC
)
T
P
+
2
Q
+
2
C
T
G
T
RGC
=
0
,
(10)
L
(
A
+
BGC
)
T
+
(
A
+
BGC
)
L
+
I
=
0
.
(11)
G , oraz L .
Można pokazać, że jeżeli znany jest cały wektor stanu to układ ró wnań (9) – (11) jest
ró wnoważny ró wnaniu Riccati’ego. Wtedy
C = , a ró wnanie (9) przyjmuje postać (12)
I
G
=
-
1
R
-
1
B
T
P
,
(12)
2
z któ rej to postaci wynika, że rozwią zanie równania (11) staje się nieistotne ponieważ
macierz G nie zależy teraz od L . Podstawiają c z kolei (12) do (10) otrzymuje się
nastę pują ce ró wnanie Riccati’ego:
PA
+
A
T
P
+
2
Q
-
1
PBR
-
1
B
T
P
=
0
.
(13)
2
Należy ró wnież zaznaczyć, że postę pują c w opisany powyżej sposó b, w istocie rzeczy,
otrzymuje się rozwią zanie suboptymalne ponieważ w trakcie wyprowadzania równań
(9) – (11) pomija się wpływ wymuszenia zewnę trznego na warunki optymalności. Taki
sposó b postę powania jest czę sto stosowany przy projektowaniu regulatoró w drgań (patrz
prace [1] lub [5]).
Układ ró wnań (9) – (11) rozwią zuje się za pomocą pewnej procedury iteracyjnej któ ra
zostanie kró tko opisana poniżej. Oznaczmy indeksem i numer iteracji, a symbolami
G ,
P
i
oraz
L i -te przybliżenia macierzy
i
G , i L . Na począ tku procesu iteracyjnego należy
P
przyjąć
G (poczatkowe przybliżenie macierzy G ) w ten sposó b aby były spełnione
wektora stanu )
W ró wnaniach (9) – (11) niewiadomymi są macierze P
i
76290659.013.png 76290659.014.png
 
120
warunki stabilności ruchu konstrukcji z zainstalowanym układem regulacji. Warunki te bę dą
spełnione jeżeli części rzeczywiste wszystkich wartości własnych macierzy
A
=
A
+
BGC
i L . Po
podstawieniu macierzy G w miejsce macierzy G ró wnania (10) i (11) stają się liniowymi
ró wnaniami Lapunowa. Ró wnania te rozwią zuje się za pomocą metody Bartelsa - Stewarta
opisanej w pracy [6]. Nowe przybliżenie macierzy G oblicza się z ró wnania:
P i
+
+
G
=
-
1
R
-
1
B
T
P
L
C
T
(
CL
C
T
)
-
1
.
(14)
i
+
1
2
i
+
1
i
+
1
i
+
1
G , i L niewiele różnią się od siebie to
proces iteracyjny koń czy się , a ostatnio otrzymane przybliżenie macierzy G traktuje się jako
poszukiwane rozwią zanie problemu. Przyję to nastę pują ce warunki zakoń czenia iteracji:
Jeżeli dwa kolejne przybliżenia macierzy P
G
+
-
G
i
£
e
1
,
P
i
+
1
-
P
i
£
e
2
,
L
i
+
1
-
L
i
£
e
3
,
(15)
ee oznaczono założone dokładności obliczeń .
4. Rozwiązanie ró wnania ruchu
Podstawiają c zależność (8) do ró wnania (4) możemy napisać:
1
,
2
,
e
3
x
(
t
)
=
A
(
t
)
+
Hp
(
t
)
,
(16)
Rozwią zanie ró wnania ruchu (16) można przedstawić w nastę pują cy sposó b [5]:
x
(
t
)
=
F
(
t
)
x
(
t
0
)
+
t
F
(
t
-
t
)
Hp
(
t
)
d
t
(17)
0
gdzie
( F jest macierzą fundamentalną obliczaną w nastę pują cy sposó b [5]:
F
(
t
)
=
exp
( )
A
t
=
I
+
t
A
~
+
1
t
2
A
2
+
1
t
3
A
3
+
.....
. (18)
2
3
= +1 siły wymuszają ce mają wartość stałą ró wną wartości w chwili
t . Można teraz łatwo obliczyć wspomnianą całkę i przedstawić stan układu w chwili t k +1 w
sposó b nastę pują cy:
h
t
k
-
t
k
x
k
+1
=
F +
x
k
G
Hp
k
,
(19)
gdzie
G
=
h
I
+
1
h
2
A
+
1
h
3
A
~
2
+
1
h
4
A
3
+
.....
.
(20)
2
3
4
W powyższych wzorach wielkości z indeksem k są określone w chwili t k .
Znają c warunki począ tkowe ruchu oraz siły wymuszają ce można wyznaczyć stan układu
w kolejnych chwilach czasu korzystają c z ró wnania rekurencyjnego (19).
5. Wyniki przykładowych obliczeń
Wykonano przykładowe obliczenia dla ramy jednoprzę słowej budynku ośmiokondygnacyj-
nego. Przyję to nastę pują ce podstawowe dane do obliczeń : wysokość kondygnacji h = 3,0 m,
~
bę dą ujemne. Znają c macierz G można rozwią zać ró wnanie (10) wzglę dem P , a ró wnanie
(11) wzglę dem L otrzymują c w ten sposó b ich nowe przybliżenia
i
1
gdzie symbolami
&
~
)
~
~
~
Całkę wystę pują cą we wzorze (17) oblicza się numerycznie. Zakłada się , że w małym
przedziale czasu
~
~
76290659.001.png 76290659.002.png
 
121
EJ ,
rozpię tość rygla ramy l= 9,0 m, rozstaw ram d =12,0 m. Bezwymiarowy współczynnik
tłumienia 1 i 2 postaci drgań wynosi 2% tłumienia krytycznego. Macierz tłumienia
konstrukcji ma postać:
M
=
34560
0
kg
, sztywność s upa na zginanie
=
191475
0
kNm
2
D
=
a +
1
M
a
K
.
(21)
Założono, że na 1, 4, 6 i 8 kondygnacji są zainstalowane aktywne, cię gnowe tłumiki
drgań . Przyję to ponadto, że macierze Q i R są diagonalne, a elementy diagonalne tych
macierzy są ró wne
r .
Przyję to nastę pują ce wartości parametró w funkcji gęstości widmowej Davenporta:
s
q
ii
=
1300
oraz
ii
=
0
00000001
V
=
27
,
0
m
/
,
C
z
=
10
,
0
,
r
1
23
kg
/
m
3
. Pole ekspozycji stowarzyszone z typową
A . Przykładowy przebieg siły dynamicznej (na poziomie
rygla 7 kondygnacji) wywołanej fluktuacjami prę dkości średnich wiatru pokazano na rys. 1.
=
36
,
0
m
2
40000
30000
20000
10000
0
-10000
-20000
-30000
-40000
0
20
40
60
80
100
120
czas t [sek]
Rys. 1. Obciążenie wiatrem na poziomie stropu 7 kondygnacji
Wykonano obliczenia dynamiczne ramy dla różnych sposobó w rozmieszczenia czujni-kó w
na konstrukcji. Założono, że można instalować czujniki mierzą ce przemieszczenia poziome i
prę dkości stropó w. Na rys. 2 pokazano poró wnanie przemieszczeń poziomych stropu 7
kondygnacji. Linią przerywaną pokazano przemieszczenia konstrukcji bez układu aktywnej
regulacji, a linią cią głą przemieszczenia ramy na któ rej zainstalowano układ regulacji. Czujniki
tego układu regulacji mierzą prę dkości poziome wszystkich stropó w. Na rys. 3 dokonano
poró wnania przyspieszeń stropu 7 kondygnacji ramy bez układu regulacji z przyspieszeniami
ramy na któ rej zainstalowano układ regulacji. Widać, że zaproponowany układ regulacji
umożliwia znaczną redukcję drgań ramy. Istotna jest znaczna redukcja przyspieszeń ponieważ w
ten sposó b zwię ksza się komfort użytkowania budynku. Na rys. 4 pokazano przebieg siły
regulacji wywoływanej przez siłownik umieszczony na 1 kondygnacji.
W tab. 1 zestawiono najistotniejsze informacje umożliwiają ce poró wnanie efektyw-
ności kilku układó w regulacji różnią cych się od siebie rozmieszczeniem czujnikó w.
masa stropu
,
,
2
kondygnacją jest ró wne
76290659.003.png 76290659.004.png 76290659.005.png 76290659.006.png 76290659.007.png 76290659.008.png 76290659.009.png 76290659.010.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin