kon13.doc

KRYTERIUM NEQUISTA

              Kryterium Nequista ma duże znaczenie praktyczne, ponieważ pozwala badać stabilność układu zamkniętego na podstawie przebiegu charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego, którą można wyznaczyć zarówno analitycznie, jak i doświadczalnie.

              Rozpatrzmy układ liniowy o schemacie blokowym przedstawionym na rysunku.

Rys. Schemat blokowy układu

Transmitancja układu otwartego wynosi

przedstawiając tę transmitancję w postaci ilorazu wielomianów zmiennej otrzymamy

przy. czym

jest równaniem charakterystycznym układu otwartego; zakładamy, że stopień tego równania równa się n.

Transmitancja układu zamkniętego wynosi

Równanie charakterystyczne układu zamkniętego

jest również stopnia n, ponieważ stopień nie jest nigdy większy od stopnia N0(s).

Zbadamy zmianę argumentu funkcji

.

Przypadek 1. Układ otwarty jest stabilny. Równanie charakterystyczne układu otwartego ma wszystkie pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie zmiennej s. Zgodnie z kryterium Michajłowa

Układ zamknięty będzie stabilny, jeżeli

Warunek stabilności układu zamkniętego można więc zapisać:

Oznacza to, że wykres krzywej nie może obejmować początku układu współrzędnych (musi się zaczynać i kończyć na jednej prostej wychodzącej z początku układu). Ten sam warunek odniesiony do charakterystyki częstotliwościowej (amplitudowo-fazowej) układu otwartego będzie sformułowany jak następuje:

              Jeżeli otwarty układ regulacji automatycznej jest stabilny i jego charakterystyka amplitudowo-fazowa dla pulsacji od 0 do nie obejmuje punktu , to wtedy i tylko wtedy po zamknięciu będzie on również stabilny.

              Przykładowe wykresy krzywych oraz układów stabilnego i niestabilnego (po zamknięciu) zestawiono na rysunku.

Rys. Charakterystyki układów, które po zamknięciu będą: a) stabilne, b) niestabilne

              W przypadku złożonego kształtu krzywych wygodnie jest posługiwać się wynikającą bezpośrednio z podanego kryterium tzw. „regułą lewej strony", która mówi, że układ zamknięty jest stabilny wtedy, kiedy punkt znajduje się w obszarze leżącym po lewej stronie charakterystyki , idąc w stronę rosnących . Zastosowanie tej reguły można sprawdzić na przykładzie charakterystyk podanych na rysunku.

Rys. Charakterystyki układów, które po zamknięciu będą: a) stabilne, b) niestabilne

Przypadek układów astatycznych, których charakterystyki pokazano na rysunku ostatnim, wymaga bliższego wyjaśnienia. Jeżeli układ otwarty zawiera np. jeden element całkujący, to charakterystyka dla zaczyna się w punkcie o współrzędnej urojonej i mogą powstać wątpliwości, czy charakterystyka ta obejmuje punkt , czy nie. Transmitancja operatorowa układu otwartego ma wówczas postać

.

Transmitancja widmowa jest odwzorowaniem osi liczb urojonych płaszczyzny zmiennej zespolonej s za pomocą funkcji . W danym przypadku charakterystyka ma dla pulsacji punkt nieciągłości; amplituda przyjmuje wartość nieskończenie wielką, a faza zmienia się skokowo o 180°.

              Jeżeli zaliczymy biegun zerowy transmitancji G(s) do lewej półpłaszczyzny, to możemy obejść go półokręgiem o nieskończenie małym promieniu r, zgodnie z rysunkiem a). Dla wartości s bliskich zera mamy wtedy

,

przy czym , a transmitancja przyjmuje postać

.

Ponieważ iloraz wielomianów dla ma stałą wartość k, zatem

przy czym . Jeżeli teraz wektor zmienia swój argument od 0 do (interesują nas dodatnie wartości ), to G0(s) zmienia argument od 0 do - po okręgu o promieniu R (rys. b).

Uzupełnienie charakterystyki ćwierćokręgiem o nieskończenie wielkim promieniu pozwala właściwie sprowadzić przypadek układu astatycznego pierwszego rzędu do układu statycznego, którego charakterystyka zaczyna się na dodatnim odcinku osi . W analogiczny sposób można wykazać, że w przypadku układu astatycznego drugiego rzędu charakterystykę   zaczynającą się w punkcie o współrzędnej rzeczywistej należy uzupełnić półokręgiem o promieniu , zmieniającym argument od 0 przez do .

Odwzorowanie osi z wyłączeniem bieguna zerowego dla układu astatycznego o transmitancji

Przypadek 2. Układ otwarty jest niestabilny. Równanie charakterystyczne układu otwartego ma pierwiastków w lewej półpłaszczyźnie zmiennej s oraz m pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie. Zgodnie ze

lub, ponieważ jest krzywą symetryczną, względem osi liczb . rzeczywistych,

Układ zamknięty będzie stabilny, jeżeli

Warunek stabilności układu zamkniętego można więc zapisać

Warunek ten, odniesiony do charakterystyki amplitudowo-fazowej układu otwartego , będzie sformułowany, jak następuje:

Jeżeli otwarty układ regulacji automatycznej jest niestabilny i ma m pierwiastków swego równania charakterystycznego w prawej półpłaszczyźnie zmiennej s, to po zamknięciu będzie on stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego dla pulsacji od 0 do okrąża m/2 razy punkt w kierunku dodatnim (przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Zastosowanie kryterium Nyąuista w podanym ostatnio sformułowaniu wymaga więc znajomości liczby pierwiastków równania charakterystycznego układu otwartego z dodatnią częścią rzeczywistą, co bardzo ogranicza jego znaczenie.

Omawiany przypadek jest bardzo rzadki, gdyż układy automatyki spotykane w praktyce są zwykle w stanie otwartym stabilne .