skrypt Algebra 1 - Roman Wencel.PDF - Algebra - sir_matin

ALGEBRA 1

Skrypt do wykladu A

Roman Wencel

Wroclaw, luty 2004

Spis tresci

Wstep

Rozdzial 0. Liczby naturalne, calkowite i wymierne

Rozdzial 1. Dzialania i systemy algebraiczne. Pojecie polgrupy

Rozdzial 2. Grupy – zagadnienia wstepne

Rozdzial 3. Grupy permutacji

Rozdzial 4. Podgrupy, dzielniki normalne i homomorﬁzmy grup

Rozdzial 5. Grupa ilorazowa

Rozdzial 6. O klasyﬁkacji grup

Rozdzial 7. Pierscienie i ciala – zagadnienia wstepne

Rozdzial 8. Podpierscienie, idealy i homomorﬁzmy pierscieni

Rozdzial 9. Pierscienie wielomianow

Rozdzial 10. Pierscien ilorazowy

Rozdzial 11. Teoria podzielnosci w pierscieniach calkowitych

Rozdzial 12. Pierscienie euklidesowe

104

Rozdzial 13. Cialo ulamkow pierscienia calkowitego

109

Rozdzial 14. Cialo algebraicznie domkniete

112

Rozdzial 15. Ciala skonczone

116

Spis oznaczen

Indeks

Literatura

Wstep

W niniejszym skrypcie przedstawione zostaly podstawowe zagadnienia dotyczace dzialan w zbiorach,

teorii grup oraz teorii pierscieni i cial. Zakres materialu pokrywa sie w duzym stopniu z wykladem AL

GEBRA 1A, prowadzonym przez autora w Instytucie Matematycznym Uniwersytetu Wroclawskiego

w latach akademickich 2002/2003 i 2003/2004. Przy pisaniu niektorych fragmentow skryptu zostaly

wykorzystane pozycje wymienione w bibliograﬁi.

Zakladam u Czytelnika znajomosc wstepu do matematyki (na przyklad w zakresie skryptu prof.

L. Newelskiego) oraz podstaw algebry liniowej.

Rozdzial 0

Liczby naturalne, calkowite i

wymierne

W skrypcie bedziemy poslugiwali sie jezykiem teorii liczb naturalnych i korzystali z pewnych podsta

wowych ich wlasnosci.

Zbior liczb naturalnych oznaczamy symbolem N. W zbiorze tym wyrozniony jest element 0 (liczba

naturalna zero) oraz okreslona jest opracja s, ktora kazdej liczbie naturalnej n przyporzadkowuje jej

nastepnik s(n). Wyrozniony element 0 oraz operacja nastepnika spelniaja nastepujace aksjomaty –

aksjomaty teorii liczb naturalnych (zwane tez aksjomatami Peana 1 ).

(a) Jesli n jest liczba naturalna rozna od 0, to istnieje dokladnie jedna liczba naturalna m, dla ktorej

n = s(m).

(b) Nie istnieje taka liczba naturalna n, ze s(n) = 0.

Zbior liczb naturalnych roznych od 0 oznaczamy przez N + .

Przyjmujac jako punkt wyjscia wprowadzone wyzej pojecia: elementu 0 oraz operacji nastepnika

i korzystajac z aksjomatow teorii liczb naturalnych, mozna w zbiorze N okreslic operacje dodawania,

mnozenia i porzadku. Dla m, n∈N przyjmujemy:

(1) n + 0 = n,

(2) n + s(m) = s(n + m),

(3) n0 = 0,

(4) ns(m) = nm + n,

(5) jesli istnieje k∈N (k∈N + ) takie, ze n = m + k, to przyjmujemy ze n≥m (odpowiednio:

n > m).

Mozna wykazac, ze wprowadzone wyzej dzialania dodawania i mnozenia sa laczne i przemienne.

Mnozenie jest rozdzielne wzgledem dodawania,≤jest dobrym porzadkiem. Czytelnika zaintere

sowanego szczegolami odsylamy do ksiazki A. Grzegorczyka pt. Zarys arytmetyki teoretycznej. W

ksiazce tej znajduja sie rowniez formalne deﬁnicje zbiorow liczb calkowitych (Z), wymiernych (Q) i

rzeczywistych (R) wraz z dowodami podstawowych wlasnosci dzialan arytmetycznych w tych zbiorach.

Deﬁnicja 0.1 Mowimy, ze liczba calkowita n jest podzielna przez liczbe calkowita m (oznaczenie:

m|n), jesli istnieje liczba calkowita k taka, ze n = km.

1 G. Peano (1858 1932), matematyk i logik wloski

ROZDZIAL 0. LICZBY NATURALNE, CALKOWITE I WYMIERNE

Jesli m|n, mowimy tez, ze m jest dzielnikiem n, n dzieli sie przez m, albo, ze n jest wielokrotnoscia

m. W ponizszym twierdzeniu zostaly zebrane najprostsze wlasnosci relacji podzielnosci liczb calkowi

tych.

Twierdzenie 0.2 Niech k, l, m, n∈Z. Wtedy

(a) 1|k,

(b) k|0,

(d) Jesli k|l i l|m, to k|m,

(e) Jesli k|l i l|k, to k = l lub k =−l,

(f) Jesli k|l, to k|lm,

(g) Jesli k|l i k|m, to k|l + m i k|l−m,

(h) Jesli k|l i m|n, to km|ln.

Niech m∈N + . Dowolna liczbe calkowita n mozna jednoznacznie przedstawic w postaci: n =

qm + r, gdzie q∈Z, zas r∈{0, . . . , m−1}. Liczbe q nazywamy caloscia z dzielenia n przez m, zas r

reszta z tego dzielenia.

Liczbe calkowita w, ktora jest podzielna przez kazda z danych liczb calkowitych a 1 , . . . , a m nazy

wamy wspolna wielokrotnoscia tych liczb. Dla kazdego ciagu skonczonego liczb calkowitych roznych

od zera a 1 , . . . , a m istnieje nieskonczenie wiele wspolnych wielokrotnosci tych liczb. Beda nimi na

przyklad liczby postaci ka 1 . . . a m . W przypadku, gdy ktoras z liczb a 1 , . . . , a m jest rowna 0, jedyna

wspolna wielokrotnoscia liczb a 1 , . . . , a m jest 0.

Przypuscmy, ze a 1 , . . . , a m

∈Z\{0}. Najmniejsza liczbe naturalna dodatnia bedaca wspolna

wielokrotnoscia liczb a 1 , . . . , a m nazywamy najmniejsza wspolna wielokrotnoscia tych liczb i oznaczamy

przez NW W (a 1 , . . . , a m ). Jesli ktoras z liczb a 1 , . . . , a m jest rowna 0, przyjmujemy, ze najwieksza

wspolna wielokrotnoscia liczb a 1 , . . . , a n jest 0.

Twierdzenie 0.3 Niech a 1 , . . . , a m oraz w beda liczbami calkowitymi. Wtedy nastepujace warunki sa

rownowazne:

(a)|w|= NW W (a 1 , . . . , a m ),

(b) w jest wspolna wielokrotnoscia liczb a 1 , . . . , a m i jest dzielnikiem kazdej wspolnej wielokrotnosci

tych liczb.

Dowod. Teza twierdzenia jest oczywista gdy ktoras z liczb a 1 , . . . , a m jest rowna 0, poniewaz wte

dy jedyna wspolna wielokrotnoscia liczb a 1 , . . . , a m jest 0. Wystarczy wiec przeprowadzic dowod w

pzypadku, gdy liczby a 1 , . . . , a m sa wszystkie rozne od 0.

(a)=⇒(b). Zalozmy, ze|w|= NW W (a 1 , . . . , a m ). Wtedy oczywiscie w jest wspolna wielokrotnoscia

liczb a 1 , . . . , a m . Przypuscmy nie wprost, ze n jest wspolna wielokrotnoscia liczb a 1 , . . . , a m , ktora

nie dzieli sie przez w. Wtedy n nie dzieli sie przez|w|i n = q|w|+ r, gdzie q∈Z, zas r jest liczba

naturalna dodatnia, mniejsza od|w|. a 1 , . . . , a m sa dzielnikami kazdej z liczb n i|w|. Dlatego rowniez

r = n−q|w|dzieli sie przez kazda z liczb a 1 , . . . , a m . Liczba naturalna dodatnia r jest wiec wspolna

wielokrotnoscia liczb a 1 , . . . , a m , mniejsza od NW W (a 1 , . . . , a m ). Sprzecznosc.

(b)=⇒(a). Zalozmy, ze zachodzi (b). Wtedy|w|∈N + jest wspolna wielokrotnoscia liczb a 1 , . . . , a m

oraz dzielnikiem kazdej wspolnej wielokrotnosci tych liczb. Kazda liczba naturalna dodatnia podzielna

przez|w|jest≥|w|, dlatego|w|= NW W (a 1 , . . . , a m ).

Niech a 1 , a 2 , . . . bedzie skonczonym lub nieskonczonym ciagiem liczb calkowitych. Liczbe calkowita

d, ktora dzieli kazda z liczb a 1 , a 2 , . . . nazywamy wspolnym dzielnikiem tych liczb. Dla kazdego ciagu

(skonczonego lub nieskonczonego) liczb calkowitych istnieje ich wspolny dzielnik (na przyklad liczba

1). Jesli przynajmniej jedna sposrod liczb a 1 , a 2 , . . . jest rozna od 0, istnieje tylko skonczenie wiele

wspolnych dzielnikow tych liczb. W przypadku, gdy wszystkie sposrod liczb a 1 , a 2 , . . . sa zerami,

zbiorem ich wspolnych dzielnikow jest Z.

skrypt Algebra 1 - Roman Wencel.PDF

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: