Liga zadaniowa 11 (12-13) - odpowiedzi.doc

WEWNĄTRZSZKOLNY KONKURS MATEMATYCZNY

LIGA  ZADANIOWA

etap 11 - odpowiedzi

Klasy I

11. Dany jest arkusz papieru w kształcie kwadratu. Ile najmniej kół trzeba wyciąć z tego arkusza, aby łączny obwód wyciętych kół był większy od obwodu kwadratu?

Odp. Oznaczmy przez długość boku kwadratu. Obwód kwadratu wynosi 4a. Załóżmy, że z kwadratu wycinamy:

a)      1 koło. Jego maksymalny promień wynosi . Obwód koła wynosi . Sprzeczność.

b)     2 koła. Przykładowe rozmieszczenie tych kół (tak, by były jak największe) umieszczono na rysunku obok. Trójkąt widoczny na rysunku jest trójkątem prostokątnym równoramiennym o przeciwprostokątnej długości , a przyprostokątnych . Stąd: .

Łączny obwód wyciętych kół wynosi: . Sprzeczność.

c)      3 koła. Załóżmy, że wytniemy 3 koła spośród 4 przedstawionych na rysunku. Każdy z nich ma promień .  Ich łączny obwód wynosi:

Odp. Należy wyciąć co najmniej 3 koła.

Klasy II

11. W górskiej wiosce mieszka kilku braci, którzy zajmują się hodowlą owiec. Razem mają 2004 owce, a liczby owiec w ich stadach tworzą ciąg kolejnych liczb naturalnych. Najmłodszy z braci ma najwięcej owiec i ich liczba jest parzysta. Ile owiec ma najmłodszy z braci?

Odp. Oznaczmy przez - ilość braci, - ilość owiec w stadzie najmłodszego brata. Wtedy brat, z najmniejszym stadem, posiada owiec.

Stąd równanie:

Lewa strona równania jest sumą kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego o wyrazach, którego pierwszym wyrazem jest , a ostatnim . Stąd:

.

Liczba dzieli lewą stronę równania, więc prawa strona równania musi również dzielić się przez . Liczba jest dzielnikiem liczby , więc .

.

Wiadomo, że , czyli .

, ,

, .

Stąd

Odp. Najmłodszy z braci ma 254 owce.

Klasy III

11. Uzasadnij, że punkty przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych prostokąta ABCD są wierzchołkami kwadratu..

Odp.

Zauważmy, że każdy z trójkątów , , , ma dwa kąty równe , więc są prostokątne i równoramienne. To oznacza, że każdy z kątów czworokąta jest prosty (kąty wierzchołkowe), jest to więc prostokąt. Pozostało wykazać, że jest to kwadrat.

Pokażemy, że dwa sąsiednie boki prostokąta są równe, co będzie oznaczało, że jest kwadratem.

Zauważmy, że trójkąty i są przystające (bo oba mają równe kąty i wspólny bok). Zatem .

Stąd: .

Analogicznie pokazujemy, że . Mamy więc: .

To z kolei oznacza, że trójkąty i są przystające (mają równe kąty i wspólny bok). Mamy zatem :

.

Co należało udowodnić

Zadania i rozwiązania znajdziecie na http://chomikuj.pl/matematyka4lo/Liga+zadaniowa