prawd2.doc

·         Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką:

Ile wynoszą E(4X – 2) i V(4X – 2) ?

·         Zmienna losowa X ma rozkład skokowy:

Znaleźć dystrybuantę F(x) – wzór i wykres, E(X) i V(X).  Podać rozkład zmiennej . Podać F1(y), E(Y) i V(Y).

·         Dla jakiej wartości  a funkcja  f(x)  może być gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X ?

·         Dla jakiej wartości a funkcja f(x) może być gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X:

Znaleźć a, narysować f(x). Znaleźć dystrybuantę F(X) i sporządzić jej rysunek. Obliczyć E(X) i V(X).

·         Zmienna losowa X przyjmuje wszystkie wartości z przedziału <0,e>  z prawdopodobieństwem według gęstości:

Znaleźć A, F(X), E(X)  . Narysować f(x) i F(x).

·         Dana jest funkcja rzeczywista F(x) :

Dobrać tak a>0, by F(x) była dystrybuantą zmiennej losowej X. Wykreślić F(x). Znaleźć i wykreślić f(x). Obliczyć  E(X) i V(X).

·         Dla jakiej wartości a funkcja f(x) może być gęstością zmiennej losowej X:

Znaleźć takie a>0, narysować f(x). Znaleźć F(x) i narysować. Obliczyć E(X) i V(X).

·         Zmienna losowa X przyjmuje wszystkie wartości z przedziału <1, a >,  gdzie a>2,  z prawdopodobieństwami określonymi gęstością:

Znaleźć a takie, by f(x) była dobrze określoną gęstością. Obliczyć F(x) i E(X). Narysować f(x) i F(x).

·         Zmienna losowa X ma rozkład ciągły o gęstości

Znaleźć a, F(X), E(X). Narysować f(x) i F(x).

·         Zmienna losowa X ma rozkład N(1,2) . Ile wynosi k, jeśli  P(|X – 1 | > 4k )= 0,36812 ?

·         Zmienna losowa (X,Y) ma rozkład : P(-1 ,-1 ) = 1/8,   P( -1, 2) = 1/8,  P(0, -1) = 1/8,

P(0, 2) = 1/8,   P(1, -1) = 1/8,   P( 1, 2) = 3/16,  P(2, -1) = 1/8,  P(2, 2) = 1/16. Znaleźć  rozkłady i dystrybuanty brzegowe .  Podać wykresy dystrybuant.  Obliczyć F(0,5 ; 2),

F( 1,1 ; -1)   oraz   E((X+Y) 2Y).  Zbadać zależność zmiennych.   Znaleźć rozkład zmiennej  Z = X + Y .

·         Zmienna losowa (X,Y) przyjmuje jako wartości punkty (1,2),  (1,3),  (2,4) z takimi samymi prawdopodobieństwami. Znaleźć rozkłady brzegowe i dystrybuanty brzegowe. Zbadać niezależność zmiennych.

·         Ze zbioru {1, 2, 3} wybieramy losowo liczbę X. Następnie wybieramy liczbę Y nie mniejszą niż wybrana już liczba X. Zapisać tabelę rozkładu zmiennej losowej (X,Y). Wykazać, że X i Y są zależne. Obliczyć E(X+Y) i V(X+Y).

·         Ze zbioru {-1, 1, 3, 6} wybieramy losowo liczbę X. Następnie wybieramy liczbę Y nie większą niż wybrana już liczba X. Zapisać tabelę rozkładu zmiennej losowej (X,Y). Wykazać, że X i Y są zależne.

·         Zmienna (X,Y)  ma rozkład jednostajny w prostokącie : . Podać rozkład brzegowy zmiennej Y.

·         W którym z podanych rozkładów zmienne X i Y  są niezależne i dlaczego?

a)                 

b)             

·         Zmienna dwuwymiarowa (X,Y) ma rozkład jednostajny w prostokącie: . Podać rozkłady brzegowe zmiennych  X i Y. Zbadać niezależność zmiennych.

·         Zmienna losowa (X,Y) ma gestość:

Zbadać niezależność zmiennych. Znaleźć rozkłady brzegowe . Obliczyć E(X+2Y).

·         Partia towaru ma wadliwość 3%. Ilu elementową próbkę należy pobrać, aby z prawdopodobieństwem 0,95 można było twierdzić, że ilość sztuk dobrych będzie  między 2%  a 4%?

·         Zmienne  Xi   i= 1, 2,...50  są niezależne i mają takie same rozkłady o gęstościach:

Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zmienna ma wartość większą od 105.

·         Zmienne losowe    są niezależne o jednakowych rozkładach Poissona z . Obliczyć    gdzie .

·         Prawdopodobieństwo uszkodzenia elementu w ciągu czasu T jest p=0,2. Jak duża powinna być liczba n elementów, aby co najmniej 50 spośród nich z prawdopodobieństwem 0,9 nie uległo uszkodzeniu w ciągu czasu T?

·         Strzelamy 1200 razy , przy czym prawdopodobieństwo trafienia do celu za każdym razem jest równe 1/3. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że ilość celnych strzałów będzie się różnić co do wartości bezwzględnej od wartości średniej o nie więcej niż 1/60 ogólnej liczby strzałów.

·         Partia towaru ma wadliwość 3%. Ilu elementową próbkę należy pobrać, aby z prawdopodobieństwem 0,95 można było twierdzić, że ilość sztuk dobrych będzie większa niż 94%?

·         Automat produkuje określonych wymiarów blaszki o nominalnej grubości 0,04mm. Wylosowana próba 25 blaszek dała średnią grubość  oraz . Czy można twierdzić, że produkowane blaszki są cieńsze niż  0,04mm ? Przyjąć poziom istotności . Zakłada się , że grubość blaszek ma rozkład normalny.

·         Czas mocowania detalu toczonego na obrabiarce ma rozkład normalny. Zmierzono czasy mocowania  dla n=10 wylosowanych niezależnie robotników i otrzymano następujące wyniki (w sekundach): 10, 20, 16, 20, 18, 30, 24, 20, 17, 25. Znaleźć przedział ufności dla średniej wartości czasu mocowania przyjmując współczynnik ufności 0,95.