8

                                                   Opracował: mgr I.W.
Spis treści

Wstęp              3

Teoria              4

Ciąg arytmetyczny              5

Ciąg geometryczny              6

Treści zadań              7

Odpowiedzi              17

zadanie 1 – zadanie 8              17

zadanie 9 – zadanie 15              18

zadanie 16 – zadanie 21              19

zadanie 22 – zadanie 28              20

zadanie 29 – zadanie 36              21

zadanie 37 – zadanie 43              22

zadanie 44 – zadanie 49              23

zadanie 50 – zadanie 57              24

zadanie 58 – zadanie 62              25

zadanie 63 – zadanie 68              26

zadanie 69 – zadanie 72              27

zadanie 73 – zadanie 77              28

zadanie 78 – zadanie 82              29

zadanie 83 – zadanie 89              30

zadanie 90 – zadanie 95              31

zadanie 96 – zadanie 100              32

Literatura:              33

Wstęp

Przystępując do rozwiązywania zadań

Myślę że potrafisz: wyznaczać wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym, badać monotoniczność ciągu na podstawie definicji, określać ciąg wzorem ogólnym,  badać czy ciąg jest arytmetyczny, wyznaczać ciąg arytmetyczny na podstawie wskazanych danych, obliczać sumę n kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego, stosować własności ciągu arytmetycznego w zadaniach (także tekstowych), badać czy ciąg jest geometryczny, wyznaczać ciąg geometryczny na podstawie wskazanych danych, obliczać sumę n-kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego, stosować własności ciągu geometrycznego w zadaniach (także tekstowych). Rozpoznać ciąg arytmetyczny i geometryczny w zadaniach typowych i nietypowych.

W zbiorze tym nie ma podziału na zadania dotyczące ciągu arytmetycznego
i geometrycznego, bo to Ty masz zdecydować przy zadaniach z treścią jaki zastosować rodzaj ciągu.

Jeżeli lubisz rozwiązywać zadania w myśl zasady „Uwierzyć w siebie”  -  to zbiór ten jest na pewno odpowiedni dla Ciebie. Masz do dyspozycji  100 zadań o różnym stopniu trudności. Jeżeli napotkasz przeszkody w rozwiązywaniu niektórych z nich, możesz zajrzeć do wskazówek, które w większości zadań są podane w odpowiedzi. O tym, czy zadanie rozwiązałeś poprawnie możesz się przekonać sprawdzając odpowiedź, która w zbiorze jest również podana.

Pierwsze zadania są bardzo łatwe- na rozgrzewkę-po to żeby zachęcić Ciebie do dalszego rozwiązywania innych  ciekawych zadań dotyczących dwóch ciągów: arytmetycznego i geometrycznego.

Zapraszam do myślowych zmagań z zadaniami i problemami zawartymi w tym zbiorze.

Poprawnych wyników i przyjemności w rozwiązywaniu zadań życzy autor tego zbioru:

Robert Feter.

Teoria

Definicja: Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych lub jego podzbiorze.

Ciągiem:

·         nieskończonym nazywamy funkcję określoną na zbiorze N+  (liczb naturalnych dodatnich) i oznaczamy:

·         skończonym nazywamy funkcję określoną na skończonym podzbiorze  zbioru N+  (liczb naturalnych dodatnich) i oznaczamy:

Ciąg (an) nazywamy:

·         rosnącym, jeżeli dla każdego n: 

·         malejącym, jeżeli dla każdego n: 

·         niemalejącym, jeżeli dla każdego n: 

·         nierosnącym, jeżeli dla każdego n: 

Sposoby określenia ciągu:

§         przepis słowny,

§         podanie kilku kolejnych początkowych lub wszystkich wyrazów (w przypadku ciągu skończonego o małej liczbie wyrazów),

§         podanie wzoru ogólnego na n-ty wyraz ciągu,

§         podanie wzoru rekurencyjnego,

§         podanie wykresu ciągu,

określenie w sposób rekurencyjny, czyli podanie co najmniej jednego wyrazu początkowego i zależności wyrazu a od wyrazów poprzednich, np. wzór

Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny to ciąg, w którym każdy wyraz (oprócz pierwszego) powstaje przez dodanie ustalonej liczby r do poprzedniego wyrazu. Różnica kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego jest stała, równa r. Liczbę r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.

Ciąg (an) nazywamy arytmetycznym, jeżeli dla każdego n,  an+1-an= r = constans, . 

a1 – pierwszy wyraz ciągu

r – różnica ciągu

Jeżeli:

·         r > 0 to ciąg jest rosnący

·         r < 0 to ciąg jest malejący

·         r = 0 to ciąg jest stały

Wzór na kolejny wyraz ciągu. Mając dany pierwszy wyraz ciągu a1 i  różnicę r możemy wyznaczyć każdy jego wyraz. Wykorzystujemy wtedy następujące wzory:

  lub   

Zależność między trzema kolejnymi wyrazami w ciągu arytmetycznym:

dla 

Z powyższego wzoru wynika, że każdy wyraz ciągu arytmetycznego oprócz pierwszego i (jeżeli ciąg jest skończony) ostatniego jest średnią arytmetyczną dwóch sąsiednich wyrazów, to znaczy wyrazów poprzedniego i następnego:

Suma  Sn = a1 + a2 + a3 +... + an ,  n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy r, wyraża się wzorem:

                            lub              

Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny to ciąg, w którym każdy wyraz (oprócz pierwszego) powstaje poprzez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez ustaloną liczbę q. Iloraz kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego jest stały równy q, gdzie . Liczbę q nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.

Ciąg ( an )  nazywamy geometrycznym, jeżeli dla każdego  n,

                                              ,   ,  

a1 – pierwszy wyraz ciągu

q – iloraz ciągu

Jeżeli:

·         q=1  to ciąg jest stały

·         0<q<1 i a1>0 - to ciąg jest malejący

·         q>1  i  a1<0   - to ciąg jest malejący

·         0<q<1 i a1<0 - to ciąg jest rosnący

·         q>1  i  a1>0   - to ciąg jest rosnący

·         q<0    - to ciąg jest naprzemienny (kolejne wyrazy różnią się znakami)

Mając dany pierwszy wyraz ciągu a1 i  iloraz q możemy wyznaczyć każdy jego wyraz. Wykorzystujemy wtedy następujące wzory:

   lub  

Zależność między trzema kolejnymi wyrazami w ciągu geometrycznym:

lub  

Suma kolejnych wyrazów ciągu:

  , gdy                           ,  gdy q=1

UWAGA: Ciąg arytmetyczny i geometryczny może być nieskończony, lub skończony, ale ciąg skończony musi mieć co najmniej trzy wyrazy.