Równania rózniczkowe.pdf

SkryptpowstaªnabaziewykªadówzprzedmiotuÿRównaniaró»niczkowe",któreprowadz¦

dlastudentówdrugiegosemestrukierunkuAutomatykaiRobotykanaWydzialeElektro-

technikiiAutomatykiPolitechnikiGda«skiej.Programwykªadówzostaªdobranyzjednej

strony pod k¡tem przydatno±ci w dalszym toku studiów na tym kierunku, a z drugiej

stronytak,abyistniaªarealnaszansajegorealizacjiczasie30godzinwykªaduitakiejsa-

mejilo±ci¢wicze«.Dodatkoweograniczeniawmo»liwo±cipeªnejargumentacjiniektórych

twierdze«wynikaj¡zfaktu,»estudencidrugiegosemestrunieodbylijeszczecaªegokursu

analizymatematycznej.

Skryptjestdost¦pnywformieelektronicznejnamojejstroniedomowej(www.mif.pg.

gda.pl/homepages/graz).Nastronietejzamieszczones¡równie»programykomputerowe

ilustruj¡ce niektóre przykªady zawarte w skrypcie. Programy te zostaªy napisane przez

studentów Matematyki Stosowanej w ramach prowadzonego przeze mnie laboratorium z

ukªadówdynamicznych.

WojciechGr¡ziewicz

W.Gr¡ziewicz RÓWNANIARÓNICZKOWE

Spistre±ci

1 Wiadomo±ci wst¦pne z równa« ró»niczkowych

1.1 Podstawowedenicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Interpretacjageometrycznarównaniarz¦dupierwszego . . . . . . . . . . . . 13

2 Podstawowetypyrówna«ró»niczkowychzwyczajnychrz¦dupierwszego 17

2.1 Równanieozmiennychrozdzielonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Równaniejednorodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.2 Trajektorieortogonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Równanieró»niczkoweliniowerz¦dupierwszego . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.1 RównanieBernoulliego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Równania ró»niczkowe wektorowe

3.1 Wiadomo±ciwst¦pne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Twierdzeniaoistnieniuijednoznaczno±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 Ukªadyliniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.1 Macierzfundamentalnaijejwªasno±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3.2 Rezolwentaukªaduliniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3.3 Ukªadylinioweostaªychwspóªczynnikach . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.3.4 Metody wyznaczania macierzy e t A . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4 Skalarne równania liniowe rz¦du n

4.1 Podstawowedenicjeitwierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2 Skalarnerównanialinioweostaªychwspóªczynnikach . . . . . . . . . . . . . 79

4.3 Rozwi¡zywanie niejednorodnych równa« liniowych o staªych wspóªczynni-

kachmetod¡przewidywa« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.4 Drganialiniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.5 RównanieEulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.6 Rozwi¡zywanieukªadówrówna«liniowychmetod¡eliminacji . . . . . . . . 96

W.Gr¡ziewicz RÓWNANIARÓNICZKOWE

5 Interpretacja dynamiczna ukªadów równa« ró»niczkowych

5.1 Trajektoriefazowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.2 Caªkipierwsze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6 Elementy teorii stabilno±ci

115

6.1 Stabilno±¢wsensieLapunowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.2 Stabilno±¢ukªadówliniowychostaªychwspóªczynnikach . . . . . . . . . . . 118

6.3 Stabilno±¢rozwi¡za«równanialiniowegorz¦du n . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.4 Stabilno±¢rozwi¡za«ukªadównieliniowych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.5 FunkcjaLapunowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7 Przeksztaªcenie Laplace'a

139

7.1 Denicjaipodstawowewªasno±ciprzeksztaªceniaLaplace'a . . . . . . . . . 139

7.2 PrzeksztaªcenieodwrotnedoprzeksztaªceniaLaplace'a . . . . . . . . . . . . 145

7.3 ZastosowanieprzeksztaªceniaLaplace'adorozwi¡zywaniarówna«ró»nicz-

kowych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

7.4 Splotfunkcjiijegowªasno±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

7.5 Transformataoryginaªuokresowego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

W.Gr¡ziewicz RÓWNANIARÓNICZKOWE

1 Wiadomo±ciwst¦pnezrówna«ró»niczkowych

1.1 Podstawowe denicje

Równaniaró»niczkowes¡topewnegorodzajurównaniafunkcyjne,czylitakierównania,w

którychniewiadom¡jestfunkcja.Wrównaniuró»niczkowymniewiadomafunkcjawyst¦-

pujepodznakiempochodnej.Je»eliniewiadomajestfunkcj¡jednejzmiennej,torównanie

nazywasi¦równaniemró»niczkowymzwyczajnym.Naprzykªadrównania

+ x 2 y =sin x; y

+2 yy

0 y

0 2 =0

::: .Rz¡dnajwy»szejpochodnejwyst¦puj¡cejw

równaniunazywasi¦rz¦demrównania.Pierwszeztychrówna«jestrównaniemró»niczko-

wymzwyczajnymrz¦dupierwszego,adrugierównaniemrz¦dudrugiego.Je»eliwrównaniu

wyst¦puje funkcja dwóch lub wi¦cej zmiennych oraz jej pochodne cz¡stkowe pierwszego

lubwy»szychrz¦dów,totakierównanienazywasi¦równaniemró»niczkowymcz¡stkowym.

Równanie

; y

@ 2 u

@t 2 =0 ;

w którym niewiadom¡ funkcj¡ jest funkcja u = u ( x;t ) ; jest przykªadem równania ró»-

niczkowegocz¡stkowegorz¦dudrugiego.Tutajzajmowa¢si¦b¦dziemytylkorównaniami

ró»niczkowymizwyczajnymi.

@ 2 u

@x 2

a 2

Niechdanab¦dziefunkcja F : D !

R,gdzie D

R n +2 .Równanie

F ( x;y;y

;:::;y ( n ) )=0 ;

(1)

nazywamyrównaniemró»niczkowymzwyczajnymrz¦du n wpostaci ogólnej. Je»elizrów-

nania (1) mo»na wyznaczy¢ y ( n ) przy pomocy pozostaªych zmiennych, to otrzymamy

zwi¡zek

y ( n ) = f ( x;y;y

;:::;y ( n 1) ) ;

(2)

którynazywamyrównaniemró»niczkowymzwyczajnymrz¦du n wpostaci normalnej.

We¹mypoduwag¦nast¦puj¡cerównanie:

= x 2 :

Poszukujemyfunkcji y = y ( x ),którejpochodnajestrówna x 2 .Takichfunkcjijestoczy-

wi±cieniesko«czeniewiele.Ka»dazfunkcjipostaci

y ( x )= 1

3 x 3 + C; C 2

R ;

s¡równaniamiró»niczkowymizwyczajnymi.Równaniatewi¡»¡zmienn¡niezale»n¡ x ,nie-

wiadom¡funkcj¦ y ijejpochodne y

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: