Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 17
Średnia droga swobodna to inaczej średnia odległość między miejscami kolejnych zderzeń. Zależy od rozmiarów cząsteczek i od ich liczby w jednostce objętości.
Rozpatrujemy cząstkę kulistą o średnicy d. Zderzenie będzie miało miejsce gdy odległość między środkami będzie mniejsza niż d. Inaczej mówiąc cząsteczka jest "tarczą" o powierzchni
s = pd2
Ta powierzchnia nosi nazwę całkowitego przekroju czynnego.
W czasie t cząsteczka poruszająca się z prędkością v "przemiata" objętość walca vts. Jeżeli n jest liczbą cząsteczek w jednostce objętości to w tym walcu nasza cząstka napotka (zderzy się z)
nz = vtsn
cząstek.
Średnia droga swobodna to średnia odległość pomiędzy punktami kolejnych zderzeń. Jest ona równa całkowitej odległości przebywanej przez cząstkę podzielonej przez liczbę zderzeń
(17.1)
To równanie wyprowadzono w oparciu o założenie, że cząstka zderza się z nieruchomymi obiektami. W rzeczywistości cząsteczki uderzają w poruszający się cel. Częstość zderzeń jest większa, a średnia droga swobodna mniejsza
(17.2)
Zwróćmy uwagę, że wtedy w równaniu (17.1) dwie występujące tam prędkości są różne: prędkość w liczniku to prędkość średnia cząsteczek względem naczynia, a prędkość w mianowniku to średnia prędkość względna w stosunku do innych cząsteczek. Można się przekonać jakościowo, że
>
Np. gdy cząstki biegną naprzeciw siebie to = 2, gdy pod kątem prostym to a gdy w tę samą stronę to = 0. Uwzględniając rzeczywisty rozkład prędkości otrzymujemy .
Przykład 1
Cząstki powietrza w temperaturze 273 K i pod ciśnieniem 1 atm.
d = 2·10-8 cm, = 105 cm/s, n = 3·1019/cm3.
Wówczas średnia droga swobodna jest równa 2·10-5 cm (około 1000d).
Odpowiednia częstość zderzeń wynosi 5·109/s.
Na poprzednim wykładzie omawialiśmy prędkość średnią kwadratową cząsteczek gazu. Jednak każdy gaz ma charakterystyczny rozkład prędkości, który zależy od temperatury (cząstki nie mogą mieć takich samych prędkości bo prędkości zmieniają się w wyniku zderzeń).
Clerk Maxwell podał prawo rozkładu prędkości cząsteczek, które dla gazu zawierającego N cząsteczek ma postać
(17.3)
W równaniu tym N(v)dv jest liczbą cząstek o prędkościach z przedziału od v do v + dv. T - temperatura bezwzględna, k - stała Boltzmana, m - masa cząsteczki.
Całkowitą liczbę cząsteczek można zatem obliczyć dodając (całkując) liczby dla poszczególnych różniczkowych przedziałów prędkości
Na rysunku przedstawiony jest rozkład Maxwella dla dwóch różnych temperatur.
gdzie - prędkość średnia, - prędkość średnia kwadratowa, vp – prędkość najbardziej prawdopodobna.
Krzywa nie jest symetryczna bo dolny limit równy jest zeru podczas gdy górny nieskończoności. Ze wzrostem temperatury rośnie prędkość średnia kwadratowa. Obszar prędkości jest teraz większy. Ponieważ liczba cząstek (pole pod krzywą) jest stała więc rozkład się "rozpłaszcza". Wzrost, wraz z temperaturą, liczby cząstek o prędkościach większych od danej tłumaczy wiele zjawisk takich jak np. wzrost szybkości reakcji chemicznych towarzyszących zwiększeniu temperatury. Z równania widać, że rozkład prędkości zależy od masy cząsteczek. Im mniejsza masa tym więcej szybkich cząsteczek (w danej temperaturze). Dlatego wodór łatwiej ucieka z górnych warstw atmosfery niż tlen czy azot.
Równanie stanu gazu doskonałego
pV = nRT
dobrze opisuje gazy rzeczywiste ale przy małych gęstościach. Przy większych gęstościach nie można pominąć faktu, że cząstki zajmują część objętości dostępnej dla gazu oraz że zasięg sił międzycząsteczkowych może być większy niż odległości międzycząsteczkowe.
J.D. Van der Waals wprowadził zmienione równanie stanu gazu, które uwzględnia te czynniki. Jeżeli cząstki posiadają skończoną objętość to rzeczywista objętość dostępna dla cząstek jest mniejsza od objętości naczynia. "Objętość swobodna" jest mniejsza od objętości naczynia o "objętość własną" cząsteczek b. Jeżeli oznaczymy przez v objętość przypadającą na jeden mol v = V/n to otrzymamy zmodyfikowane równanie stanu gazu
p(v – b) = RT
Można również prosto uwzględnić efekt sił międzycząsteczkowych. Siły przyciągania pomiędzy n cząsteczkami (na jednostkę objętości) "po lewej" z n cząsteczkami (na jednostkę objętości) "po prawej" jest proporcjonalna do n2 czyli proporcjonalna do 1/v2. Siła przyciągająca znajduje swoje odzwierciedlenie w dodatkowym ciśnieniu, które zostało uwzględnione w równaniu Van der Waalsa
(17.4)
gdzie stałe a i b wyznaczamy doświadczalnie. (Równanie Van der Waalsa też bywa zawodne ale nie jest znana prosta formuła, która stosowałaby się do różnych gazów w różnych warunkach).
Na rysunku poniżej porównano zachowanie się gazu doskonałego (rysunek po lewej) w stałej temperaturze z gazem Van der Waalsa (po prawej).
Rozpatrzmy dwa przypadki izotermicznego sprężanie gazu.
Proces typu (1) nazywamy procesem nieodwracalnym a proces typu (2) procesem odwracalnym.
Proces nazywamy odwracalnym gdy za pomocą bardzo małej (różniczkowej) zmiany otoczenia można wywołać proces odwrotny do niego tzn. przebiegający po tej samej drodze w przeciwnym kierunku.
Bardzo ważnym cyklem odwracalnym jest cykl Carnota. Cykl ten wyznacza granicę naszych możliwości zamiany ciepła na pracę.
1) Gaz znajduje się w stanie p1, V1, T1 (punkt A). Cylinder stawiamy na zbiorniku ciepła i pozwalamy, żeby gaz rozprężył się izotermicznie do stanu p2, V2, T1 (punkt B). Gaz pobiera ciepło Q1.
2) Cylinder stawiamy na izolującej podstawce i pozwalamy na dalsze rozprężanie adiabatyczne gazu (np. zmniejszając obciążenie tłoka) do stanu p3, V3, T2 (punkt C). Gaz wykonuje pracę przy podnoszeniu tłoka i jego temperatura spada do T2.
3) Cylinder stawiamy na (zimniejszym) zbiorniku (T2) i sprężamy gaz izotermicznie do stanu p4, V4, T2 (punkt D). Z gazu do zbiornika przechodzi ciepło Q2.
4) Cylinder stawiamy na izolującej podstawce i sprężamy adiabatycznie do stanu p1, V1, T1 (punkt A). Siły zewnętrzne wykonują pracę i temperatura gazu podnosi się do T1.
Wypadkowa praca W wykonana przez układ w czasie pełnego cyklu jest opisana przez powierzchnię zawartą wewnątrz krzywej 1,2,3,4. Wypadkowa ilość ciepła pobrana przez układ podczas jednego cyklu wynosi Q1 - Q2. Wypadkowa zmiana energii wewnętrznej wynosi zero bo stan końcowy pokrywa się z początkowym. Z pierwszej zasady termodynamiki mamy więc
W = Q1 – Q2
Sprawność silnika wynosi
(17.5)
Cykl Carnota można prowadzić w kierunku przeciwnym (maszyna chłodząca).
Zwróćmy jeszcze raz uwagę na to, że w trakcie pracy (cyklu) silnika cieplnego część pobieranego ciepła była oddawana do zbiornika o niższej temperaturze i w konsekwencji ta ilość ciepła nie była zamieniana na pracę. Powstaje pytanie, czy można skonstruować urządzenie, które pobierałoby ciepło i w całości zamieniałoby je na pracę? Moglibyśmy wtedy wykorzystać ogromne (z naszego punktu widzenia nieskończone) ilości ciepła zgromadzone w oceanach, które byłyby stale uzupełniane poprzez promieniowanie słoneczne.
Negatywna, niestety, odpowiedź na to pytanie jest zawarta w drugiej zasadzie termodynamiki. Poniżej podane zostały równoważne sformułowania tej zasady
1) Nie można zbudować perpetum mobile drugiego rodzaju.
2) Gdy dwa ciała o różnych temperaturach znajdą się w kontakcie termicznym, wówczas ciepło będzie przepływało z cieplejszego do chłodniejszego.
3) Żadna cykliczna maszyna cieplna pracująca pomiędzy temperaturami T1 i T2 nie może mieć sprawności większej niż (T1 ‑ T...
pkoszla