Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 34
Omawiane na poprzednich wykładach doświadczenia były interpretowane raz w oparciu o obraz falowy (np. dyfrakcja) innym razem w oparciu o model cząsteczkowy (np. efekt Comptona).
Jeżeli światło ma dwoistą falowo-cząsteczkową naturę, to być może materia też ma taką dwoistą naturę. Taką sugestię zaprezentował w 1924 L. de Broglie min. w oparciu obserwację, że Wszechświat składa się wyłącznie ze światła i materii oraz że pod wieloma względami przyroda jest zadziwiająco symetryczna. Chociaż materię traktowano jako cząstki de Broglie zasugerował, że należy zbadać czy materia nie wykazuje również własności falowych.
De Broglie nie tylko zaproponował istnienie fal materii ale również przewidział ich długość. Założył, że długość przewidywanych fal materii jest określona tym samym związkiem, który stosuje się do światła.
Analizując zderzenie fotonu z elektronem (efekt Comptona) zastosowano do tego zderzenia zasadę zachowania pędu. Do tych obliczeń potrzebne było wyrażenie na pęd fotonu.
(34.1)
Analogiczne wyrażenie zostało zaproponowane przez de Broglia dla fal materii
(34.2)
Wyrażenie to wiąże teraz pęd cząstki materialnej z długością przewidywanych fal materii.
Przykład 1
Jaką długość fali przewiduje równanie (34.2) dla obiektów „masywnych” np. dla piłki, o masie 1 kg, poruszającej się z prędkością 10 m/s, a jaką dla „lekkich” np. elektronów przyspieszonych napięciem 100 V?
Dla piłki p= mv = 1 kg·10 m/s = 10 kg m/s
Stąd długość fali de Broglie’a
Ta wielkość jest praktycznie równa zeru zwłaszcza w porównaniu z rozmiarami obiektu. Doświadczenia prowadzone na takim obiekcie nie pozwalają więc na rozstrzygnięcie czy materia wykazuje własności falowe (l zbyt mała). Przypomnijmy, że falowy charakter światła przejawia się gdy wymiary liniowe obiektów są porównywalne z długością fali.
Natomiast elektrony przyspieszone napięciem 100 V uzyskują energię kinetyczną
Ek = eU = 100 eV = 1.6·10-17 J
Prędkość jaką uzyskują elektrony wynosi
Odpowiednia długość fali de Broglie’a wynosi
Jest to wielkość rzędu odległości między atomowych w ciałach stałych.
Można więc zbadać falową naturę materii (tak jak promieni Roentgena) skierowując wiązkę elektronów, o odpowiedniej energii, na kryształ. Takie doświadczenie przeprowadzili w 1961 roku Davisson i Germer w USA oraz Thomson w Szkocji. Na rysunku przedstawiono schemat aparatury pomiarowej.
Elektrony emitowane z ogrzewanego włókna przyspieszane są regulowanym napięciem. Wiązka zostaje skierowana na kryształ niklu a detektor jest ustawiony pod pewnym szczególnym kątem j. Natężenie wiązki ugiętej na krysztale jest odczytywane przy różnych napięciach przyspieszających. Okazuje się, że prąd w detektorze ujawnia maksimum dyfrakcyjne przy kącie równym 50° dla U = 54 V.
Jeżeli skorzystamy z prawa Bragga możemy obliczymy wartość l, dla której obserwujemy maksimum w tych warunkach
Dla niklu d = 0.091 nm. Ponieważ j = 50° więc q = 90° - j/2 = 65° (rysunek obok). Długość fali obliczona w oparciu o te dane wynosi:
l = 2·0.091 nm·sin65° = 0.165 nm
Teraz w oparciu o znaną energię elektronów (54 eV) obliczymy długość fali de Broglie’a analogicznie jak w przykładzie 1
Ta doskonała zgodność stanowiła argument za tym, że w pewnych okolicznościach elektrony wykazują naturę falową.
Dzisiaj wiemy, że inne cząstki, zarówno naładowane jak i nienaładowane, wykazują cechy charakterystyczne dla fal. Dyfrakcja neutronów jest powszechnie stosowaną techniką eksperymentalną używaną do badania struktury ciał stałych.
Tak więc, zarówno dla materii, jak i dla światła, musimy przyjąć istnienie dwoistego ich charakteru.
Jeżeli na ruch fali nie ma żadnych ograniczeń to fala może mieć dowolną długość. Inaczej sytuacja przedstawia się gdy ruch fal zostanie ograniczony przez nałożenie pewnych warunków fizycznych. Np. dla fal w strunie odpowiada to wyodrębnieniu odcinka struny zamocowanego na obu końcach (np. struna w skrzypcach).
Występują wtedy dwie ważne różnice:
· ruch jest teraz opisywany przez falę stojącą (a nie bieżącą),
· mogą występować tylko pewne długości fal tzn. mamy do czynienia z kwantyzacją długości fali wynikającą z ograniczeń nałożonych na falę (rysunki obok).
Na rysunku tych widać trzy pierwsze stany kwantowe dla drgającej struny.
Jeżeli więc ruch elektronów jest ograniczony w atomach to możemy się spodziewać przez analogię, że:
· ruch elektronów może być opisany przez stojące fale materii,
· ruch ten zostaje skwantowany.
Rysunek obok przedstawia stojącą falę materii związaną z orbitą o promieniu r. Długość fali de Broglie’a została dobrana tak, aby orbita o promieniu r zawierała całkowitą liczbę n fal materii.
Wtedy otrzymujemy
czyli
Prowadzi to natychmiast do
Warunek kwantyzacji Bohra jest teraz konsekwencją przyjęcia, że elektron jest reprezentowany przez odpowiednią falę materii i zastosowania odpowiednich warunków brzegowych.
W 1926 roku E. Schrödinger sformułował mechanikę falową (jedno ze sformułowań fizyki kwantowej) min. w oparciu o założenie, że stacjonarne stany w atomach odpowiadają stojącym falom materii.
Dla fal w strunie zaburzenie może być opisane za pomocą poprzecznego wychylenia y, dla fal elektromagnetycznych poprzez wektor natężenia pola elektrycznego E.
Analogiczną miarą dla fal materii jest funkcja falowa y.
Teraz spróbujemy znaleźć taką funkcję dla prostego zagadnienia ruchu cząstki o masie m pomiędzy sztywnymi ściankami odległymi o l (rysunek na następnej stronie).
Funkcję falową można otrzymać przez analogię do zagadnienia struny umocowanej na obu końcach. Z warunków brzegowych wynika, że na obu końcach struny muszą występować węzły. Oznacza to (przez to żądanie) że długość fali jest skwantowana:
Zaburzenie falowe dla struny jest opisane przez falę stojącą (Wykład 15)
y(x,t) = 2Asinkxcoswt
dla której rozkład przestrzenny (amplitudy) jest dany przez
y(x) = Asinkx
gdzie k = 2p/l. Ponieważ l jest skwantowane to k też jest skwantowane.
Prowadzi to do warunku
Wykres tej funkcji dla n =1, 2, 3 pokazany jest na stronie 34-3.
Rozważmy teraz cząstkę poruszającą się pomiędzy sztywnymi ściankami (rysunek obok). Ponieważ ścianki są sztywne, cząstka nie może przeniknąć przez nie, tak więc stojąca fala materii opisująca tę cząstkę ma węzły na ściankach. Inaczej mówiąc funkcja falowa y przyjmuje wartość zero w punktach x = 0 i x = l.
W konsekwencji dopuszczalne fale materii muszą mieć długość fal danych równaniem
Ponieważ mówimy o fali materii (reprezentującej cząstkę) to jest to po prostu fala de Broglie’a, dla której możemy zastąpić l przez h/p.
Prowadzi to do związku
Widzimy, że pęd cząstki uwięzionej pomiędzy ściankami jest skwantowany.
Dla cząstki pęd p jest związany z energią kinetyczną Ek relacją
Zestawienie tego równania z równaniem na pęd cząstki prowadzi do warunku kwantyzacji energii
Cząstka nie może mieć dowolnej energii (jak w obrazie klasycznym) ale ściśle określone wartości dane powyższym równaniem.
Amplituda fal materii zmienia się tak samo jak amplituda dla fali stojącej w strunie tzn. jest dana analogicznym równaniem:
(34.3)
Funkcję y skonstruowaliśmy przez analogię do funkcji opisującej amplitudę fali stojącej w strunie. Ale nie wyjaśniony jest jeszcze sposób w jaki y przedstawia ruch cząstki. Wiemy już, że długość fali materii (de Broglie’a) wiąże się bezpośrednio z pędem cząstki. Pozostaje wyjaśnić z czym wiąże się y.
Jako pierwszy fizyczną interpretację funkcji falowej podał Max Born. Zasugerował, że wielkość y2 w dowolnym punkcie przedstawia miarę prawdopodobieństwa, że cząstka znajdzie się w pobliżu tego punktu tzn. w jakimś obszarze wokół tego punktu np. w przedziale x, x+dx.
Ta interpretacja funkcji y daje statystyczny związek pomiędzy falą i związaną z nią cząstką. Nie mówimy gdzie cząstka jest ale gdzie prawdopodobnie się znajdzie.
Tak więc dla cząstki poruszającej się pomiędzy dwoma ściankami odległymi o l
(34.4)
nie opisuje położenia cząstki ...
pkoszla