ruch_drgajacy_i_falowy.pdf

(213 KB) Pobierz
RUCHDR~1
RUCH DRGAJ ġ CY
OSCYLATOR HARMONICZNY
·
Cz ħ sto Ļę drga ı nie zale Ň y od amplitudy
·
Zmiany stanu oscylatora podlegaj Ģ zasadzie superpozycji
0
0
x
m
x
Przykład oscylatora harmonicznego prostego
·
Siła wprawiaj Ģ ca ciało w ruch drgaj Ģ cy (siła quasi-spr ħŇ ysta) i
równanie ruchu
F
=
-
kx
(
t
)
F
=
ma
d
2
x
m
=
-
kx
dt
2
d
2
x
m
+
kx
=
0
dt
2
d
2
x
k
+
x
=
0
dt
2
m
k – współczynnik spr ħŇ ysto Ļ ci; m – masa oscylatora; a – przyspieszenie
1
231275804.011.png 231275804.012.png
·
Równanie ruchu oscylatora harmonicznego prostego jest równaniem
ró Ň niczkowym drugiego rz ħ du. „Odgadni ħ te” rozwi Ģ zanie równania
posiada posta ę
x
=
A
sin(
w
0
t
+
j
)
A – amplituda drga ı
w 0 – cz ħ sto Ļę kołowa drga ı własnych oscylatora
j - faza pocz Ģ tkowa drga ı
t – dowolnie wybrana chwila czasu
T – okres drga ı
T
=
2
p
w
0
·
Rozwi Ģ zaniem równania mo Ň e by ę równie Ň funkcja cosinus oraz
kombinacja liniowa obydwu tych funkcji.
· Pr ħ dko Ļę i przyspieszenie oscylatora
dx
=
v
=
A
w
cos(
w
t
+
j
)
dt
0
0
d
2
x
=
a
=
-
A
w
2
sin(
w
t
+
j
)
dt
2
0
0
·
Z równania ruchu, do którego podstawiamy wzory na x i
przyspieszenie mo Ň na wyznaczy ę zwi Ģ zek pomi ħ dzy cz ħ sto Ļ ci Ģ
kołow Ģ drga ı własnych oscylatora a jego własno Ļ ciami fizycznymi
(masa, współczynnik spr ħŇ ysto Ļ ci)
2
231275804.013.png
w
=
k
=
2
p
=
2
pn
0
m
T
0
n
=
1
0
T
n 0 – zwykła cz ħ sto Ļę drga ı (liczba powtórze ı tego samego poło Ň enia ciała
w jednostce czasu).
ĺ REDNIA ENERGIA KINETYCZNA I POTENCJALNA OSCYLATORA
HARMONICZNEGO PROSTEGO
· Definicja warto Ļ ci Ļ redniej wielko Ļ ci okresowo zmiennej q(t)
1
T
<
q
>=
Ð
q
(
t
)
dt
T
0
q(t) – warto Ļę chwilowa
·
Chwilowa warto Ļę energii kinetycznej
E
(
t
)
=
1
mv
2
=
1
m
(
w
2
A
cos
w
t
)
2
k
2
2
0
0
j
=
0
·
ĺ rednia warto Ļę energii kinetycznej
1
T
<
E
>=
Ð
E
(
t
)
dt
k
T
k
0
Podstawiaj Ģ c z =
w
0 t wykonujemy całkowanie
1
2
2
1
2
p
2
1
2
2
<
E
>=
m
w
A
Ð
cos
zdz
=
m
w
A
k
2
0
2
p
4
0
0
3
231275804.014.png 231275804.001.png 231275804.002.png 231275804.003.png
·
Chwilowa warto Ļę energii potencjalnej (praca siły spr ħŇ ysto Ļ ci)
E Ð
=
L
=
x
kxdx
=
1
kx
2
p
2
0
·
ĺ rednia warto Ļę energii potencjalnej
1
T
1
2
1
2
2
<
E
>=
Ð
E
(
t
)
dt
=
kx
=
m
w
A
p
T
p
4
4
0
0
·
ĺ rednia warto Ļę energii kinetycznej oscylatora harmonicznego
prostego jest równa Ļ redniej warto Ļ ci jego energii potencjalnej
<
E
k
>=<
E
p
>
·
Energia całkowita oscylatora i prawo zachowania energii
E
=<
E
>
+
<
E
>=
1
m
w
2
A
2
=const
k
p
2
0
OSCYLATOR HARMONICZNY TŁUMIONY (DRGANIA SWOBODNE
TŁUMIONE)
·
Oprócz siły quasi-spr ħŇ ystej na oscylator harmoniczny działa siła
tarcia proporcjonalna w ka Ň dej chwili do pr ħ dko Ļ ci ciała i przeciwnie
do niej skierowana
T
~
v
(
t
)
T
=
-
fv
=
-
f
dx
dt
4
C
C
231275804.004.png 231275804.005.png 231275804.006.png 231275804.007.png
·
Równanie ruchu
d
2
x
dx
m
=
-
kx
-
f
dt
2
dt
d
2
x
f
dx
k
+
+
x
=
0
dt
2
m
dt
m
Równanie ró Ň niczkowe drugiego rz ħ du – jak rozwi Ģ za ę ?
PIERWSZY ETAP ROZWI ġ ZANIA
·
NA CZ ġ STK Ħ DZIAŁA TYLKO SIŁA TARCIA
Posta ę równania ruchu
d
2
x
f
dx
+
=
0
dt
2
m
dt
·
Definicje
Czas relaksacji
t
=
m
f
Współczynnik tłumienia
b
=
1
·
Inny sposób zapisu równania ruchu
dx
=
v
dt
dv
+
1
v
=
0
dt
t
dv
=
-
dt
v
t
Całkujemy równanie obustronnie dla warunków pocz Ģ tkowych
v=v 0 dla t=0
5
t
231275804.008.png 231275804.009.png 231275804.010.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin