ipf_zad_16.pdf

Wahadłasprzężone

Mirosław Bylicki

15 lutego 2007 roku

Rysunek 1: Whadłasprzężone.

Przedmiotem rozważań jest układ dwóch jednakowych wahadeł ﬁzycznych, każde o

momencie bezwładności I , sprzężonych za pomocą sprężyny o współczynniku sprężysto

ści k .Jestonaprzymocowanadokażdegozwahadełwodległości d odpunktuzawieszenia.

Długośćswobodnejspężynyjestrównaodległościwahadełwpołożeniurównowagi.Ozna

cza to, że w położeniu równowagi siła sprężystości jest równa zero.

Rozważymy siłydziałającenawahadłaorazspowodowanynimiruch.Wszczególności

rozpatrzymy drgania normalne układu i pewne szczególne drganie złożone — dudnienia.

Przygotujemy się też do świadomego —nieprzypadkowego —wzbudzania drgańnormal

nych i dudnień.

Zakładam, że czytelnik zna deﬁnicje bryły sztywnej, momentu bezwładności ( I ), mo

mentu pędu ( L ), momentu siły ( M ). Ufam, że nie jest mu obce ogólne prawo ruchu

obrotowego:

dt = M,

(1)

mówiące jaki jest skutek działania sił o wypadkowym momencie M .

F S

Rysunek 2: Położenie wahadła jest jednoznacznie określone przez kąt, jaki tworzy ono z

kierunkiem pionowym, ϕ . Wychylenie z położenia równowagi (pionowego) powoduje od

ształceniesprężyny,awięcpowstaniesiłysprężystości.Siłasprężystościdziaławkierunku

poziomym i jest zmienna — zależy od wychylenia obu wahadeł. Siła ciężkości jest stała.

1 Równaniaruchu

Ruch wahadeł jest płaski. Odbywa się w płaszczyźnie rysunku (powyżej) i polega na ob

rotach wahadeł wokół stałych osi prostopadłych do tej płaszczyzny. Położenie każdego z

wahadeł jest jednoznacznie określone przez kąt jego wychylenia z położenia równowagi,

ϕ i ( i =1 , 2). Jeśli przyjmiemy, że wychylenie w prawo (jak na rysunku) jest dodatnie, to

zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej będziemy musieli przyjąć, że wektory prostopadłe

do rysunku zwrócone ku nam mają zwrot dodatni, a wektory zwrócone za płaszczyznę

rysunku —ujemny. Będziemy konsekwentnie stosować tękonwencję wponiższych rozwa

żaniach.

Rozważmy jedno z wahadeł. Działa na nie siła ciężkości F g = mg i siła sprężystości

F s = − k x , pochodząca od sprężyny sprzęgającej rozważane wahadło z drugim. Ta

siła działa w kierunku poziomym (w przybliżeniu). Jej wartość jest proporcjonalna do

odkształcenia sprężyny

x = d sin ϕ 1 − d sin ϕ 2 ,

którejestspowodowane wychyleniem wahadełzpołożeniarównowagi(Wahadłasązawie

szone w takiej odległości, że w położeniu równowagi, sprężyna jest swobodna — nieod

kształcona).

Momenty tych sił są prostopadłe do płaszczyny rysunku, bo zarówno wektory sił jak

ich ramiona leżą w tej płaszczyźnie. Mają one wartości, odpowiednio,

M s = d F s sin ^ ( d, F s )= d kd (sin ϕ 1 − sin ϕ 2 ) sin( − ϕ 1 −

2 )= − kd 2 (sin ϕ 1 − sin ϕ 2 )cos ϕ 1 ,

M g = l F g sin ^ ( l, F g )= l mg sin( − ϕ 1 )= − mgl sin ϕ 1 .

Dodatnia lub ujemna wartość momentu określa jego zwrot zgodnie z przyjętą wyżej kon

wencją. (Sam znak “ − ” nie oznacza, że są one zawsze ujemne. Znak zmienia się odpo

wiednio do zmian znaków ϕ i ).

Momenty sił wykorzystamy w równaniu 1. Zanim je napiszemy, zauważmy, że w na

szym szczególnym przypadku, moment pędu jest równoległy do osi obrotu i L = I d' 1

dt .

Moment bezwładności jest stały. Równanie 1 ma więc następującą postać:

dt 2 = − mgl sin ϕ 1 − kd 2 (sin ϕ 1 − sin ϕ 2 )cos ϕ 1 .

(2)

Mamy zamiar badać małedrgania naszego układu. Przyjmujemy więc, że wychylenia

ϕ są małe i można zastosować przybliżenie sin ϕ ≃ ϕ oraz cos ϕ ≃ 1. Wtedy

I d 2 ϕ 1

dt 2 = − mglϕ 1 − kd 2 ( ϕ 1 − ϕ 2 ) .

Oczywiście analogiczne równanie

I d 2 ϕ 2

dt 2 = − mglϕ 2 − kd 2 ( ϕ 2 − ϕ 1 )

otrzymujemy dla drugiego wahadła. Musimy więc rozwiązać układ równań sprzężonych

dt 2 +( ω 2 o + K ) ϕ 1 − Kϕ 2 =0 ,

d 2 ' 2

(3)

dt 2 +( ω 2 o + K ) ϕ 2 − Kϕ 1 =0 .

I , ω o jestprzecieżczęstościąkołowądrgań

swobodnych każdego z wahadeł (niesprzężonych). Oznaczyliśmy też K ≡

mgl

I .

Ogólne rozwiązanie, opisujące dowolne — chociaż małe — drgania układu, jest dość

skomplikowane. Na szczęście zawsze daje się przedstawić jako złożenie pewnych szcze

gólnych drgań, tzw. drgań normalnych układu. Zajmiemy się więc najpierw drganiami

normalnymi, a potem — ogólnym rozwiązaniem.

kd 2

2 Drganianormalne

Drgania,wktórychwszystkiewspółrzędne(unasϕ 1 iϕ 2 )zmieniająsięzjednakowączę

stościąizgodniewfazie(lubzdokładnieprzeciwnąfazą)nazywamynormalnymi . Można

to w naszym przypadku zapisać następująco

ϕ 1 ( t )= A sin( ωt + δ ) , ϕ 2 ( t )= B sin( ωt + δ ) .

(4)

I d 2 ϕ 1

d 2 ' 1

Przyjęliśmy tutajoczywisteoznaczenie ω 2 o ≡

Mamytujednakowączęstość ω izgodnośćfaz,gdyznaki A i B sątakiesame,lubprzeciwne

fazy, gdy A i B różnią się znakiem.

Drganie normalne ma ściśle określoną częstość i stosunek amplitud B . Znajdziemy je

teraz.Musząonespełniaćrównaniaruchu.Wstawmy więcpostaćrozwiązańwłaściwądla

drgań normalnych 4 do równań 3. Otrzymamy

[( ω 2 o − ω 2 + K ) A − KB ]sin( ωt + δ )=0 ,

[ − KA +( ω 2 o − ω 2 + K ) B ]sin( ωt + δ )=0 .

Tenukładrównańma byćspełniony dla dowolnej (każdej) chwili czasu. Musi więczacho

dzić

( ω 2 o − ω 2 + K ) A − KB =0 ,

− KA +( ω 2 o − ω 2 + K ) B =0 .

(5)

Są to dwa równania liniowe na dwie niewiadome: A i B . Jeśli równania są liniowo

niezależne, to może istnieć tylko jedno rozwiązanie: A = 0 i B = 0. Oczywiście, to

rozwiązanieoznaczaspoczynek ( ϕ 1 ( t )=0i ϕ 2 ( t )=0)iniejestdlanasinteresujące. Inne

—niezerowe—rozwiązaniamogąistniećwtedy,gdyrównaniasąliniowozależne.Liniową

zależność można spowodować (wymusić) dobierając odpowiednio parametr ω .

2.1 Częstości drgań normalnych

Warunkiemliniowej zależnościukładurównańjestznikaniewyznacznika macierzy współ

czynników

ω 2 o − ω 2 + K − K

− K ω 2 o − ω 2 + K

(6)

Jest to algebraiczne równanie kwadratowe na nieokreśloną dotąd wartość ω 2 :

ω 4 − 2( ω 2 o + K ) ω 2 + ω 4 o +4 Kω 2 o =0 .

(7)

Ma ono dwa rozwiązania:

ω 2 1 = ω 2 o , ω 2 2 = ω 2 o +2 K.

(8)

Nasz układ ma więc dwa drgania normalne o częstościach: ω 1 = ω o i ω 2 =

ω 2 o +2 K.

2.2 Kształt drgań normalnych

Każdezdrgańnormalnychmawłaściwy sobiekształt określonyprzezstosunek amplitud,

w naszym przypadku A : B . Żeby go znaleźć, trzeba wrócić do układu równań (5) na A i

B wstawiając kolejno ω 1 i ω 2 . Teraz, dla danego ω i jest tylko jedno niezależne równanie:

( ω 2 o − ω 2 i + K ) A − KB =0 .

(9)

(Drugie jest identyczne; tak przecież dobraliśmy częstość ω ).

2.2.1 Pierwsze drganie normalne

Dla ω 2 1 = ω 2 o mamy

KA − KB =0 ,

więc

B = A.

Oznacza to, że w drganiu normalnym, zachodzącym z częstością ω 1 = ω o drgania obu

wahadeł mają jednakowe amplitudy i zgodną fazę. Czyli, wahadła wychylają się jedno

cześnie w tę samą stronę (zgodne fazy), osiągają jednocześnie takie samo maksymalne

wychylenie (jednakowe amplitudy), zawracają itd. Oległość między wahadłami nie zmie

niasię.Sprężynapozostajeswobodna—niedziałanawahadła.Nicdziwnego,żeczęstość

drgań jest taka jak dla wahadeł niesprzężonych.

2.2.2 Drugie drganie normalne

Dla ω 2 2 = ω 2 o +2 K dostajemy:

− KA − KB =0 ,

co oznacza

B = − A.

Wtymdrganiuamplitudyobuwahadełsąjednakowe,alefazysąprzeciwne.Wahadłajed

nocześnie ruszają w przeciwnych kierunkach (przeciwne fazy), np. odsiebie, jednocześnie

osiągają jednakowe maksymalne wychylenia (jednakowe amplitudy), zawracają ku sobie

itd.. Sprężyna najpierw jest rozciągana,potem— ściskana. Istotnie sprzęga ona wahadła

powodując zwiększenie częstości drgań w stosunku do ω o .

3 Dowolnemałe drgania

Dowolne drgania układu są złożeniem drgań normalnych. Dają się zapisać jako:

ϕ 1 ( t )= A sin( ω 1 t + δ 1 )+ B sin( ω 2 t + δ 2 )

ϕ 2 ( t )= A sin( ω 1 t + δ 1 ) − B sin( ω 2 t + δ 2 ) ,

lub inaczej, ale równoważnie,

ϕ 1 ( t )=[ A 1 sin( ω 1 t )+ A 2 cos( ω 1 t )]+[ B 1 sin( ω 2 t )+ B 2 cos( ω 2 t )] ,

ϕ 2 ( t )=[ A 1 sin( ω 1 t )+ A 2 cos( ω 1 t )] − [ B 1 sin( ω 2 t )+ B 2 cos( ω 2 t )] .

(10)

4 Warunkipoczątkowe

—wzbudzaniepożądanychdrgań

Współczynniki A 1 , A 2 , B 1 i B 2 sązdeterminowaneprzezwarunkipoczątkowe.Narzucając

odpowiednie warunki początkowe możemy spowodować wzbudzenie pożądanego drgania.

W szczególności możemy wzbudzić drgania normalne.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: