37.pdf

PolitechnikaWarszawska

WydziałFizyki

LaboratoriumFizykiI„P”

AndrzejKubiaczyk

DYFRAKCJAELEKTRONÓWIŚWIATŁANASIECIKRYSTALICZNEJ

1.Podstawyfizyczne

Podane przez A. Einsteina w 1905 roku wyjaśnienie efektu fotoelektrycznego jak

równieŜ zaobserwowane w 1923 roku zjawisko rozpraszania promieni X na swobodnych

elektronachzmieniłoradykalnienaszepoglądynanaturęfalelektromagnetycznych.

Fale elektromagnetyczne, chociaŜ wykazują własności charakterystyczne dla ruchu

falowego (dyfrakcja, interferencja itp.), w oddziaływaniu z elektronem zachowują się jak

strumieńcząstek(fotonów),którychenergiajestrównah

(hstałaPlancka,

częstotliwość

faliświetlnej)apędpwynosi:

, (1)

długośćfali.

Nie moŜna stwierdzić, Ŝe natura fotonów jest falowa lub, Ŝe jest korpuskularna a

jedynie, Ŝewykazują one cechy zarówno falowe jak i korpuskularne. Ten sposób ich

zachowaniaokreślasięjakodualizmkorpuskularno–falowy.

W 1924 roku Louis de Broglie przedstawił hipotezę, zgodnie z którą kaŜdej cząstce

moŜnaprzypisaćfalęodługości:

(2)

gdziepjestpędemcząstki.

Oznaczato,ŜewpewnychwarunkachporuszającąsięcząstkęmoŜnatraktowaćjak

falę.FalętakąnazywamyfaląmateriilubfalądeBroglie’a.

Warto zwrócić uwagę, Ŝe równanie (2) otrzymać moŜna przekształcając wzór (1).

NiejesttozbieŜnośćprzypadkowa.UpodstawhipotezydeBroglie’atkwibowiemzałoŜenie,

Ŝe dualizm korpuskularno – falowy jest podstawową własnością całej materii, a więc

zarównofotonów(omasiespoczynkowejrównejzeru!)jakicząstekkorpuskularnych(omasie

spoczynkowej róŜnej od zera). Aby sprawdzić słuszność hipotezy de Broglie’a naleŜy

doświadczalnie wykazać, Ŝe cząstki podlegają zjawiskom charakterystycznym dla ruchu

falowegonp.zjawiskuinterferencjilubdyfrakcji,spełniającprzytymzaleŜność(2).

Abyzaobserwowaćzjawiskointerferencji,naleŜyuŜyćsiatkidyfrakcyjnej,którejstała

(tzn. odległość pomiędzy szczelinami) nie róŜni się znacząco od długości padającego

promieniowania (nie więcej niŜ dwa rzędy wielkości). Jednocześnie cząstki, aby mogły

przenikaćprzezbardzocienkiewarstwymaterii,powinnyposiadaćznacznąenergię.Wtedyich

pędbędzieduŜyizgodniezewzorem(2)długośćfalideBroglie’astaniesiębardzomała.To

zkoleinarzucawaruneknabardzomałąwartośćstałejsiatkidyfrakcyjnej,znaczniemniejszą

odmoŜliwychdowykonania.

Dla przykładu: elektrony, aby przeniknąć folię aluminiową o grubości około 50nm,

muszą posiadać energię około 10keV, ale wtedy ich długość fali de Broglie’a wynosi około

0,01nm.Jesttowartośćmniejszaodśrednicyatomu.Jakwięcwykonaćsiatkędyfrakcyjnąo

takmałychodległościachpomiędzyszczelinami?Okazujesię,Ŝewcaletakichsiatekniemusimy

wytwarzać,gdyŜichrolęspełniająkryształy.Atomywkrysztalesąrozmieszczonewsposób

periodyczny,aodległościmiędzyatomowewynosząkilkaÅ(czytaj:angsztremów)(1Å=0,1nm

=10 10 m),coczynijeprzydatnymidoobserwacjizjawiskainterferencjifaldeBroglie’a.Opis

róŜnego typu ciał krystalicznych oraz definicje podstawowych pojęć związanych zbudową

krystalicznąpodanowDodatkuA.

gdziec–prędkośćfaliświatła,

Dyfrakcjaświatłaielektronównasiecikrystalicznej

.KaŜdyatomkryształuzniąoddziałujący

samstajesięźródłemnowej(wtórnej)falikulistejotejsamejdługości(zasadaHuyghensa).

Falewtórne,emitowaneprzezposzczególneatomy,będąinterferowaćzesobą.Abyznaleźć

wynikinterferencjiwprzypadkuogólnym,rozpatrzmynapoczątkuprzypadek,kiedyfalapłaska

oddziaływaćbędzietylkozjednąpłaszczyznąatomową.

PoniewaŜkryształmoŜemyprzedstawićjakozbiórrównoległychpłaszczyznatomowych,

toprocespowstawaniawnimnowejfaliopisaćmoŜnajakonakładaniesię(interferencję)fal

kulistych powstających w poszczególnych płaszczyznach atomowych. Fale te zostaną po

nałoŜeniu,wzaleŜnościodróŜnicyichdrógoptycznych,wzmocnionelubosłabione,patrzrys.1.

Rys.1 Dyfrakcjaświatłanakrysztale(1’oznaczakierunek,wktórymnastępujewzmocnienie

faliwwynikuzjawiskainterferencji)

1 ’

2 ’

p 1

q q

p 2

Zrysunku1wynika,ŜeróŜnicadrógoptycznychdlapunktówprzestrzenipołoŜonychna

kierunkach 1’i 2’ dla dwóch kolejnych płaszczyzn atomowych (p 1 i p 2 ) wynosi:

2 d

sin

(3)

gdziedjestodległościąmiędzypłaszczyznamiatomowymia

kątemmiędzykierunkiem

promienia padającego a płaszczyzną atomową (tzw. kąt poślizgu nie mylić z kątem

padania!!!),natomiast n =1,2,3,...(rządugięcia).Równanie(3)nosinazwęwzoruBragga.

ChociaŜ przy wyprowadzaniu wzoru Bragga rozwaŜane były fale powstające tylko

wdwóch kolejnych płaszczyzn atomowych, to okazuje się, Ŝe jest on słuszny równieŜ

wprzypadkuudziałuduŜejliczbytychpłaszczyzn.

Z rys.1 widać równieŜ, Ŝe kąt między kierunkiem na którym leŜą maksima

interferencyjneaprzedłuŜeniemkierunkufalipadającejwynosi

2 .

OpisanywyŜejmechanizmdyfrakcjifalinakrysztalenosinazwędyfrakcjibraggowskiej

(w literaturze moŜna spotkać często określenie „odbicie braggowskie”). Pamiętać jednak

naleŜy,Ŝejesttoszczególne„odbicie”tj.zachodzitylkowtedy,gdyspełnionyjestwarunek:

2 . Tak więc zjawisko Bragga moŜna zaobserwować tylko dla fal o długościach

porównywalnych z odległością między płaszczyznami międzyatomowymi (d rzędu 0,1 nm) i

krótszych.MoŜliwejestwięcspełnienierównania(3)dlapromieniowaniarentgenowskiego,a

niemoŜliwedlaświatławidzialnego(

sin

=400700nm).

W kryształach moŜna wyróŜnić wiele rodzin płaszczyzn atomowych. Na przykład

wprzekroju kryształu przedstawionym na rys.2, oprócz płaszczyzn p 1 , p 2 , p 3 , ... moŜna

wyróŜnićpłaszczyznyt 1 ,t 2 ,t 3 ,...,s 1 ,s 2 ,s 3 ,...,u 1 ,u 2 ,u 3 ,....KaŜdarodzinawymienionychtu

1.1.Dyfrakcjafalinasiecikrystalicznej

ZałóŜmy,Ŝenakryształpadafalaodługości

.Wzmocnienieinterferencyjnewystąpi,gdybędzieonarównacałkowitej

wielokrotnościdługościfali,tj.:

Dyfrakcjaświatłaielektronównasiecikrystalicznej

płaszczyzn,charakteryzującasięwłasnąodległościąmiędzypłaszczyznamid i ,moŜedaćopisane

powyŜej zjawisko, jeŜeli tylko spełniony będzie warunek Bragga. Z tego teŜ powodu

otrzymujemywielekierunkówwzmocnieńdlaróŜnychkątówpoślizgu

i .

Rys.2 Przykładyrodzinpłaszczyznatomowychwkrysztale(narysunkuwidzimyichrzuty

napłaszczyznęrysunku)

u 1

u 2

u 3

t 1

d 1

t 2

t 3

p 1

d 2

p 2

p 3

s 1

s 2

s 3

d 4

d 3

.Gdyrównoległaimonochromatycznafalapadanapolikryształtzn.materiałzawierający

duŜąliczbęmałych(orozmiarachmikronowych)monokryształów(krystalitów),zorientowanych

wsposób przypadkowy, to zaobserwujemy efekt taki jak przy obrocie kryształu. Zawsze

bowiemznajdziesiępewnaliczbakrystalitów,dlaktórychwarunekBraggabędziespełnionydla

danego kąta

i wówczas wiązki wzmocnione tworzyć będą powierzchnie stoŜków okątach

.JeŜelina drodzewiązekwzmocnionychustawimyekran,tozaobserwujemyna

nimokręgi(rys.3).

Rys.3 ZjawiskoBraggadlapróbkipolikrystalicznej.

cienka folia

polikrystaliczna

wiązka

elektronów

4q 2

D 1 D 2

płaszczyzna

ekranu

JeŜelikryształzaczniemyobracaćwzględemosipokrywającejsięzkierunkiemwiązki

padającej,towiązkiwzmocnionezacznązataczaćpowierzchniestoŜkoweokącierozwarcia

rozwarcia4

Dyfrakcjaświatłaielektronównasiecikrystalicznej

=h/p.Oddziałuje

ona z folią polikrystaliczną w przedstawiony wcześniej sposób. Dodatkowym argumentem

zasłusznościątegozałoŜeniajestfakt,Ŝetensamukładokręgówotrzymanoprzynaświetleniu

wspomnianejfoliipromieniamirentgenaopodobnejdługościfali,codługośćfalielektronów

przewidywanaprzezdeBroglie’a.DoświadczenieThomsonapotwierdzawięcfalowąnaturę

strumieniaelektronów.Falazwiązanazelektronemjestfaląmaterii,którejnaturęopisano

szczegółowowDodatkuB.

Dozbadaniawłasnościfalimaterii(atakŜesprawdzeniahipotezyde Broglie’a)uŜyto

odpowiednio przygotowanej lampy oscyloskopowej, w której na drodze wiązki elektronowej

umieszczono cienką folię (aluminiową lub grafitową). Jej grubość wynosi około 50nm. Tak

cienkafoliajestprzezroczystadlaelektronówoenergiachpowyŜej8keV.Otrzymujesięją

poprzez próŜniowe naparowanie. Emitowane przez katodę lampy oscyloskopowej elektrony,

nimpadnąnafolięaluminiową,sąprzyspieszanedoenergiikinetycznejE k =eUprzezprzyłoŜone

napięcieU,któremoŜnaregulować.

PoniewaŜodległośćfoliiodekranujestznaczniewiększaodśrednicyotrzymanychna

ekranieokręgówinterferencyjnychD,tozgodniezrys.3:

sin

» q

D /

(r–odległośćfolia

Podstawiająctakobliczonąwartość

sin

» q

sin

dowzoruBragga(3),otrzymujemy:

(4)

Pędelektronupobliczymyznając

napięcie U z klasycznego związku między pędem a jego energią eU, tj.: eU=p 2 /2m

(e–ładunekelektronu,m–jegomasa).Relatywistycznazmianamasyelektronuprzyenergiach

polaelektrycznegouŜytegowdoświadczeniuwprowadzabłądpomijalniemały.Podstawiającdo

znajdujemyzewzoru(1)tzn.

/ p

wzoru(4)wartość

obliczonądlanapięciaprzyśpieszającegoU:

orazn=1(gdyŜ

meU

tylkookręgipierwszegorzędusąwidoczne),otrzymujemy:

(5)

meU

ŚrednicaokręguinterferencyjnegoD,pochodzącegoodtegosamegozespołupłaszczyzn

atomowych powinna być odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego napięcia

przyspieszającego elektrony U. Jeśli uzyskamy taki wynik, to będzie potwierdzeniem

słusznościwzoruopisującegohipotezędeBroglie’a.

1.3.Dyfrakcjaświatłanasiecidwuwymiarowej

Celem drugiej częścićwiczenia jest zapoznanie się z dyfrakcją światła na regularnej

siecidwuwymiarowejwprzypadku,gdywiązkaświatłapadanasiećpodkątemprostymdo

płaszczyznysieci.Zgodnieztymconapisanowpoprzedniejczęściinstrukcji,kaŜdyzatomów

stajesięźródłemnowejfalikulistej.Faleteinterferujązesobą,aefektmoŜemyzobaczyćna

ekranieustawionymprostopadledokierunkupadaniafali,wpewnejodległościodsieci.

1.2.DoświadczenieThomsona

RozwaŜania przeprowadzone wcześniej, stanowią podstawę do zrozumienia

doświadczeniaprzeprowadzonegoprzezG.P.Thomsonaw1927r.potwierdzającegohipotezę

de Broglie’a. Thomson umieścił w lampie oscyloskopowej, za układem anod ogniskujących,

cienkązłotąfolię(foliatakamabudowępolikrystaliczną).Elektronypadającnanią,podlegały

zjawiskom,którezostaływyŜejomówione(tzn.zjawiskuinterferencji),dającwrezultaciena

ekranieokręgioróŜnychśrednicach D .

Powstały na ekranie układ pierścieni daje się wyjaśnić, jeŜeli przyjmiemy, Ŝe

zelektronemzwiązanajestfala,którejdługośćokreślonajestprzezwzór:

ekran),astąd:

Wartość

Dyfrakcjaświatłaielektronównasiecikrystalicznej

Rozpatrzmy sieć regularną prostokątną. Warunkiem wzmocnienia w takim przypadku

jestspełnieniedwóchrównańLauego,któremoŜemyzapisaćwsposóbnastępujący:

cos

(6)

cos

gdzie a, b – stałe sieciowe,

`` – kąty między kierunkiem padania wiązki świetlnej a

kierunkiemwzmocnienia(wiązkiwzmocnionetworząstoŜkiokątachrozwarcia2

` i

`i2

``),mi

n–dowolneliczbycałkowite.

Rozwiązaniem kaŜdego z równań Lauego są powierzchnie stoŜkowe, które na ekranie

ustawionymwkierunkurównoległymdopowierzchnisieci(aprostopadłymdokierunkupadania

wiązki świetlnej) tworzą rodziny hiperbol. Wspólnym rozwiązaniem obu równań

obserwowanym na ekranie w postaci świecących punktów są punkty przecięcia hiperbol.

Wprzeprowadzanym doświadczeniu długość fali świetlnej (0,6

m) jest prawie trzy rzędy

mniejszaododległościmiędzyatomamiwbadanejsiecikrystalicznej(0,1mm).Ztegopowodu

naekraniepunktyukładająsięnahiperbolachobardzomałejkrzywiźnie,widocznychwłaściwie

jakolinieproste(krzywiznyhiperbolniedajesięzauwaŜyć).

Rys.4 Wyglądekranuprzypadkudyfrakcjinasieciregularnej–czarnepunktynailustracjito

świecącepunktynaekranie,efektprzecięciahiperbol(definicjaindeksówhik)

h=-3

h=-2

h=-1

h=1 h=2

h=3

k=2

k=1

k=-1

k=-2

Świecącympunktomnaekranieprzypisujemydwawskaźniki(patrzilustracja4),które

nazywanesąwskaźnikamiMillera.Współrzędnepunktówzapisujemywpostaciparliczb(h,k)

na przykład (1,1) (3,1) (2,5), itd. Odcinek, który łączy punkt (h,k) ze środkiem obrazu

dyfrakcyjnego(czylizpunktem(0,0))oznaczamyH hk .Znajomośćdługościświatła

uŜytegow

doświadczeniu, odległości L ekranu od sieci krystalicznej oraz wartości H kl pozwala na

wyznaczeniestałychsieciowychbadanejsieci.

Zwłasnościgeometrycznychotrzymujemynastępującywzór:

(7)

couwzględniającznanązaleŜność

sin

(8)

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: