Kwantowa teoria materii.pdf

Kwantowateoriamaterii

LeszekStolarczyk

21listopada2000

1Czymjestkwantowateoriamaterii?

Kwantowateoriamateriijestwsp ó lczesn¡teori¡strukturyiw“asno–cimateriiopart¡na

mechanicekwantowej.Problembudowyitrwa“o–ciatom ó w,orazzagadnieniazwi¡zane

absorpcj¡iemisj¡promieniowaniaelektromagnetycznegoprzezuk“adyatomoweimoleku-

larne(czyliproblemynale»¡cedo zykimikro–wiata)nieznajdowa“ysensownegowy-

ja–nieniawramachteoretycznej zykiXIXw.,kt ó rej laramiby“ymechanikaklasy-

czna,termodynamikaorazteoriaelektryczno–ciimagnetyzmustworzonaprzezJamesa

C.Maxwella.Zadatƒnarodzinkwantowejteoriimateriiprzyj¡¢mo»nadzie«14grudnia

1900,wkt ó rymMaxPlanckprzedstawi“wynikiswychpracnadteori¡promieniowaniacia“a

doskonaleczarnego.ZteoriiPlanckawynika“o,»ematerianiemo»ewypromieniowywa¢

energiiinaczej,ni»wokre–lonychporcjach,zwanychkwantami.

Wpierwszymokresierozwoju zykikwantowej(tzw.starateoriakwant ó w,1900-1925)

najwa»niejsz¡rolƒ,pozaPlanckiem,odegrali:AlbertEinstein(1905 teoriaefektufo-

toelektrycznego,wprowadzaj¡capojƒciekwant ó wpromieniowaniaelektromagnetycznego,

zwanychp ó „niejfotonami[zob.kwant],1907 pierwszakwantowateoriaciep“aw“a–ciwego

cia“sta“ych,1917--wyprowadzeniepostacitzw.wsp ó “czynnik ó wEinsteina,okre–laj¡cych

absorpcjƒiemisjƒpromieniowaniaelektromagnetycznegoprzezmateriƒ),NielsBohr(1913

pierwszakwantowateoriabudowyatomu),ArnoldSommerfeld(1916 sformu“owanie

tzw.regu“kwantyzacji,rozwiniƒcieteoriiatomuBohra),LouisdeBroglie(1923-25 teoria

falmaterii)iWolfgangPauli(1925 sformu“owanieprawazwanegozakazemPauliego).

Starateoriakwant ó wnieby“awistociesp ó jn¡ikonsekwentn¡teori¡zjawiskwmikro-

–wiecie.Prze“omoweznaczeniedlakonstrukcjisp ó jnejteoriikwant ó wmia“apraca,kt ó r¡w

1925opublikowa“24-letniwtedyWernerHeisenberg.TeoriakwantowaHeisenbergazosta“a

wtymsamymrokurozwiniƒtaprzywsp ó “pracyMaxaBornaiPascualaJordanaizwanajest

czasemmechanik¡macierzow¡.W1926ErwinSchr ö dingersformu“owa“tzw.mechanikƒ

falow¡,opart¡nakoncepcjifalmateriideBroglie’a.Mechanikamacierzowaimechanika

falowa(atak»eformalizmzaproponowanyw1925przezPaulaA.M.Diraca)okaza“ysiƒ

r ó »nymi,aler ó wnowa»nymi,sformu“owaniamiteorii,kt ó r¡obecnienazywasiƒ(nierelaty-

wistyczn¡)mechanik¡kwantow¡.Wbadaniumatematycznychpodstawmechanikikwan-

towejdu»¡rolƒodegra“JohnvonNeumann.HermannowiWeylowiiEugeneWignerowi

zawdziƒczamyanalizƒproblemusymetriiwmechanicekwantowejirozw ó jmetodteorii

grup.Wielkiwk“adwdalszyrozw ó jteoriikwantowychwni ó s“tak»eDirac,kt ó regodzie“em

jest,m.in.,stworzeniepodstawelektrodynamikikwantowej(1927)orazskonstruowaniere-

latywistycznego(czylizgodnegozzasadamiszczeg ó lnejteoriiwzglƒdno–ciEinsteina)r ó w-

naniafalowegodlaelektronu,zwanegor ó wnaniemDiraca(1928);r ó wnanietowyja–nia

m.in.istnieniewewnƒtrznegomomentupƒdu(czylispinu)elektronu.Ogromn¡rolƒin-

spiruj¡c¡wrozwojuiupowszechnieniumechanikikwantowejodegra“NielsBohr.Zalo»ony

przezniegow1921r.wKopenhadzeInstytutFizykiTeoretycznejby“wlatach20.i30.

czo“owymo–rodkiem,wkt ó rymm“odzi zycyzca“ego–wiatapoznawaliirozwijalikwan-

tow¡teoriƒmaterii.Bohrwni ó s“tak»edonios“ywk“adwanalizƒ lozo cznychaspekt ó w

mechanikikwantowej,wsp ó “tworz¡c(wrazzHeisenbergiem,BornemivonNeumannem)

tzw.kopenhask¡interpretacjƒmechanikikwantowej.Wmy–ltejinterpretacjimechanika

kwantowastanowisp ó jnyipe“nymodelrzeczywisto–ci,ajejsprzeczno–ciz zyk¡klasyczn¡

maj¡charakterfundamentalny(chodzituzw“aszczaoto,»emechanikakwantowaniejest

teori¡deterministyczn¡),cho¢wgranicyh ! 0(gdziehjeststa“¡Plancka)przewidywania

zykikwantowejredukuj¡siƒdoprzewidywa« zykiklasycznej,spe“niaj¡ctzw.zasadƒ

korespondencjiBohra.

Mechanikakwantowa,kt ó rejzrƒbypowsta“ywlatach1925-26jestpodzie«dzisiejszy

podstawow¡teori¡zjawiskzachodz¡cychw–wiecieatom ó wicz¡steczek,awiƒcwszystkich

zjawisk,kt ó rymizajmujesiƒchemiaibiochemiaoraz zykaatomowaimolekularna.Dal-

szyrozw ó jteoriikwantowych(elektrodynamikakwantowa,teoriap ó lkwantowych,teoria

cz¡stekelementarnych)pozwoli“g“ƒbiejwnikn¡¢wstrukturƒmikro–wiata,niepowodowa“

ju»jednakzasadniczychzmianwnaszejwiedzyow“asno–ciachmateriinapoziomieatom-

owymimolekularnym.Rozwa»ananatympoziomie,materiamo»eby¢opisanawramach

nierelatywistycznejmechanikikwantowejjakozbi ó relektron ó wij¡deratomowych,trak-

towanychjakocz¡stkipunktoweobdarzonemas¡i“adunkiem,bƒd¡cychwruchuiodd-

zia“uj¡cychzesob¡si“amielektrostatycznymi.Tenmodelmateriile»yupodstawchemii

kwantowej.

2Postulatymechanikikwantowej(I-IV)

Podstawow¡teori¡wchemiikwantowejjesttzw.nierelatywistycznamechanikakwantowa,

awiƒctawersjateorii,wkt ó rejzaniedbujesiƒefektyzwi¡zanezzale»no–ci¡masycz¡stekod

ichprƒdko–ci,sko«czon¡prƒdko–ci¡rozchodzeniasiƒwszystkichoddzia“ywa«,itp.Efekty

temaj¡zregu“yniewielkiwp“ywnaw“asno–ciatom ó wimoleku“istotnezpunktuwidzenia

chemii.Wszystko,cobƒdziemym ó wi¢natematmechanikikwantowejdotyczy¢bƒdziejej

wersjinierelatywistycznej.Podstawoweza“o»enia,nakt ó rychjestopartamechanikakwan-

towawyrazi¢mo»nawr ó »nyspos ó b.Poni»ejprzedstawionezostan¡czterypostulaty,

kt ó remo»nazastosowa¢doopisuuk“adukwantowego,sk“adaj¡cegosiƒzjednejcz¡stkio

masiem,poruszaj¡cejsiƒwprzestrzeniojednymwymiarze,wzd“u»osi x.Dodatkowe

postulaty,dotycz¡cespinucz¡stekorazsymetriipermutacyjnejuk“aduwielujednakowych

cz¡stek,bƒd¡om ó wionep ó „niej.

PostulatI(Ostanieuk“adukwantowego)

Stancz¡stkiokre–lafunkcjafalowa = (x;t),zale»naodpo“o»eniacz¡stkixiczasu

t.Funkcjefaloweprzyjmuj¡naog ó “warto–cizespolone,przez (x;t)oznacza¢bƒdziemy

warto–¢zespolon¡sprzƒ»on¡wstosunkudo(x;t).Zgodniezestatystyczn¡interpretacj¡

funkcjifalowej(Born,1926)wielko–¢

p(x;t) = (x;t)(x;t) = j(x;t)j 2 ; (1)

(zde nicji rzeczywistainieujemna)okre–latzw.gƒsto–¢prawdopodobie«stwapo“o»enia

cz¡stkiwpunkciexwchwilit.Znajomo–¢p(x;t)pozwalaobliczy¢prawdopodobie«stwo

znalezieniacz¡stkiwr ó »nychprzedzia“achosix.Naprzyk“ad,

x 2

x 1 j(x;t)j 2 dx ; (2)

P[x 1 ;x 2 ](t) =

p(x;t) dx =

x 1

1 j(x;t)j 2 dx = 1 : (3)

Dodatkowo,»¡dasiƒodfunkcjifalowej,byby“aci¡g“air ó »niczkowalnadlawszystkich

warto–cizmiennychxit.Wartowtymmiejscuzwr ó ci¢uwagƒ,»epo“o»eniecz¡stkixicza

stnies¡tutraktowanenatychsamychzasadach,gdy»obliczanieprawdopodobie«stwaz

r ó wn.(2)orazwaruneknormalizacji(3)niewymagaj¡ca“kowaniapot.Takie asymet-

ryczne traktowaniewsp ó “rzƒdnejczasowejiprzestrzennejwynikazzaniedbaniaefekt ó w

relatywistycznych zak“adasiƒtumo»liwo–¢okre–lenia,wdanejchwiliczasu,prawdopo-

dobie«stwapo“o»eniacz¡stkiwdowolnymprzedzialenaca“ejosi x.Cowiƒcej,zwarunku

normalizacji(3)wynikaza“o»enie,»ewka»dejchwili tcz¡stkaprzebywagdzie–naosi

xzprawdopodobie«stwemr ó wnym1,awiƒcjejistnieniewczasieniepodlega»adnej

statystycznejniepewno–ci.

okre–laprawdopodobie«stwotego,»ecz¡stkawchwili tznajdujesiƒwprzedziale[x 1 ;x 2 ],

gdziex 1 < x 2 .Zak“adasiƒ,»efunkcjafalowaspe“nia¢musi,wka»dejchwili t,warunek

normalizacji:

Okazujesiƒ,»ezale»no–¢odczasufunkcjifalowej (x;t)ma–ci–leokre–lon¡posta¢

(m ó wiotympostulatIII),terazza–skupimysiƒnatychcechachtejfunkcji,kt ó rewi¡»¡

siƒzzale»no–ci¡odwsp ó “rzƒdnejx(odpowiadaprzeprowadzaniurozwa»a«dlaustalonej

chwilit).Bƒdziemychcieliznale„¢zbi ó rfunkcji f gzmiennejx(funkcjiowarto–ciac

hzespolonych),kt ó remog“ybyreprezentowa¢dozwolonestanycz¡stkiwdanejchwili t.

Ka»dafunkcja (x)ztegozbiorupowinnaspe“nia¢nastƒpuj¡cewarunki:

(i) jestci¡g“a,

(ii) jestr ó »niczkowalna,

(iii) jest ca“kowalnawkwadracie ,czylispe“niawarunek

gdziedodatnialiczbarzeczywistaSjestsko«czona, 0 < S < 1.Powy»szywarunek

zapewnia,„etzw.znormalizowanafunkcjafalowa,

0 = N ; (5)

gdzieN = ( p S) 1 ,spe“niawaruneknormalizacji(3).Funkcje (x)spe“niaj¡cewarunki

(i-iii)nazywanes¡funkcjamiporz¡dnymi(albofunkcjamiklasyQ).Mo»nawykaza¢,„e

sumadw ó chfunkcjiklasyQjestfunkcj¡klasyQ,oraz»eiloczynfunkcjiklasyQprzez

liczbƒzespolon¡jestfunkcj¡klasyQ.Wynikaztego,»ezbi ó rfunkcjiklasyQtworzy

(zespolon¡)przestrze«wektorow¡(wektoramiwtejprzestrzenis¡funkcjeporz¡dne ,

kt ó treczasaminazywa¢bƒdziemypoprostuwektorami).Wprzestrzenitejmo»naokre–li¢

iloczynskalarny

(x) (x) dx ; (6)

hj i =

spe“niaj¡cytesamewarunki,coiloczynskalarnywektorowwzwyk“ejzespolonejprzestrzeni

wektorowej.

Zespolonaprzestrze«wektorowafunkcjitypuQ,ziloczynemskalarnymokre–lonymw

r ó wn.(6)nazywanajestprzestrzeniaHilberta.Wprzestrzenitejmo»nazde niowa¢normƒ

funkcji(czylid“ugo–¢wektora):

jj jj =

h j i : (7)

Zauwa„my,»ewaruneknormalizacjifunkcjifalowej,zapisanyprzypomocynormyfunkcji,

przyjmujeposta¢:

Dowodzisiƒ,»ewprzestrzeniHilbertamo»nawybra¢niesko«czon¡bazƒortonormaln¡,

B= f 1 ; 2 ;:::g ; (9)

zwan¡tak»ezbioremzupe“nymfunkcji,kt ó raspe“niawarunkiortonormalno–ci:

h m j n i = mn ; (10)

1 j (x)j 2 dx = S ; (4)

jj jj 2 = h j i = 1 : (8)

gdziewska„nikim;n = 1; 2;:::przebiegaj¡ca“yzbi ó rliczbnaturalnych.Wdanejprzes-

trzeniHilbertaistniejeniesko«czeniewieler ó wnowa»nychbazortonormalnych.Ka»dataka

bazamatƒw“asno–¢,»edowoln¡funkcjƒklasyQmo»naprzedstawi¢wpostaciniesko«-

czonejsumy(czylirozwin¡cwszereg):

c m m ; (11)

m=1

gdziewsp ó “czynnikirozwiniƒciac m ,okre–lonewspos ó bjednoznaczny,s¡pewnymiliczbami

zespolonymi,kt ó remo»nawyznaczy¢jakorzutyortogonalnena kierunki wyznaczone

przezwektorybazyortonormalnejB:

c m = h m j i : (12)

Zespe“nieniawarunku(4)przezfunkcjƒ ,orazztego,»erozwa»anabazajestortonormalna

wynika,»ewsp ó “czynnikirozwiniƒciamusz¡spe“nia¢warunek

jc m j 2 = S ; (13)

m=1

gdzie0 < S < 1.Przestrze«Hilbertajestpodstawow¡struktur¡matematyczn¡s“u»¡c¡

doopisustan ó wuk“adukwantowego.

PostulatII(Oreprezentacjizmiennychdynamicznych)

Dozmiennychdynamicznychopisuj¡cychcz¡stkƒwmechaniceklasycznejzaliczamy,

m.in.,energiƒorazwsp ó “rzƒdnewektor ó w:po“o»enia,pƒduimomentupƒdu.Wmechanice

kwantowejzmiennedynamicznereprezentowanes¡przeztzw.hermitowskieoperatory

liniowedzia“aj¡cewprzestrzenifunkcjifalowych(przestrzeniHilberta).Operator Qjest

odwzorowaniem,kt ó reprzyporz¡dkowujedanejfunkcji inn¡funkcjƒ,oznaczan¡przez

Q .Operatoryliniowespe“niaj¡nastƒpuj¡cewarunki:

Q( + ) =

Q +

Q ;

(14)

Q(c ) = c Q ;

dladowolnychfunkcjii ,orazdowolnejsta“ejzespolonejc.Hermitowskieoperatory

liniowespe“niaj¡dodatkowowarunek

hj Q i = h Qj i ; (15)

dladowolnychfunkcjii zprzestrzeniHilberta.

Zmiennedynamiczneopisuj¡cecz¡stkƒmo»nakonstruowa¢woparciuodwapod-

stawowetypyzmiennych:wspo“rzƒdnepo“o»eniacz¡stki x;y;z,orazwsp ó “rzƒdnepƒdu

cz¡stkip x ;p y ;p z (wprzypadkuruchucz¡stkiwjednymwymiarzes¡tozmiennexip x ).

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: