stata17.doc

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

Pok. 226

Tel. 55 09 463

//panda.bg.univ.gda.pl/~Najman

Metody wnioskowania statystycznego – Balicki, Makać

Statystyka w zarządzaniu, PWN 2000 – A.D.Aczel

WYKŁAD 1

W analizach statystycznych, które były omawiane do tej pory, zakładaliśmy, że badaniu podlegały wszystkie jednostki danej populacji. Jednak w praktyce badań naukowych, marketingowych, w kontroli jakości itp. nie ma możliwości lub jest bezcelowe badanie całej populacji jednostek. Badania takie są bowiem bardzo drogie, czasochłonne
(np. spis powszechny), a uzyskane wyniki mogą być obarczone systematycznym błędem (badanie dochodów i wydatków). W wielu sytuacjach badania pełne są niemożliwe do wykonania.

np. kontrola jakości. Firmy produkujące procesory gwarantują, że ich sprzęt będzie bezawaryjnie pracował przynajmniej 100 000 godzin. Jednak, aby mieć absolutną pewność, że norma w każdym wypadku będzie dotrzymana należałoby każdy procesor poddać 100 000 godzinnemu testowi.

W innych przypadkach badanie całej zbiorowości jest niepotrzebne, gdyż dokładny wynik można uzyskać jedynie na podstawie małej próby.

np. Aby stwierdzić …

Jeżeli niektórych populacji nie można a innych nie warto badać w całości to, czy mimo to można uzyskać dokładne wartości parametrów tych populacji?

MOŻNA

Rozwiązaniem tego problemu jest wnioskowanie statystyczne.

Wnioskowaniem statystycznym nazywamy proces uogólniania wyników uzyskanych
z próby losowej na całą zbiorowość statystyczną.

Wnioskowanie statystyczne prowadzi się na podstawie PRÓBY LOSOWEJ, a więc
w szczególności nie może to być próba dowolna, wybrana na chybił trafił.

różnica między próbą a próbą losową

jest taka jak między krzesłem a krzesłem elektrycznym

Aby próba była losowa musi być wybrana w sposób losowy.

Wynik losowy jest to taka metoda wyboru prób z danej skończonej populacji w wyniku zastosowania której otrzymujemy jedną z w>1 różnych prób tworząc populację prób, przy czym spełnione muszą być następujące własności:

1.      Każdy element populacji generalnej znajdzie się w przynajmniej jednej z prób.

2.      Przed realizacją metody wyboru nie wiadomo, którą próbę otrzymamy.

3.      Istnieje określone prawdopodobieństwo P, że otrzymamy konkretną próbę, przy czym ∑P=1 dla wszystkich i od 1 do w.

     i

Próbę w …

Próba może być bardzo mała, a można uzyskać dobre wyniki!!!

Poprawna procedura pobierania prób

Próba została pobrana z całej populacji

PRÓBA

Niepoprawna procedura pobierania prób

POPULACJA

Informacja, którą otrzymujemy z próby, przyjmuje postać pewnej statystyki (liczby). Może nią być ŚREDNIA Z PRÓBY, ODCHYLENIE STANDARDOWE z próby, bądź inne charakterystyki obliczone po zbadaniu próby.

Taka statystyka jak średnia z próby jest traktowana jako ESTYMATOR (oszacowanie, przybliżenie) średniej w populacji.

Parametrami populacji, lub parametrami, nazywa się liczbowe charakterystyki całej populacji.

Statystyką z próby, lub statystyką, nazywa się liczbową charakterystykę uzyskaną z próby.

Oceną lub szacunkiem jest konkretna wartość liczbowa estymatora z danej próby.

Estymatorem parametru populacji jest statystyka z próby używana do oszacowania tego parametru.

Estymatorem nazywamy statystykę, będącą funkcją wartości w próbie

                                                        Tn = f(X1, X2,…, Xn)

która może posłużyć do oszacowania nieznanego parametru Q populacji.

Przybraną przez estymator Tn wartość tn nazywamy oceną lub szacunkiem

                                                        tn = f(x1, x2,…,xn)

np. Średnia z próby x jest statystyką z próby używaną jako estymator średniej w populacji μ. Gdy pobieramy próbę z populacji i obliczamy wartość …

Najczęściej stosowane estymatory

Empiryczną oceną nieznanego parametru w populacji jest parametr uzyskany z próby. Jednak jak już powiedziano różnych prób można wylosować niemal nieskończenie wiele. Tak więc i różnych ocen parametrów populacji będzie niemal nieskończenie wiele. Jeżeli z danej populacji będziemy losować kolejno różne próby, będziemy również uzyskiwać różne oceny parametrów populacji. W ten sposób uzyskamy rozkład estymatora.

W badaniu empirycznym posługujemy się jednak jedną konkretną próba. Musimy mieć więc zaufanie do estymatora. Nie każdy estymator, a więc nie każda funkcja estymatorów próby, będzie tak samo godny zaufania.

Dobry estymator to taki, który spełnia jednocześnie przynajmniej trzy warunki:

- jest nieobciążony – nie popełniamy systematycznych błędów, nie zawyża i nie zaniża,

- jest efektywny – estymator ma najmniejszą wariancję,

- jest zgodny – liczebność próby rośnie, to błąd, który popełniamy maleje.

Rozkład średnich z prób jest symetryczny.

Środek rozkładu najbardziej odpowiada populacji.

DOŚWIADCZENIEM będziemy nazywać ścisłe przestrzeganie pewnej z góry ustalonej procedury, w rezultacie której otrzymujemy zbiór wartości stanowiących wynik. Proces, który prowadzi do jednego z możliwych wyników.

Przykład

Doświadczeniem będzie np. wyciągnięcie jednej karty z tali kart do brydża. Wynikiem doświadczenia może być np. król, dama,

Wielkości otrzymane w wyniku doświadczenia mogą mieć naturę SKOKOWĄ (DYSKRETNĄ) lub CIĄGŁĄ (nieskończona liczba wariantów).

Charakterystyczna cecha doświadczenia jest to, że nie potrafimy w pełni przewidzieć wyniku tego doświadczenia. Powiadamy więc, że wynik każdego doświadczenia jest LOSOWY.

Wynik możliwy do uzyskania w powtarzalnych doświadczeniach nazywamy ZDARZENIEM.

Zdarzenie, które w wyniku przeprowadzonego doświadczenia może zrealizować się lub nie i jeżeli o tej realizacji nie można nic powiedzieć, to takie zdarzenie jest nazywane ZDARZENIEM LOSOWYM.

Przykład

Rzucamy kostką do gry. Wyrzucenie np. 3 oczek jest zdarzeniem losowym, gdyż w wyniku tego doświadczenia liczba 3 oczek może wystąpić lub nie i nie można z góry stwierdzić, czy w danym rzucie kostką wypadnie akurat 3.

Doświadczeniem losowym będziemy nazywać takie doświadczenie, którego wynikiem jest zdarzenie losowe.

Wynik pojedynczego doświadczenia nazywamy zdarzeniem elementarnym. Jest to niepodzielny wynik doświadczenia losowego.

Zbiór wszystkich możliwych wyników otrzymanych w wyniku doświadczenia tworzy PRZESTRZEŃ PRÓB lub ZBIÓR ZDARZEŃ ELEMENTARNYCH.

E = {e1, e2, e3, … , en}

Zbiór zdarzeń elementarnych można więc zapisać następująco:

E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Zdarzenie pewne to całkowity zbiór zdarzeń elementarnych, zdarzenie które zachodzi zawsze w danym doświadczeniu.

Zdarzenie niemożliwe to zbiór pusty zdarzeń elementarnych .

Zdarzenie przeciwne składa się z tych wszystkich zdarzeń, które nie należą do zdarzenia A. Jeżeli zdarzenie A nie zaszło, mówimy o zdarzeniu przeciwnym (A = nie A)

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (Laplace¢a def. częstościowa)

Jeżeli zbiór podstawowy składa się z n-zdarzeń elementarnych jednakowo możliwych i jeżeli wśród nich jest  k-zdarzeń sprzyjających zajściu zdarzenia A, to liczbę:

P(A) = k / n

nazywamy prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A.

W ten sposób prawdopodobieństwo P(A) można uważać jako funkcję zdarzenia A określoną na dziedzinie E.

Zmienną losową nazywamy funkcję x, przyporządkowującą każdemu zdarzeniu elementarnemu e € E dokładnie jedną liczbę rzeczywistą X(e) w ten sposób, że dla każdej liczby rzeczywistej x zbiór zdarzeń elementarnych, dla których X(e) < x jest zdarzeniem losowym, a więc dla każdego:

X : (e : x(e) < x) € Z

Zmienną losową nazywamy funkcję, której argumentami są zdarzenia elementarne a wartościami liczby rzeczywiste. To zmienna, która w wyniku doświadczenia realizuje różne wartości liczbowe zmiennej z określonym prawdopodobieństwem.

Zmienne losowe oznaczamy na ogół wielkimi końcowymi literami alfabetu X,Y…

Wartości jakie ta zmienna przyjmuje nazywa się REALIZACJAMI ZMIENNEJ LOSOWEJ lub krótko REALIZACJAMI i oz...