Granica funkcji. Sumę przedziałów nazywamy sąsiedztwem punktu o promieniu . Sąsiedztwo oznaczamy symbolem Niech funkcja będzie określona w sąsiedztwie punktu (wartość może nie istnieć). Definicja: (granicy funkcji w punkcie według Heinego). Liczbę nazywamy granicą funkcji w punkcie , jeżeli dla każdego ciągu argumentów o wyrazach i zbieżnego do ciąg wartości funkcji jest zbieżny do . Zapisujemy to: Przykład: Obliczyć granicę: Funkcja ta jest określona w każdym sąsiedztwie punktu =-1. Nie jest ona jednak określona w punkcie =-1. Niech będzie dowolnym ciągiem argumentów takim, że Badamy ciąg wartości , gdzie Zatem: Stąd: =-2. Wykazać, że nie istnieje granica funkcji w punkcie =0 Funkcja jest określona w każdym sąsiedztwie punktu =0, ale nie jest określona w punkcie =0. Niech Wówczas Badamy ciąg wartości ,oraz Zatem Tak więc w punkcie =0 nie istnieje granica funkcji ponieważ dla dwóch różnych ciągów argumentów zbieżnych do zera odpowiadające im ciągi wartości są zbieżne do różnych granic Definicja: (granicy funkcji w punkcie według Cauchy‘ego). Liczbę nazywamy granicą funkcji w punkcie jeśli dla każdego istnieje taka liczba że dla każdego i takiego, że spełniona jest nierówność: Rys1: Możemy zatem zapisać: Twierdzenie: Jeżeli to; 1). 2). 3). 4). , przy założeniu, że w sąsiedztwie punktu oraz Twierdzenie: Jeśli funkcja jest funkcją wymierną to znaczy , gdzie są wielomianami i punkt nie jest miejscem zerowym wielomianu , to: · Granice niewłaściwe Niech funkcja będzie określona w pewnym sąsiedztwie punktu Definicja (Heinego): Funkcja ma w punkcie granicę niewłaściwą , jeżeli dla każdego ciągu zbieżnego do i takiego, że ciąg jest rozbieżny do Definicja (Cauchy‘ego): Definicja (Heinego): Funkcja ma w punkcie granicę niewłaściwą , jeżeli dla każdego ciągu zbieżnego do i takiego, że ciąg jest rozbieżny do . Definicja (Cauchy‘ego): Ilustracja graficzna: · Granice jednostronne Sąsiedztwem prawostronnym punktu nazywamy przedział i oznaczamy symbolem: Sąsiedztwem lewostronnym punktu nazywamy przedział i oznaczamy symbolem: Niech funkcja będzie określona w pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu . Definicja (Heinego): Liczbę nazywamy granicą prawostronną funkcji w punkcie jeżeli dla każdego ciągu argumentów o wyrazach i zbieżnego do ciąg wartości funkcji jest zbieżny do Definicja (Cauchy‘ego): Niech funkcja będzie określona w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu . Definicja (Heinego): Liczbę nazywamy granicą lewostronną funkcji w punkcie jeżeli dla każdego ciągu argumentów o wyrazach i zbieżnego do ciąg wartości funkcji jest zbieżny do Definicja (Cauchy‘ego): Rozważana poprzednio funkcja ma granicę prawostronną oraz lewostronna Granicę lewostronną i granicę prawostronną nazywamy granicami jednostronnymi. Funkcja ma w punkcie granicę wtedy i tylko wtedy gdy posiada obie granice jednostronne i są one równe. Można również mówić o granicach jednostronnych niewłaściwych. · Granica funkcji w nieskończoności: Niech funkcja będzie określona w przedziale Definicja (Heinego). 1. Funkcja ma w granicę , jeżeli dla każdego ciągu o wyrazach i rozbieżnego do , ciąg jest zbieżny do . Możemy zapisać: 2. Funkcja ma w granicę niewłaściwą jeżeli dla każdego ciągu o wyrazach i rozbieżnego do , ciąg jest rozbieżny do . Możemy zapisać: 3. Funkcja ma w granicę niewłaściwą jeżeli dla każdego ciągu o wyrazach i rozbieżnego do , ciąg jest rozbieżny do . Możemy zapisać: Definicja (Cauchy‘ego): 1. 2. 3. 4. 5. 6. Pominiemy definicje granic przy Przykład: Obliczyć granice: Twierdzenie:
Minnie_