Krzywe w R3, trojscian Freneta.pdf

AM 2, krzywe w R 3 , trojscian Freneta

Tekst poprawiony 27 XII, godz. 17:56. Byc moze dojda , naste , pne zadania

Deﬁnicja 17.1 (krzywej)

Niech P oznacza dowolny przedzial niezdegenerowany. Przeksztalcenie r : P −! IR k

nazywamy krzywa , . Jesli r jest cia , gle, to mowimy o krzywej cia , glej, jesli jest klasy

C r , to krzywa jest klasy C r . Krzywa jest przedzialami (lub kawalkami) klasy C r

wtedy, gdy przedzial [ a,b ] jest suma , skonczenie wielu przedzialow i na kazdym z

nich r jest klasy C r (w koncach mowimy o pochodnych jednostronnych). Jezeli

dla kazdej liczby t 2 P zachodza , be , da , obie nierownosci r 0 − ( t ) 6 = 0 6 = r 0 + ( t ) , to

mowimy o krzywej regularnej . Jezeli istnieje taka liczba M 0 , ze dla dowolnych

liczb a = t 0 < t 1 < t 2 < ... < t n − 1 < t n = b zachodzi nierownosc

k r ( t 1 ) − r ( t 0 ) k + k r ( t 2 ) − r ( t 1 ) k + ··· + k r ( t n ) − r ( t n − 1 ) k M ,

to krzywa , nazywamy prostowalna , na przedziale [ a,b ] , a kres gorny sum wyste , puja , -

cych w tej nierownosci nazywany jest dlugoscia , krzywej r : P −! R 3 .

Twierdzenie 17.2 (o dlugosci krzywej)

Jesli krzywa r jest klasy C 1 , to jej dlugosc jest rowna R b

a k r 0 ( t ) k dt .

Dowod. Z twierdzenia o wartosci sredniej wynika, ze

k r ( t + h ) − r ( t ) − r 0 ( t ) h k| h | sup 2 [0 , 1] k r 0 ( t + h ) − r 0 ( t ) k .

Sta , d i z jednostajnej cia , glosci funkcji k r 0 k wynika, ze dla kazdej liczby " > 0 istnieje

taka liczba > 0 , ze jesli a = t 0 < t 1 < t 2 < ... < t n − 1 < t n = b oraz t j − t j − 1 <

dla j = 1 , 2 ,...,n , to zachodza , tez nierownosci

a k r 0 ( t ) k dt < " ,

zatem k r ( t 1 ) − r ( t 0 ) k + k r ( t 2 ) − r ( t 1 ) k + ··· + k r ( t n ) − r ( t n − 1 ) k− R a k r 0 ( t ) k dt < 2 " .

W dalszym cia , gu zakladac be , dziemy, ze funkcja r jest klasy C 1 .

ds ( s ) > 0 dla

kazdego s 2 P 1 . Cze , sto myslimy o krzywej jako o klasie rownowaznosci wlasnie zde-

ﬁniowanej relacji rownowaznosci, a nie jako o jednym odwzorowaniu. Wtedy funkcje

r 1 i r 2 nazywane sa , roznymi parametryzacjami tej samej krzywej.

k r ( t 1 ) − r ( t 0 ) k + k r ( t 2 ) − r ( t 1 ) k + ··· + k r ( t n − 1 ) − r ( t n ) k−

− [ k r 0 ( t 0 ) k ( t 1 − t 0 ) + k r 0 ( t 1 ) k ( t 2 − t 1 ) + ··· + k r 0 ( t n − 1 ) k ( t n − t n − 1 )] < "

oraz k r 0 ( t 0 ) k ( t 1 − t 0 )+ k r 0 ( t 1 ) k ( t 2 − t 1 )+ ··· + k r 0 ( t n − 1 ) k ( t n − t n − 1 ) − R b

Mowimy, ze dwie krzywe r 1 : P 1 −! R 3 i r 2 : P 2 −! R 3 sa , rownowazne, jesli

istnieje taka funkcja klasy C 1 z P 1 na P 2 , ze r 2 ( t ( s )) = r 1 ( s ) i

AM 2, krzywe w R 3 , trojscian Freneta

Stwierdzenie 17.3 (o istnieniu parametryzacji naturalnej)

Dla kazdej krzywej istnieje rownowazna jej parametryzacja dlugoscia , luku, wie , c taka,

ze k d r

t 0 k r 0 ( ) k dt . Funkcja s zmiennej t jest scisle rosna , ca, bo ma wsze , dzie

dodatnia , pochodna , : s 0 ( t ) = k r 0 ( t ) k . Poniewaz ta pochodna jest klasy C 1 , wie , c

funkcja s tez jest nieskonczenie wiele razy rozniczkowalna. Ma tez funkcje , odwrotna , ,

bo jej pochodna jest wsze , dzie rozna od 0 . Mamy dalej

ds r t ( s ) = d dt

t ( s ) dt

ds ( s ) = r 0 ( t )

k r 0 ( t ) k =

k r 0 ( t ) k .

Ta rownosc konczy dowod.

W dalszym cia , gu litera s be , dzie oznaczac parametr naturalny, wie , c taki, wzgle , -

dem ktorego pochodna jest wektorem dlugosci 1 . Be , dziemy tez pisac r ( s ) lub r ( t )

rozumieja , c, ze s jest funkcja , zmiennej t luc, ze t jest funkcja , zmiennej s . Oznaczenia

takie nie poowduja , na ogol nieporozumien, choc z bardzo formalnego punktu widzenia

nie sa , precyzyjne. W dalszej cze , sci wykladu okaze sie , , ze jest to nie tylko zgodne z

tradycja , , ale tez bardzo pozyteczne.

2 r 00 ( s ) h 2 + o ( h 2 ) . Odleglosc punktu r ( s + h ) od prostej

przechodza , cej przez punkt r ( s ) , rownoleglej do wektora v jest rowna

k r ( s + h ) − r ( s ) − ( r ( s + h ) − r ( s )) · v

v · v

r 0 ( s ) · v · h +

v k =

2 r 00 ( s ) · v · h 2 v + o ( h 2 ) k =

= k r 0 ( s ) h +

2 r 00 ( s ) h 2 − v · v

= k h r 0 ( s ) − r 0 ( s ) · v

v · v

v +

2 h 2 r 00 ( s ) − r 00 ( s ) · v

v + o ( h 2 ) k .

v · v

v · v v , czyli gdy v = r 0 ( s ) . Oznacza to, ze najdokladniej przybliza

krzywa , prosta do niej styczna, co jest rezultatem oczekiwanym.

r 0 ( s ) · v

Zadamy naste , pne pytanie. Chodzi teraz o plaszczyzne , najdokladniej przybliza-

ja , ca , krzywa , r w otoczeniu punktu r ( s ) . Odleglosc punktu r ( s + h ) od plaszczyzny

prostopadlej do wektora w 6 = 0 , przechodza , cej przez punkt r ( s ) jest, jak wiemy,

rowna

( r 0 ( s ) h + 2 r 00 ( s ) h 2 + o ( h 2 )) · w

k w ||

ds ( s ) k = 1 dla kazdego s .

Dowod. Niech t 0 2 int P i niech r oznacza jaka , kolwiek parametryzacje , krzywej.

Niech s ( t ) = R t

r 0 ( t )

Zajmiemy sie , teraz prosta , styczna , do krzywej r . Ustalamy teraz s i be , dziemy

poszukiwac prostej najscislej przylegaja , cej do krzywej r w punkcie r ( s ) . Mamy

r ( s + h ) = r ( s ) + r 0 ( s ) h +

Wynika sta , d, ze najmniejszy bla , d dla malych h popelnimy, gdy be , dzie spelniona

rownosc r 0 ( s ) =

= o ( h 2 ) wtedy i tylko wtedy,

gdy r 0 ( s ) · w = 0 i r 00 ( s ) · w = 0 . Wobec tego jesli r 00 ( s ) 6 = 0 , to wektor w musi

byc rownolegly do wektora r 0 ( s ) × r 00 ( s ) . Udowodnilismy

( r ( s + h ) − r ( s )) · w

k w ||

AM 2, krzywe w R 3 , trojscian Freneta

Twierdzenie 17.4 (o plaszczyznie scisle stycznej do krzywej)

Jesli r 00 ( s ) 6 = 0 i d ( h ) oznacza odleglosc punktu r ( t + h ) od plaszczyzny przecho-

dza , cej przez punkt r ( s ) , prostopadlej do wektora r 0 ( s ) × r 00 ( s ) , to d ( h ) = o ( h 2 ) ,

przy czym jest to jedyna plaszczyzna, ktora ma te , wlasnosc.

Deﬁnicja 17.5 (plaszczyzny scisle stycznej do krzywej)

Jesli d ( h ) oznacza odleglosc punktu r ( s + h ) od plaszczyzny i d ( h ) = o ( h 2 ) , to

mowimy, ze jest scisle styczna do krzywej r .

Deﬁnicja 17.6 (punktu wyprostowania krzywej)

r ( s ) jest punktem wyprostowania krzywej r wtedy i tylko wtedy, gdy r 00 ( s ) = 0 .

k r 00 ( s ) k i T ( s ) = B ( s ) × N ( s ) . T ( s ) to wektor styczny do

krzywej. Wektor N ( s ) jest nazywany normalna , glowna , do krzywej, a wektor B ( s )

— binormalna , .

r 00 ( s )

Deﬁnicja 17.8 (krzywizny krzywej)

Liczbe , k r 00 ( s ) k nazywamy krzywizna , krzywej w punkcie r ( s ) i oznaczamy ja , sym-

bolem ( s ) .

Mozemy wie , c napisac: T 0 ( x ) = r 00 ( s ) = ( s ) N ( s ) .

Znajdziemy teraz tzw. okra , g styczny do krzywej w punkcie, w ktorym krzywizna

jest dodatnia. Be , dzie to okra , g, ktorego rza , d stycznosci do krzywej be , dzie wyzszy

niz 1 , czyli wyzszy niz rza , d stycznosci do prostej stycznej. Jest jasne, ze okra , g ten

musi lezec na plaszczyznie scisle stycznej, a jego srodek musi znalezc sie , na normalnej

do krzywej, wie , c na normalnej glownej. Musi wie , c to byc punkt postaci r ( s )+ % N ( s ) ,

gdzie % oznacza pewna , liczbe , rzeczywista , . Mamy k r ( s + h ) − r ( s ) − % N ( s ) k 2 − % 2 =

= k r 0 ( s ) h +

= h 2 1 − % ( s ) + o ( h 2 ) . Wobec tego rza , d stycznosci jest wie , kszy niz 1 wtedy i tylko

wtedy, gdy % =

( s ) .

( s ) , a srodkiem

krzywizny punkt C ( s ) = r ( s ) + % ( s ) N ( s ) . Okra , g o srodku C ( s ) i promieniu % ( s )

nazywany jest scisle stycznym do krzywej w punkcie r ( s ) .

Mozna udowodnione juz twierdzenie wypowiedziec tak:

Deﬁnicja 17.7 (normalnych)

Zalozmy, ze r ( s ) nie jest punktem wyprostowania krzywej r . Oznaczamy wtedy

T ( s ) = r 0 ( s ) , N ( s ) =

2 r 00 ( s ) h 2 + o ( h 2 ) − % N ( s ) k 2 − % 2 = h 2 1 − % r 00 ( s ) · N ( s ) + o ( h 2 ) =

Deﬁnicja 17.9 (srodka i promienia krzywizny)

Promieniem krzywizny w punkcie r ( s ) nazywamy liczbe , % ( s ) =

AM 2, krzywe w R 3 , trojscian Freneta

Twierdzenie 17.10 (o okre , gu scisle stycznym)

Jezeli dla dostatecznie malych | h | liczba D ( h ) oznacza odleglosc punktu r ( s + h )

od okre , gu o srodku w punkcie C ( s ) = r ( s ) +

( s ) N ( s ) , to D ( h ) = o ( h 2 ) .

Udowodnimy teraz naste , puja , ce

| r 00 ( s ) k , B ( s ) = T ( s ) × N ( s ) .

Dowod. Pierwszy z tych wzorow wyprowadzilismy wczesniej. Trzy ostatnie to de-

ﬁnicje. Wektory T , N , B sa , wzajemnie prostopadle, dlugosc kazdego z nich jest

rowna 1 , wie , c T · T = N · N = B · B = 1 , zatem 2 T 0 · T = 2 N 0 · N = 2 B 0 · B = 0 .

Wynika sta , d, ze wektor N 0 jest kombinacja , liniowa , wektorow T i B , a wektor

B 0 — kombinacja , liniowa , wektorow T i N . Istnieja , wie , c takie liczby ,,, , ze

N 0 = T + B oraz B 0 = T + N .

Mnoza , c skalarnie te rownosci stronami przez wektory T , N i B otrzymujemy

T · N 0 = , B · N 0 = , T · B 0 = , N · B 0 = .

Rozniczkuja , c rownosci T · N = 0 , N · B = 0 , B · T = 0 stronami otrzymujemy

T 0 · N + T · N 0 = 0 , N 0 · B + N · B 0 = 0 , B 0 · T + B · T 0 = 0 .

Z ostatnich siedmiu rownosci wynika natychmiast, ze = T · N 0 = − T 0 · N =

− ( s ) , = B · N 0 = − B 0 · N = − , = T · B 0 = − T 0 · B = 0 i = N · B 0 =

− N 0 · B = − ( s ) .

Otrzymalismy drugi i trzeci wzor z tezy twierdzenia. Nalezy jeszcze wyrazic ( s ) za

pomoca , wektorow r ( s ) , r 0 ( s ) , r 00 ( s ) i r 000 ( s ) .

Zachodza , rownosci

( s ) = B ( s ) · N 0 ( s ) =

, T ( s ) = r 0 ( s ) , N ( s ) =

r 00 ( s )

k r 00 ( s ) k 2

r 0 ( s ) × r 00 ( s )

k r 00 ( s ) k

· ds

r 00 ( s )

k r 00 ( s ) k

r 00 ( s )

r 0 ( s ) × r 00 ( s )

k r 00 ( s ) k

· ds

k r 00 ( s ) k

r 0 ( s ) × r 00 ( s )

r 000 ( s )

k r 00 ( s ) k + r 00 ( s )

k r 00 ( s ) k 2 r 00 ( s ) · r 000 ( s )

− 1

k r 00 ( s ) k

r 0 ( s ) × r 00 ( s ) · r 000 ( s ) .

Dowod zostal zakonczony.

k r 00 ( s ) k 2

Deﬁnicja 17.12 (skre , cenia)

Skre , ceniem krzywej r w punkcie r ( s ) nazywamy liczbe , ( s ) .

Niech ' ( h ) 2 [0 , ] oznacza ka , t mie , dzy wektorami B ( s ) i B ( s + h ) . Mamy

Twierdzenie 17.11 (Freneta)

Jesli r 00 ( s ) 6 = 0 , to prawdziwe sa , wzory:

T 0 ( s ) = ( s ) N ( s ) , N 0 ( s ) = − ( s ) T ( s ) + ( s ) B ( s ) , B 0 ( s ) = − ( s ) N ( s ) ,

gdzie ( s ) = ( r 0 ( s ) × r 00 ( s )) · r 000 ( s )

| sin ' ( h ) | = k B ( s + h ) × B ( s ) k = k B ( s ) + B 0 ( s ) h + o ( h ) × B ( s ) k =

AM 2, krzywe w R 3 , trojscian Freneta

= k B 0 ( s ) h + o ( h ) × B ( s ) k = k − ( s ) N ( s ) h + o ( h ) × B ( s ) k = | ( s ) |·| h | + o ( h ) .

Wynika sta , d

Stwierdzenie 17.13

Jesli r 00 ( s ) 6 = 0 , to lim

h ! 0

' ( h )

= | ( s ) | .

ds ( s ( t )) , czyli pochodna , funkcji r zmiennej s w punkcie s ( t ) . Symbol

r 0 ( t ) oznacza pochodna , funkcji r zmiennej t w punkcie t . Prawdziwy jest wie , c wzor

r 0 ( t ) = r 0 ( s ( t )) s 0 ( t ) — w tym wzorze litera r oznacza punkt na krzywej przy czym

moze on byc opisywany za pomoca , parametru t (po lewej stronie) lub za pomoca ,

parametru naturalnego s (po prawej stronie). Mozna tez napisac r 0 ( s ) = r 0 ( t ) t 0 ( s ) .

Z tej rownosci i z tego, ze k r 0 ( s ) k = 1 oraz t 0 ( s ) > 0 wynika natychmiast, ze

t 0 ( s ) =

d r

k r 0 ( t ) k . Dalej t jest funkcja , s .

Mamy wie , c T ( t ) = r 0 ( s ) = r 0 ( t ) t 0 ( s ) =

k r 0 ( t ) k . Sta , d wynika, ze

r 00 ( s ) =

ds 2 ( r ( t ( s )) =

k r 0 ( t ( s )) k = r 00 ( t ) t 0 ( s ) · 1

r 0 ( t ( s ))

k r 0 ( t ) k + r 0 ( t ) · − 1

k r 0 ( t ) k 2 · r 0 ( t ) · r 00 ( t )

k r 0 ( t ) k · t 0 ( s ) =

r 00 ( t ) r 0 ( t ) 2 − r 0 ( t ) · r 0 ( t ) · r 00 ( t )

r 0 ( t ) × r 00 ( t ) × r 0 ( t )

k r 0 ( t ) k 4

Wobec tego N ( s ) =

k ( r 0 ( t ) × r 00 ( t )) × r 0 ( t ) k =

( r 0 ( t ) × r 00 ( t )) × r 0 ( t )

r 00 ( t ) r 0 ( t ) 2 − r 0 ( t ) · ( r 0 ( t ) · r 00 ( t ))

k ( r 0 ( t ) × r 00 ( t )) × r 0 ( t ) k

Mozemy napisac B ( s ) = T ( s ) × N ( s ) =

k r 0 ( t ) × ( r 00 ( t )( r 0 ( t )) 2 − r 0 ( t )( r 0 ( t ) · r 00 ( t ) ) k =

r 0 ( t ) × ( r 00 ( t )( r 0 ( t )) 2 − r 0 ( t )( r 0 ( t ) · r 00 ( t ) )

k r 0 ( t ) × r 00 ( t )( r 0 ( t )) 2 k =

k r 0 ( t ) × r 00 ( t ) k .

Mamy dalej

( t ) = k r 00 ( s ) k =

k r 0 ( t ) k 4

r 00 ( t ) r 0 ( t ) 2 − r 0 ( t ) · ( r 0 ( t ) · r 00 ( t ))

k r 0 ( t ) k 4 k r 0 ( t ) × r 00 ( t ) × r 0 ( t ) k =

k r 0 ( t ) k 4 k r 0 ( t ) × r 00 ( t ) k·k r 0 ( t ) k =

k r 0 ( t ) k 3 ·k r 0 ( t ) × r 00 ( t ) k . |

r 0 ( t ) × r 00 ( t )

k r 0 ( t ) × r 00 ( t ) k

t 0 ( s ) = r 0 ( t ) × r 000 ( t )

Zachodzi rownosc B 0 ( s ) =

k r 0 ( t ) × r 00 ( t ) k·k r 0 ( t ) k +

+ r 0 ( t ) × r 00 ( t ) ·

k r 0 ( t ) × r 00 ( t ) k·k r 0 ( t ) k

Z wzoru Freneta, prostopadlosci wektorow r 0 ( t ) × r 00 ( t ) i r 0 ( t ) × r 00 ( t ) × r 0 ( t )

k r 0 ( t ) × r 00 ( t ) k 2 · ( r 0 ( t ) × r 00 ( t ))(( r 0 ( t ) × r 000 ( t ))

− 1

* ( u × v ) × w = v ( u · w ) − u ( v · w ) dla dowolnych u , v , w 2 R 3 , co studenci wykaza , bez trudu.

| Wektory r 0 × r 00 i r 0 sa , prostopadle, wie , c dlugosc ich iloczynu wektorowego to iloczyn ich dlugosci.

Czas na wyrazenie wektorow T , N , B oraz krzywizny i skre , cenia za po-

moca , funkcji r i jej pochodnych przy uzyciu dowolnej parametryzacji. Czasem natu-

ralna , parametryzacje , mozna znalezc jedynie uzywaja , c tzw. funkcji specjalnych. Jest

tak w przypadku elipsy, wie , c bardzo prostej krzywej. W dalszym cia , gu be , dziemy

pisac r ( t ) maja , c na mysli dowolna , parametryzacje , krzywej. Symbol r 0 ( s ( t )) ozna-

czac be , dzie

r 0 ( t )

d 2

r 0 ( t ) × r 00 ( t )( r 0 ( t )) 2

r 0 ( t ) × r 00 ( t )

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: