przygot.pdf

FAN:wybórzada«przygotowawczychdoegzaminu. stycze«2013r.

Egzaminb¦dziezcało±cimateriału–równie»itejjegocz¦±ci,któraobj¦tabyłapo-

przednimizadaniamiprzygotowawczymiisamymkolokwium.Poni»szywybórdotyczy

wwi¦kszo±citylkoprzykładowychzada«rachunkowych,dotycz¡cychmateriałuoma-

wianegopokolokwium,lubprzykładowychzada«teoretycznych.Znak@towarzyszy

zadaniomwzi¦tymzegzaminówlubkolokwiówzubiegłychlat.

Całkiniewła±ciweatwierdzenieoresiduach.(Patrznp.strony49-51notatek.)

Wyznaczy¢nast¦puj¡cecałkiniewła±ciwe,wtymuzasadni¢ichistnienie:

1. R 1

xsinx

x 2 +2x+5 dx.(Wskazówka:Wykorzysta¢to,»esin=Im(exp)naosirzeczywi-

stej;u»y¢lematuJordana.)

2. R 1

−1

logx

x 2 −1 dx(Jesttozadanie3.8.8uKrzy»a)

3. R 1

x ) n dx,dlawybranychdwóchwarto±cin2{1,2,3}.(Por.zadania3.7.5i

3.7.7uKrzy»a)

0 ( sinx

Sumowanieszeregówatwierdzenieoresiduach.

Obliczy¢,uzasadniaj¡cte»istnieniesumynast¦puj¡cychszeregów:

4. P 1 n=1 w

w+n 2 ,dlaw62 i N.(Wskazówka:twierdzenie4nastr.52notatekdo

wykładu.)

5.@ P 1 n=1 (−1) n 1

n 2 +1 .(Rozwi¡za¢wpierwzadanie1nastr.52notatek.)

Twierdzenieoresiduachzuwzgl¦dnieniemniesko«czono±ci.

6.UKrzy»a,zadania3.4.16+3.5.7

Zasadyizolowanychzeriidentyczno±ci;zasadasymetrii.

7.Wnast¦puj¡cychprzypadkachzbada¢,czyistniejefunkcjaholomorﬁcznawoto-

czeniuzera,taka,»edladostateczniedu»ychnzachodzi

a)f(1/n)=f(−1/n)=1/n 2 .

b)f(1/n)=f(−1/n)=1/n 3 .

c)4n 2 (f(1/2n)) 2 +nf(1/n)=n 2 (f(1/n)) 2 −nf(−1/n)+1.

Je±li»¡danafunkcjaistnieje,wskaza¢j¡izbada¢,jakajestposta¢takichfunkcjina

dysku|z|<1.

8.Tosamo,gdywaruneknafjesttaki:f 0 (1/n)+f(1/n)=0.

9.UKrzy»azadanie7.2.1.

10.UKrzy»azadanie7.2.2.

ZasadaargumentuitwierdzeniaRouchégo. („Liczbazer”uwzgl¦dniakrotno±ci.)

11.a)Prze±ledzi¢dowódtwierdzeniaRouchégobystwierdzi¢,»ewjegosformułowa-

-1

niunierówno±¢|f(w)−g(w)|<|f(w)|mo»eby¢zast¡pionaprzez|f(w)−g(w)|<

|f(w)|+|g(w|,bezzmianytezy.

b)Wykorzystuj¡cto,zbada¢liczb¦zerwielomianu4z 5 +5z 2 +1wkole|z|1iw

pier±cieniu1<|z|<2.

c)Powtórzy¢todlawielomianuz 6 −5z 4 +3z 3 −1ipier±cienia1<|z|<3.

12.Niechc2C\{0}.Dowie±¢,»edladostateczniedu»ychnrównanietg(z)=cz

ma2n+1rozwi¡»a«wkwadracie|Rez|n,|Imz|n.Posłu»y¢si¦twierdzeniem

Rouchégojaknast¦puje:przyj¡¢f(z)=tg(z)−cz,g(z)=cz,dowie±¢,»eN f,K =

N g,K ,gdzieKtonaszdostateczniedu»ykwadrat,iwyznaczy¢sum¦B f,K rz¦dów

biegunówfunkcjifwK.

13.@Wyznaczy¢liczb¦pierwiastkówwielomianuf=z 7 +6z 4 +1wpółpłaszczy¹nie

Re(z)>0.

Naszkicujemyjednozmo»liwychrozwi¡za«.Zorientowanybrzegpółkola{z:|z|

RiIm(z)0}przedstawmyjako#µ,gdzie(t)=− i t(t2[−R,R])iµ(t)=

Re i t (t2[−/2,/2]).Dladu»ychRmo»nafµpoł¡czy¢zdrog¡µ 7 homotopi¡

wC\{0};homotopi¦okre±lamywzorem[0,1]×[−/2,/2]3(s,t)7!f s µ(t),

gdzief s (z)=z 7 +s(6z 4 +1).(To,»ewarto±¢0niejestprzyjmowanawynikast¡d,

»e|6z 4 +1|<|z| 7 dladu»ych|z|=R.)Natomiastfprzyjmujewarto±ciw

{z:Re(z)1},bodlaz=− i t2im()zachodzif(z)= i t 7 +6t 4 +1.W

szczególno±ci,fniemapierwiastkównaosiRe(z)=0.

Powy»szahomotopiawpunktachzbioru[0,1]×{±/2}przyjmujewarto±cipoza

prost¡Im(z)=0.Wobectegop¦tlaf(#µ)jestwC\{0}homotopijnazp¦tl¡

:=(f)#L 1 #µ 7 #L 2 ,gdzieL 1 iL 2 topewnedrogiw{z:Im(z)6=0}.Indeks

ind(,0)mo»nawyznaczy¢stosuj¡ctwierdzeniez§III.4zp=−2R 7 ,q=0–wystar-

czyzauwa»y¢,»epółprosta(−1,0] R nieprzecinaobrazówdrógL 1 ,L 2 if,za±

obrazdrogiµ 7 przecinawjednympunkcie−R 7 ,równym(µ(t j )) 7 dlaczterechwar-

to±cit j 2[−/2,/2](mianowicie,dlat j = 7 (−1+2j),j=−1,0,1,2);przytym

odpowiadaj¡cewtwierdzeniuz§III.4warto±ci" j s¡równe1.Por.¢wiczeniew§III.4;

wartote»naszkicowa¢schematycznyrysunekp¦tli.

St¡ddladu»ychR,ind(,0)=4itymsamymind(f(#µ),0)=4.S¡wi¦c

czterypierwiastkiw{z:|z|<RiRe(z)>0},napodstawietwierdzeniaoresiduach.

Uwaga1.UKrzy»ajestkilkazada«podobnegotypu,zobszernymirozwi¡zaniami(od

3.9.2do3.9.8);znich3.9.7mapouczaj¡cyrysunekzamieszczonyprzyrozwi¡zaniu.

Wymaganeindeksywyznaczy¢mo»najakopisanowrozwi¡zaniachlub,jakwy»ej,

korzystaj¡cztwierdzeniaz§III.4dlaodpowiedniegopunktup(n.p.p=2R 5 w3.9.7).

14.Dowie±¢,»ewszystkiezerawielomianuz 5 −z+16le»¡wpier±cieniu1<|z|<2,

przyczymwpierwszej¢wiartcedokładniedwa.(UKrzy»azadanie3.9.6).

-2

15.a)Dowie±¢,»ewielomianz 4 + i z 3 +1majedenpierwiastekwpierwszej¢wiartce.

b)Ilepierwiastkówwtej¢wiartcemawielomianz 99 +z+1?

Innetematy.

16.@Udowodni¢,»eró»naodidentyczno±cifunkcja,holomorﬁcznieprzekształcaj¡ca

dysk|z|<1wsiebie,mawnimnajwy»ejjedenpunktstały.(Wskazówka:lemat

Schwarza.)

17.Składaj¡cprzekształcenieholomorﬁcznef:D!Dzobustronzodpowiednimi

przekształceniamiBlaschkegoikorzystaj¡czlematuSchwarzadowie±¢,»e:

a)(f(p),f(q))(p,q)dlawszystkichp,q2D,gdzie(p,q):=|b p (q)|= |p− q |

|1−pq| .

b)|f 0 (p)|(1−|f(p)| 2 )/(1−|p| 2 )dlawszystkichp2D.

c) Je±liwa)(lubwb))wmiejscenierówno±cizachodzirówno±¢dlapewnych

p6=q(odp.dlapewnegop),toprzekształceniefjestbiholomorﬁczne.Odwrotnie,

gdyjestonobiholomorﬁczne,toobiestronynierówno±cis¡równejakofunkcje.

18.@Udowodni¢,»efunkcjaf2H(C)jeststała,je±li:

a)funkcjae f jestograniczona,lub

b)funkcjaRe(f)jestograniczonazgórylubzdołu.

19.@Znale¹¢wszystkiefunkcjef2H(C\{0,2}),spełniaj¡ceponi»sze3warunki:

1.fmabiegunrz¦du2wzerzeirz¦du1wjedynce;

2.fjestograniczonawpier±cieniu|z|>10;

3.f(1)=3if 0 (1)=6;

4. R |z|=1 f=2 i i R |z|=10 f=0.(Wskazówka:§V.5wnotatkachdowykładu.)

Dodatkowezadaniadotycz¡cemateriałusprzedkolokwium.

20.Rozwa»mykwadrato±rodkuw0ibokurównoległymdoosirzeczywistej.Do-

wie±¢,»eje±lidługo±¢2N+1jegobokujestliczb¡nieparzyst¡,tonabrzegukwadratu

funkcjectg(z)i1/sin(z)s¡(codomodułu)ograniczonestał¡niezale»n¡odN.

21.@Rozwin¡¢funkcj¦f(z)=1/(z 2 +1)(z+2)wszeregLaurentanamaksymalnych

pier±cieniacho±rodkuw0,któreniezawieraj¡jejpunktówosobliwych.

22.Niech

g(z)= z 2 +2cosz−2

e z −z 2 −1 if(z)= g(z)

z 5 (z6=0).

a)Dowie±¢,»efunkcj¦gmo»naprzedłu»y¢dofunkcjieg,holomorﬁcznejwotoczeniu

zeraiwyznaczy¢współczynnikic 0 ,...,c 4 rozwini¦ciaMaclaurina P 1 n=0 c n z n funkcjieg.

b)Wyznaczy¢cz¦±¢główn¡rozwini¦ciaLaurentafunkcjifwokółzera,residuumtej

funkcjiwzerzeorazrodzajosobliwo±ciwzerze(czyistotna,czypozorna,czybiegun,

iktóregorz¦du).

23.@Niechf2H(D),gdzieDtodysk|z|<1.Dowie±¢,»e:

-3

a) P n j=0 f (j) (z)= P 1 k=0 ( P n j=0 f j+k (0))z k /k!dlan2Niz2D.

b)Je±liszeregfunkcyjny P 1 n=0 f (n) jestzbie»nywpunkciez=0,tojestzbie»ny

niemaljednostajniewD.

24.@Niechf(z)=e iz /(z−i)(z 2 +1).Obliczy¢ R f,gdy

a)tododatniozorientowanyokr¡g|z|=2,

b)tołamana[w 0 ,w 1 ,w 2 ,w 3 ,w 4 ,w 5 ,w 6 ,w 0 ],onast¦puj¡cychwierzchołkach

w 0 =4i,w 1 =2+2i,w 2 =−2−2i,w 3 =2−2i,w 4 =−3+3i,w 5 =5+3i,w 6 =−1.

Wybórprzykładowychzada«teoretycznych.

1.a)Udowodni¢,»efunkcja,meromorﬁcznawcałejsferze e C,jestfunkcj¡wymiern¡.

(Jesttotwierdzenie3nastr.59notatek.)

b)Udowodni¢porzedzaj¡cetwierdzenie2zestr.59.

2.Udowodni¢,»eobrazspójnegozbioruotwartegow e Cprzyniestałejfunkcjimero-

morﬁcznejjestzbioremotwartymw e C.

3.Udowodni¢,»eje±lifunkcjafrozwijasi¦wpier±cieniu|z|>rwszeregLaurenta

P n2Z c n z n ispełniawaruneklim z!1 z k f(z)=0dlapewnegok2Z,toc n =0dla

n−kiwobectego|f(z)|C/|z| k+1 dlapewnejstałejCidostateczniedu»ych|z|.

b)Uzyska¢wersj¦twierdzeniaLiouville’a:je±lif2H(C)i|f(z)|C|z| s dla

pewnychs,C0idostateczniedu»ych|z|,tofjestwielomianemstopniabsc.

Uwaga1.Powy»szezadanias¡z§V.5i§VI.1.Bnotatekdowykładu;wskazówk¡do

nichjests¡siaduj¡cymateriał.Wnotatkachdowykładujestsporoinnychnietrud-

nychlematów,pozostawionychjakozadania.Nale»yjerozwi¡zywa¢,bysprawdza¢

rozumieniezasadniczegotokuwykładu.Naegzaminiezadaniatemog¡si¦pojawi¢.

4.Dowie±¢,»egdyfunkcjafjestholomorﬁcznawCpozazbioremsko«czonym,to

sumajejresiduów,wł¡czaj¡cresiduumwniesko«czono±ci,jestrównazeru.(Tote»

udowodnionownotatkachdowykładu,alenienapisz¦,gdzie.)

5.@Udowodni¢,»egdyf,g2H(C)s¡takie,»efgjestwielomianem,tofigs¡

wielomianami.(Wskazówka:zadanie1b)wy»ej.)

6.@Zbada¢,czyistniej¡niestałefunkcjeholomorﬁcznezC\{0}w{z2C:|z|>1}.

(Wskazówka:wynikiz§V.4i§V.5.)

7.Niechf unk cjafb¦dzieholomorﬁcznawograniczonymobszarzeUici¡gławjego

domkni¦ciuU.Dowie±¢,»e:

a)Je±lifunkcja|f|jeststałanabrzeguBd(U):=U\UzbioruU,tofjeststała

naUlubmawUmiescezerowe.

b)Je±li|f(w)|>|f(z 0 )|dlawszystkichw2Bd(U)ipewnegoz 0 2U,tofma

wUmiejscezerowe.

-4

c)Funkcja|f|swemaksimumnaUprzyjmujewpunktachzbioruBd(U).

8.Niechfunkcjafb¦dzieniestałaiholomorﬁcznawdysku|z|<1.Udowodni¢,»e

funkcja'(r):=sup |z|=r |f(z)|jest±ci±lerosn¡cana[0,1).(UKrzy»azadanie6.1.6.)

9.a)NiechUb¦dziezbioremotwartymwC.Udowodni¢,»egdyfunkcjaf,holo-

morﬁcznawUpozazbioremdyskretnym,mawz 0 osobliwo±¢istotn¡,tojejzło»enie

gfzfunkcj¡g2M(U)niemawz 0 biegunaaniosobliwo±cipozornej.

b)Taksamojest,gdyUjestzbioremotwartymw e C.

10.Dowie±¢,»efunkcjaf:U!C,okre±lonaici¡gławzbiorzeotwartymUC,

jestholomorﬁcznawtedyitylkowtedy,gdyjejkwadratf·fjestfunkcj¡holomorﬁczn¡.

Wybórprzykładowychtematówegzaminuzteorii.

Podaj¦jakoprzykladytematyzegzaminuprof.Polasprzed2lat:

1.a)Sformułowa¢twierdzenieMorery.

b)Udowodni¢twierdzenieWeierstrassaogranicyniemaljednostajniezbie»nego

ci¡gufunkcjiholomorﬁcznych.

2.a)Poda¢deﬁnicj¦indeksudrogizamkni¦tejwzgl¦dempunktu.

b)Sformułowa¢zasad¦argumentu.

3.a)Poda¢deﬁnicj¦obszarówjednospójnychisformułowa¢twierdzenieRiemannao

przekształceniachkonforemnych.

b)Udowodni¢lematSchwarzaoholomorﬁcznychprzekształceniachdyskuwsiebie.

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

FAN:wybórzada«przygotowawczychdokolokwium. grudzie«2012r.

1.a)Wyrazi¢wpo sta cia+b i n ast¦pujaceliczbyzespolone:

(1+ i

3) 6 ,( 1+ i p 3

1− i ) 4 ,cos( 2 − i ln2).

b)Udowodni¢,»egdy|z|=r>0,toRe(z)= 1 2 (z+ r 2

z ).

c)Udowodni¢,»eje±liszereg P 1 k=0 u k jestzbie»nyi|arg(u k )|c</2dla

wszystkichk,toszereg P k |u k |jestzb ie»ny.

d)Udowodni¢,»egdyt=ln(x+ p x−1 p x+1),tocosh(t)=x.

e)Zbada¢,dlajakichzrzeczwistes¡liczbycos(z),sin(z), sin(z)

cos(z) .Jakijestzbiór

warto±cifunkcjitg:=sin/cos?

f)Dlaz=x+ i y,gdziex,y2R,dowie±¢równo±ci|sinz| 2 =sin 2 x+sh 2 y=

ch 2 y−cos 2 xoraz|cosz| 2 =sh 2 y+cos 2 x=ch 2 y−sin 2 x.

2.Wyznaczy¢kołozbie»no±ciszeregu(mowaomaksymalnymkoleotwartym):

a) P 1 n=1 (2n)!

(n!) 2 z n ;b) P 1 n=1 n!

n n z n ;c) P 1 n=1 (n+a n )z n .

-5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: