rownania_rozniczkowe_niest.pdf

(75 KB) Pobierz
rownania_rozniczkowe_niest
RÓWNANIA RÓśNICOWE I RÓśNICZKOWE
Równania róŜnicowe pierwszego rzędu
Równania typu:
1)
D y
=
2
lub
2)
D
y
t
=
-
y
t
nazywane są równaniami róŜnicowymi.
W równaniach tych pewna zmienna (np. czas t ) traktowana jest jako
zmienna dyskretna, czyli moŜe przyjmować tylko wartości całkowite.
W takim przypadku schemat zmian zmiennej y musi być opisany przez
tzw. róŜnice (
D
y
).
1
RównowaŜne formy zapisu równań 1) i 2) to:
1’)
y
t
+
1
-
y
t
=
2
lub
1’’)
y
t
+
1
=
y
t
+
2
oraz
2’)
y
t
+
1
-
0
y
t
=
0
lub
2’’)
y
t
+
1
=
0
y
t
.
PowyŜsze równania są równaniami pierwszego rzędu, poniewaŜ
występują tu jedynie pierwsze róŜnice
D
, obejmujące opóźnienie tylko
o jeden okres.
2
Rozwiązywanie równań róŜnicowych pierwszego rzędu
Metoda iteracyjna
Równanie róŜnicowe opisuje sposób, w jaki y zmienia się dla dwu
kolejnych okresów. Gdy dana jest wartość początkowa y
, moŜna
wyznaczyć wartość y
. Znając wartość y
, moŜna otrzymać 2
y
.
W wyniku kolejnych powtórzeń (iteracji) schematu zmian opisanego
równaniem róŜnicowym moŜna otrzymać dowolną wartość y
.
3
Przykład 1.
Rozwiązać równanie róŜnicowe
D
y
t
=
-
0
y
t
, dla wartości początkowej
y
.
Rozwiązanie
Zapis równowaŜny to
y
t
+
1
=
0
y
t
. Metodą iteracyjną otrzymujemy:
y
1
=
0 y
0
,
y
=
0
y
=
0
×
0
y
=
(
0
2
y
,
2
1
0
0
y
=
0
y
=
0
×
(
0
2
y
=
(
0
3
y
,
3
2
0
0
...........................................................
co moŜna podsumować w rozwiązaniu:
y
=
(
0
t
y
.
t
0
4
Wzór ogólny
Dla równania róŜnicowego pierwszego rzędu:
y
t
+1
+
ay
t
=
c
ogólne rozwiązanie ma postać:
y
=
y
-
c
( )
-
a
t
+
c
,
a
¹
-
1
t
0
1
+
a
1
+
a
lub
y t
=
y
0
+
ct
,
a
=
-
1
.
5
234912649.001.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin