analityczna- moja i zestawy XV i VI.docx

Geometria analityczna

Równanie kierunkowe prostej 

Równanie ogólne prostej

Y=-2x+10

Y=-1/2x

-2x+10=1/2x

Zestaw  XV

1.Prostą prostopadłą do prostej x+2y+5=0 jest

2y = -x-5

Y=-1/2x – 5/2

a1 .a2 = -1

a2 =-1: -1/2

a2= 2

y=ax+b

y=-2x+b   

gdzie b to dowolna liczba rzeczywista, gdyż istnieje wiele prostopadłych do Twojej   prostej.

y=2x-+1      odp. Y-1=2x – odp.c

zad.2. Funkcję liniową, której wykres jest równoległy do wykresu funkcji y= - √3x +1 i przechodzi przez punkt (0,5) określa wzór

Dwie proste są równoległe, jeżeli mają ten sam współczynnik kierunkowy

a=  - √3

y=ax+b

y= - √3x +b

y=  - 5 - √3x   odp. D

Zad. 3 Równanie okręgu przedstawionego na rysunku ma postać

Odczytujemy z wykresu:

(x-xs)2+(y-ys)2=r2 

Z rysunku wynika, że S= (-1,2), zatem

(x- (-1))2 + (y-2)2 = r2

(x+1)2 + (y-2)2 = 22
(x+1)2 + (y-2)2 = 4 

0dp. B

Zad. 4 Punkty A= (-1,5) B= (-3,2) są wierzcholkami trójkąta równobocznego. Długosć boku tego trójkąta wynosi

IABI = √(-3- (-1))2 + (2-5)2 = √ (-3+1)2 + (-3)2 = √ 4 +9 = √ 13

Odp.B

Zad. 5 Okrąg o S = (2,-5) i promieniu r = 3 opisany jest równaniem

(x-xs)2+(y-ys)2=r2 

(x- 2)2 + (y- (-5))2 = 32

(x- 2)2 + (y+ 5)2 = 9

Odp. A

Zad. 6 Układ równań jest sprzeczny dla a równego

2y +x – 4= 0

y+ax +8=0

2y= -x +4

Y=-ax -8

Y= -1/2 x+4

Y= - ax - 8

a≠ ½  

odp. C

Zad. 7. Dana jest prosta o równaniu   y=2/3x+2. Równanie prostej przechodzącej przez punkt P= (-2,7) i prostopadłej do danej prostej ma postać

al*a2=-1

a1=2/3

a2 = -1/a1 = -1/2/3 = -1 . 3  = - 3/2

                                    2

Szukana prosta ma równanie y=-3/2x+b

Ponieważ przechodzi przez punkt P, więc współrzędne tego punktu możemy wstawić do równania prostej.

7 = -3/2* (-2) + b
7 = 3 + b
b = 4

Szukana prosta ma równanie y = -3/2 x + 4

Odp. A

Zad. 8 Równanie prostej przechodzącej przez punkty P=(101,96) i Q= (123,140) ma postać

(y-96) (123-101)  - (140-96)(x-101)

(y-96)22 -  44(x-101) = 0

22y – 2112 – 44x + 4484=0

22y = 2112  +44x  - 4484

22 y = 44x – 2332   / :22

Y = 2x – 106

Odp. C

Zad. 9 Odległość środka odcinka o końcach M= (-1,-1) I N = (-5,9) od początku układu współrzędnych wynosi

M(-1;-1)         N(-5;9)
Współrzędne środka odcinka AB: 

          

S = (-1-5)     , (-1+9)

       2               2

S = (-3;4)

odległośc:

O =√9+16=5

Odp. A

Zad. 10 Które osie układu współrzędnych przecina okrąg o równaniu (x-3)2 + (y+1)2 = 4

okrąg ma równanie : ( x-a)² +(y-b)² = r²
czyli a = 3 

S=(3,1) - S -środek okręgu
b = 1
r=2

a y =0 podstawiam do równania okregu
(x-3)²+(y-1)²= 4

(x-3)² + (0 -1)² = 4
x² -6x +9 +1 = 4
x² -6x +9 +1- 4 = 0
x² -6x +6 = 0

rozwiązuje jak zwykła równanie kwadratowe
a = 1
b = -6
c = 6
Δ = (-6)² -4*1*6= 36-24 =12
√Δ =√12= √4*3=2√3 
x₁ = (-b-√Δ):2*a =( 6-2√3 ): 2 = 2(3-√3) :2 =3-√3
x₂ =(-b+√Δ):2*a =( 6+2√3 ): 2 = 2(3+√3) :2 =3+√3

Wynika z tego że okrąg przecina oś OX w 2 punktach 
A= (x₁,0) i B = (x₂, 0)
A = (3-√3, 0) i B =(3+√3, 0 )
Ponieważ odległość środka okręgu od osi OY jest większa niż promień okręgu to wynika stąd że okrąg nie przecina osi OY

zad.11

Przeciwległe wierzchołki prostokąta ABCD mają współrzędne A=(4,-3) i B= (-5,3). Promień okręgu opisanego na tym prostokącie jest równy

AC=√81+36=√117=3√13
promień tego okregu = połowie przekatnej, czyli 
r=1/2 z 3√13=1,5√13

Odp. C

Zad. 12

Promień okręgu o równaniu x2 + y2 – 6x  + 2y – 6 = 0 ma długość

x2 + y2 – 6x  + 2y – 6 = 0 – nasze równanie

(x2−6x+9) − 9 + (y2 + 2y +1) − 1 − 6 =0

(x−3)2 + (y+1)2 −16 = 0

(x−3)2 + (y+1)2  = 16

r2 = 16

r= 4

odp. B

Zad.13

Wykresy funkcji liniowych f(x) = 2/3 x – 3  i g(x)= (2a-1)x +1 są prostopadłe, gdy a wynosi

a1 . a2 = -1

2/3 . a2 = -1

a2 = - 3/2 -1: 2/3

a2 = - 3/2

y = - 3/2 x + b

(2a-1)x = -3/2 x

2ax –x =-3/2 x

2ax = - 3/2x + x

2ax = -1/2 x

2a = -1/2

a= -1/2 .1/2 = -1/4

Odp. C

Zad. 14

Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu  (x+2)2 +( y- 3)2 = 4 z osiami układu współrzędnych  wynosi

okrąg ma równanie : ( x-a)² +(y-b)² = r²

a= -2

b= 3

r =  2

Punkty wspólne mają współrzędne x= -2  y = 3

Czyli jeden punkt wspólny

Odp. B

Zad. 15 Współczynnikiem kierunkowym prostej o równaniu 3x – 2y – 2 = 0 jest

-2y = -3x + 2   / :(-2)

y = 3/2 x  - 1

...