9. pochodne_ii.pdf

PochodnefunkcjiII

Wyk“ad9(Budownictwo)

•Monotoniczno–¢iekstremafunkcji

•Regu“adeL’Hospitala

•Punktyprzegiƒciawykresufunkcji

Twierdzenie1.(warunkiwystarczaj¡cemonotoniczno–cifunkcji)

NiechIoznaczadowolnyprzedzia“.Je»elidlaka»degox2Ifunkcjafspe“nia

warunek:

1.f 0 (x)=0,tojeststa“anaI;

2.f 0 (x)>0,tojestrosn¡canaI;

3.f 0 (x)<0,tojestmalej¡caI.

‚ wiczenie1.Znale„¢przedzia“ymonotoniczno–cipodanychfunkcji:

a)f(x)= x

x!x 0 f(x)=lim

x!x 0 g(x)=0,przyczymg(x)6=0,

f 0 (x)

g 0 (x) (w“a–ciwalubniew“a–ciwa),

2.istniejegranicalim

x!x 0

f 0 (x)

g 0 (x) .

Uwaga1.Powy»szetwierdzeniejestprawdziwetak»edlagranicjednostron-

nychorazgranicw−1lubw1.

‚ wiczenie2.Obliczy¢podanegranice:

a)lim

f(x)

g(x) =lim

lim

x!x 0

x 10 −1

x 3 −1 ;

sin3x

sin5x ;

b)lim

x!1

−2arctanx

ln 1+ 1 x 2 ;

c)lim

x!1

lncosx

lncos2x .

Twierdzenie3.(regu“adeL’Hospitaladlanieoznaczono–ci 1 1 )

Je»elifunkcjefigspe“niaj¡warunki:

1.lim

d)lim

x!0 +

x!x 0 g(x)=1,

2.istniejegranicalim

x!x 0

x!x 0 f(x)=lim

f 0 (x)

g 0 (x) (w“a–ciwalubniew“a–ciwa),

f(x)

g(x) =lim

f 0 (x)

g 0 (x) .

lim

x!x 0

1 GuillaumeFran ç oisAntoinedeL’Hospital(1661-1704)-matematykfrancuski.

1+x 2 ;

b)f(x)=sinx+cosx;

c)f(x)=3x 5 +5x 3 ;

d)f(x)=x+cosx.

Twierdzenie2.(regu“adeL’Hospitala 1 dlanieoznaczono–ci 0 0 )

Je»elifunkcjefigspe“niaj¡warunki:

1.lim

Uwaga2.Powy»szetwierdzeniejestprawdziwetak»edlagranicjednostron-

nychorazgranicw−1lubw1.

‚ wiczenie3.Obliczy¢podanegranice:

a)lim

x!1

tan3x

tanx ;

b)lim

x! 2

x 3 −2x+1

4x 3 +2 ;

c)lim

x!1

lnsinx

lntanx .

d)lim

x!0 +

To»samo–cizmieniaj¡cerodzajenieoznaczono–ci

Nieoznaczono–¢Stosowanato»samo–¢Otrzymananieoznaczono–¢

0·1 f·g= f

0 lub

g − 1

1−1 f−g=

1 1 ,1 0 ,0 0 f g =e glnf

0·1

Uwaga3.To»samo–¢podan¡dlanieoznaczono–ci1−1stosujemydopiero

wtedy,gdyzawiod¡innesposobyjejusuwania.

‚ wiczenie4.Obliczy¢podanegranice:

a)lim

;

2x 2 − 1

b)lim

x!0

arctanx

2xtanx

c)lim

x!1

De nicja1.(minimumlokalne)

Funkcjafmawpunkciex 0 2D f minimumlokalne,je»eli

9 >0 8 x2(x 0 −,x 0 +) f(x)>f(x 0 ).

De nicja2.(maksimumlokalne)

Funkcjafmawpunkciex 0 2D f maksimumlokalne,je»eli

9 >0 8 x2(x 0 −,x 0 +) (f(x)<f(x 0 ).

lnx

x ;

x!0 + xlnx;

Twierdzenie4.(Iwarunekwystarczaj¡cyistnieniaekstremum)

Je»elifunkcjafspe“niawarunki:

1.f 0 (x 0 )=0;

2.pochodnaf 0 (x)przyprzej–ciuzmiennejxprzezpunktx 0 ,zmieniaznakz

ujemnegonadodatni(zdodatniegonaujemny),

tofunkcjafosi¡gaminimum(maksimum)lokalnewpunkciex 0 .

x .

Twierdzenie5.(IIwarunekwystarczaj¡cyistnieniaekstremum)

Je»elifunkcjafspe“niawarunki:

1.f 0 (x 0 )=0;

2.f 00 (x 0 )>0(f 00 (x 0 )<0),

tofunkcjafmawpunkciex 0 minimum(maksimum)lokalne.

‚ wiczenie6.Znale„¢wszystkieekstremalokalnepodanychfunkcji:

a)f(x)=x 100 +2x 50 ;

b)g(x)=(x−5)e x .

De nicja3.(funkcjawypuk“a)

Funkcjajestwypuk“anaprzedziale(a,b),je»eli

8 a<x 1 <x 2 <b 8 0<<1 f(x 1 +(1−)x 2 ) 6 f(x 1 )+(1−)f(x 2 ).

Uwaga4.Wypuk“o–¢oznacza,»eka»dyodcineksiecznejwykresule»ywy»ej

lubpokrywasiƒzfragmentemwykresupo“o»onymmiƒdzypunktami,przez

kt ó reprzechodzisieczna.

De nicja4.(funkcjawklƒs“a)

Funkcjajestwklƒs“anaprzedziale(a,b),je»eli

8 a<x 1 <x 2 <b 8 0<<1 f(x 1 +(1−)x 2 ) > f(x 1 )+(1−)f(x 2 ).

Uwaga5.Wklƒs“o–¢oznacza,»eka»dyodcineksiecznejwykresule»yni»ej

lubpokrywasiƒzfragmentemwykresupo“o»onymmiƒdzypunktami,przez

kt ó reprzechodzisieczna.

Twierdzenie6.(warunekwystarczaj¡cywypuk“o–ciiwklƒs“o–ci)

1.Je»elif 00 (x)>0dlaka»degox2(a,b),tofunkcjafjestwypuk“ana(a,b).

2.Je»elif 00 (x)<0dlaka»degox2(a,b),tofunkcjafjestwklƒs“ana(a,b).

‚ wiczenie5.Znale„¢wszystkieekstremalokalnepodanychfunkcji:

a)f(x)=x 3 −3x 2 +4;

b)g(x)=e x +e −x ;

c)h(x)= lnx

‚ wiczenie7.Okre–li¢przedzia“ywypuk“o–ciiwklƒs“o–cipodanychfunkcji:

a)f(x)=e −x ;

b)g(x)=x 4 ;

c)h(x)=sinx;

d)s(x)=arctanx.

De nicja5.(punktprzegiƒciawykresufunkcji)

Niechfunkcjafbƒdzier ó »niczkowalnawpunkciex 0 .Punkt(x 0 ,f(x 0 ))nazy-

wamypunktemprzegiƒciawykresufunkcjif,je»eliistniejeliczba>0taka,

»efunkcjafjestwypuk“ana(x 0 −,x 0 )iwklƒs“ana(x 0 ,x 0 +)lubodwrotnie.

Uwaga6.Punktwykresujestpunktemprzegiƒcia,je»elifunkcjamawtym

punkciestyczn¡izmieniawnimrodzajwypuk“o–ci.Wykresfunkcjiprze-

chodziwtedyzjednejstronystycznejnadrug¡.

Twierdzenie7.(warunekwystarczaj¡cyistnieniapunktuprzegiƒcia)

Je»elifunkcjafspe“niawarunki:

1.f 00 (x 0 )=0;

2.pochodnaf 00 (x)przyprzej–ciuzmiennejxprzezpunktx 0 ,zmieniaznakz

ujemnegonadodatni(zdodatniegonaujemny),

towykresfunkcjifmapunktprzegiƒciawpunkciex 0 .

‚ wiczenie8.Znale„¢punktyprzegiƒciapodanychfunkcji:

a)f(x)=4x 2 + 1

b)g(x)=e cosx ;

c)h(x)=x 2 lnx;

d)s(x)= 3 p 1−x 3 .

x ;

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: