ekonometria - wzory (3 str).doc

(88 KB) Pobierz

Praca pochodzi z serwisu www.e-sciagi.pl

II. Funkcja produkcji o stałej elastyczności substytucji (CES lub SMAC):

lub gdzie

dla r®1 CES odpowiada doskonałej substytucyjności (wykres - prosta)

dla r®0 CES odpowiada funkcji Cobb-Douglasa (wykres hiperboliczny)

dla r®-¥ CES odpowiada technologii Leontieffa (doskonała komplementarność - wykres L)

Produkcyjność krańcowa i-tego czynnika:

Elastyczność względem i-tego czynnika:

Efekt skali (suma elastyczność jak w modelu Cobb-Douglasa):

Krańcowa stopa substytucji:

Elastyczność substytucji: dla Cobba-Douglasa stała i równa 1,

Informuje w przybliżeniu o ile procent wzrasta zj/zi jeśli Rji wzrasta o 1% (mówi o ile powinno wzrosnąć techniczne uzbrojenie pracy, aby krańcowa stopa substytucji wzrosła o 1%)

Metoda Kmenty - historyczna i nienajlepsza, ale pozwalająca oszacować punkty startowe do algorytmu Gaussa-Newtona:

jeżeli oznaczymy kolejno paramtry od beta 0 do beta 3 i oszacujemy zwykłą MNK to otrzymamy punkty startowe:

III. Translogarytmiczna funkcja produkcji (Translog)

Liczba swobodnych parametrów: Funkcja translogarytmiczna nie jest jednorodna ! (brak globalnego efektu skali)

Dwa pierwsze składniki sumy odpowiadają technologii Cobba-Douglasa

Elastyczności najlepiej liczyć z pochodnej logarytmicznej i analogicznie współczynnik efektu skali (sumy elastyczności)

Podobnie produkcyjności krańcowe i elastyczności substytucji:

Estymacja funkcji produkcji: - na podstawie danych przekrojowych lub szeregów czasowych

Do Cobba-Douglasa i Translogu wystarczy MNK i KMRL, do CES należy stosować metodę Kmenty i algorytm Gaussa-Newtona

W przypadku CES i Translogu należy jeszcze zweryfikować hipotezę, że model Cobba-Douglasa jest wystarczający:

CES) - test t-Studenta dla regresji nieliniowej

wystarczy C-D CES

Translog) - test F dla układu współczynników regresji

wystarczy C-D Translog

W przypadku szeregów czasowych bierze się jeszcze pod uwagę postęp techniczno-organizacyjny

gdzie t × 100% - informuje w przybliżeniu o ile % wzrasta prdukcja z okresu na okres wyłącznie na skutek usprawnień techniczno-organizacyjnych (neutralnego postępu techniczno-organizacyjnego)

Zmienna objaśniająca losowa - stosujemy zwykłą MNK

Regresja liniowa dla danych czasowych - nie można stosować zwykłej MNK dla autokorelacji, ani dla modeli wielorównaniowych, natomiast można zwykłą MNK szacować proces autoregresyjny ze względu na zmienną objaśniającą:

Model autoregresyjny rzędu 1 (AR(1)):

Modele wielorównaniowe:

Statyczne (bez opóźnień) i dynamiczne (z opóźnieniami)

Yt - wektor zmiennych łącznie współzależnych

Xt - wektor zmiennych ustalonych z góry (wraz z wyrazami wolnymi - kolumna 1)

Ut - wektor równoczesnych składników losowych wszystkich równań

Rodzaje modeli wielorównaniowych:

· Proste - macierz B jest macierzą jednostkową; brak bezpośrednich zależności funkcyjnych między bieżącym zmiennymi endogenicznymi

· Rekurencyjne - równoczesne składniki losowe róznych równań nie są pomiędzy sobą skorelowane i macierz B jest niejednostkową macierzą trójkątną (lub daje się sprowadzić do trójkątnej prze zamianę numeracji równań i zmiennych i tylko w ten sposób); modeluje wyłącznie jednokierunkowe zależności między bieżącymi zmiennymi endogenicznymi

· O równaniach współzależnych - nie jest ani prosty ani rekurencyjny; opisuje dwukierunkowe powiązania między bieżącymi zmiennymi endogenicznymi

Estymacja prostych i rekurencyjnych modeli - zwykła MNK (estymator jest zgodny asymptotycznie)

Postacie modeli:

® Strukturalna - układ równań

® Zredukowana gdzie:

Badanie identyfikalności modelu:

Otrzymujemy układ równań z przemnożenia:

i - nr kolumny (równania)

Elementy macierzy pi traktujemy jako parametry, parametry modelu jako zmienne

Ze względu na ilość rozwiązań tego układu równań otrzymujemy, że równanie:

§ Nieidentyfikowalne (układ ma nieskończenie wiele rozwiązań - więcej zmiennych niż równań) - niemożna go estymować

§ Jednoznacznie identyfikowalne (układ ma dokładnie 1 rozwiązanie - liczba zmiennych jest równa liczbie równań) - pośrednia MNK (jako szczególny przypadek 2MNK)

§ Niejednoznacznie identyfikowalne (układ jest sprzeczny - więcej równań niż zmiennych) - 2MNK

Pośrednia MNK:

Szacuje się: , a parametry równań oblicza się z powyższego układu równań (będą zależne od elementów macierzy P

Podwójna MNK:

Dla danego równania wyprowadzamy postać:

gdzie Y,X,b,g są odpowiednimi macierzami i wektorami tych X,Y,b,g które występują w równaniu, analogicznie składnik losowy; Y ma wymiar T x mi X ma wymiar T x ki