Praca pochodzi z serwisu www.e-sciagi.pl
Pytanie 1
Prawa de Morgana dla zmiennych
Zaprzeczenie implikacji
Prawo kontr pozycji
Pytanie 2
Prawa de Morgana dla Kwantyfikatorów
Prawa przestawiania kwantyfikatorów
Pytanie 3
Działania na zbiorach
Niech Możemy zdefiniować następujące
działania na zbiorach
Suma zbiorów A i B
Iloczyn (część wspólna) zbiorów A i B
Różnica zbiorów A i B
Dopełnienie zbioru A do X
Jeśli dane są zbiory nie puste A i B to można
utworzyć zbiór, który oznaczamy złożony
ze wszystkich par uporządkowanych , gdzie
i . Zbiór ten nazywamy iloczynem (produktem) kartezjańskim zbiorów A i B.
Pytanie 4
Definicja kresu dolnego i górnego, twierdzenie o istnieniu kresów:
1) Mówimy, że zbiór A jest ograniczony z góry gdy
istnieje liczba (zwana ograniczeniem górnym
zbioru A) taka, że:
Kresem górnym zbioru A nazywamy najmniejsze z
ograniczeń górnych zbioru A. Oznaczamy kres górny
przez symbol supA (supremum A)
2) Mówimy, że zbiór A jest ograniczony z dołu gdy
istnieje liczba (zwana ograniczeniem dolnym
Kresem dolnym zbioru A nazywamy największe z
ograniczeń dolnych zbioru A i
oznaczamy infA (infinium A)
Twierdzenie o istnieniu kresów:
1) Każdy zbiór niepusty ograniczony z
góry posiada dokładnie jeden kres górny
2) Każdy zbiór niepusty ograniczony z
dołu posiada dokładnie jeden kres dolny
Pytanie 5
Wartość bezwzględna i jej własności:
Dla definiujemy jej wartość bezwzględną wzorem:
Własności:
Pytanie 6
Definicja funkcji, iniekcja, suriekcja, bijekcja, funkcja odwrotna, superpozycja funkcji:
Niech , . Zbiór nazywamy
funkcją, gdy dla każdego istnieje dokładnie
jeden element taki, że
W skrócie:
Piszemy oraz zamiast piszemy y = f(x)
Niech . Mówimy, że:
a) f jest iniekcją (albo inaczej funkcją różnowartościową), gdy
(Uwaga: korzystając z prawa kontrapozycji, można powyższy warunek zapisać w postaci
b) f jest suriekcją (albo inaczej funkcją „na”), gdy
f(x) = y
c) f jest bijekcją, gdy jest jednocześnie iniekcją i suriekcją.
Pytanie 7
Zasada indukcji zupełnej:
Niech będzie funkcją zdaniową, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych N. Jeśli:
1) zachodzi
2) dla każdej liczby naturalnej u zachodzi wynikanie
to zachodzi dla każdej liczby naturalnej u.
Pytanie 8
Definicja ciągu liczbowego, monotoniczność, ograniczoność:
Ciągiem liczbowym (nieskończonym) nazywamy każdą funkcje f określoną na zbiorze liczb naturalnych. Wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu i oznaczamy a ciąg o wyrazach zapisujemy symbolem () lub a1, a2, a3...
Monotoniczność: Mówimy, że ciąg jest:
1) niemalejący gdy
rosnący gdy
2) nierosnący gdy
malejący gdy
Jeśli ciąg jest niemalejący lub nierosnący to nazywa się monotonicznym.
Ograniczoność: Ciąg nazywa się ograniczonym jeśli zbiór jego wyrazów jest zbiorem ograniczonym w zbiorze liczb rzeczywistych. Oznacza to, że (*)
Warunek (*) można zastąpić przez:
Pytanie 9
Ciągi zbieżne i ich własności:
Ciąg nazywamy zbieżnym, gdy ma granicę (gdy istnieje liczba g taka że granica ). Gdy taka liczba nie istnieje to ciąg nazywa się rozbieżnym.
1) Jeśli ciąg jest zbieżny, to ma dokładnie jedną granicę.
2) Jeśli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony.
Z tego wynika:
a)
b)
Jeśli i gdzie to
1)
2)
3)
Pytanie 10
Twierdzenie o trzech ciągach:
Jeśli
oraz , to
Dowód: Niech ε > 0. Z założenia mamy
Koniunkcja nierówności implikuje
I z założenia
Skąd mamy
zatem
Co daje tezę.
Uwaga: Twierdzenie pozostaje prawdziwe, jeśli zakładać, że dla prawie wszystkich
Pytanie 11
Twierdzenie o zbieżności ciągów monotonicznych. Liczba e:
Twierdzenie o zbieżności ciągów monotonicznych – Jeśli ciąg jest od pewnego miejsca monotoniczny i jednocześnie ograniczony to jest zbieżny.
Liczbą e – nazywamy granicę ciągu , . Liczba ta jest równa 2,7182818284
Pytanie 13
Ciągi rozbieżne do :
a) Ciąg nazywamy rozbieżnym do gdy . Piszemy:
b) Ciąg nazywamy rozbieżnym do
gdy . Piszemy:
Granice częściowe ciągów, granica dolna i górna:
Granicą częściowa ciągu nazywamy element taki, że =g dla pewnego podciągu ciągu ()
a) Granicą dolną ciągu () nazywamy kres inf i oznaczamy przez lub lim
b) Granicą górną ciągu () nazywamy kres sup i oznaczamy przez lub lim
Pytanie 14
Funkcje elementarne i ich rodzaje:
Podstawowymi funkcjami elementarnymi są: wielomiany, funkcje wymierne, funkcje potęgowe, funkcje wykładnicze, funkcje logarytmiczne, funkcje trygonometryczne oraz funkcje cyklometryczne (odwrotne do trygonometrycznych).
Funkcja elementarna powstaje przez zastosowanie skończoną ilość razy podstawowych funkcji elementarnych, działań arytmetycznych (dodawane, odejmowanie, mnożenie i dzielenie) oraz operacji superpozycji, pod warunkiem, że zastosowane operacje mają sens.
Pytanie 15
Definicja Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie:
Niech . Wówczas
Pytanie 17
Własności algebraiczne granic funkcji w punkcie:
Niech ; ; ; - punkt skupienia zbioru E. Załóżmy, że istnieją skończone granice: i . Wtedy
4) o ile dla oraz
Pytanie 18
Definicja ciągłości funkcji w punkcie i na zbiorze:
Niech , ,
Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkciegdy:
1) nie jest punktem skupienia zbioru E
2) jest punktem skupienia zbioru E oraz
Funkcja nazywa się ciągłą na zbiorze E gdy jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.
...
stary_hipis