1_Siły_przekrojowe_w_belkach.pdf

2010-02-18

SIŁY WEWNĘTRZNE

Siły wewnętrzne występują w każdym przekroju konstrukcji i są

one wypadkowymi.

Siły wewnętrzne (przekrojowe)

to jedno z najważniejszych pojęć

mechaniki budowli.

M a

a L

a P

M a

a L

a P

N a

a P

D x

V a

a L

D x

a P

R A

R B

Moment zginający M a w dowolnym przekroju poprzecznym a-a

pręta jest równy sumie momentów statycznych wszystkich sił

działających z lewej (prawej) strony rozważanego przekroju,

liczonych względem środka ciężkości tego przekroju. Moment ten

jest dodatni, gdy rozciągane są włókna spodu pręta. Moment

określamy jako ujemny, jeżeli jego działanie powoduje ściskanie

przyjętych spodów.

Częd lewa

M a

W a

Częd p rawa

M a

W a

R A

R B

M a

N a

V a

R A

R B

M a

M a , V a , N a - składowe siłwewnętrznych

M a – moment zginający, V a – siła poprzeczna, N a – siła podłużna

D x

spód rozciągany spód ściskany

Siła podłużna ( normalna ) N a w dowolnym przekroju

poprzecznym a-a pręta jest równa sumie rzutów wszystkich sił

działających z lewej (prawej) strony rozważanego przekroju, na

kierunek prostej stycznej do osi pręta, poprowadzonej przez

środek ciężkości przekroju.

Siła podłużna jest dodatnia, jeżeli działa

na przekrój rozciągająco, i ujemna, gdy

działa ściskająco.

Obliczenia sił wewnętrznych można przeprowadzić albo na

podstawie definicji , albo wykorzystując warunki równowagi ,

zapisane dla wyodrębnionych fragmentów układu.

Z definicji

P 3

P 1

M a

N a

P 4

a -

N a

P 2

a 1

V a

VPPP

a  - -

D x

a 2

a 3

MMPaPaPa

a    -  - 

N a

M a

N a

P 1 M

P 3

P 4

a -

Siła poprzeczna V a ( tnąca T a ) w dowolnym przekroju

poprzecznym a-a pręta jest równa sumie rzutów wszystkich sił

działających z lewej (prawej) strony rozważanego przekroju, na

kierunek prostej prostopadłej do osi pręta, poprowadzonej przez

środekciężkości przekroju.

V a

a 1

P 2

VPPP

a   -

a 2

MMPaPaPa

a    -  - 

a 3

Z warunków równowagi

V a

P 4

P 3

P 1

M a



x PNP

  

4 0

V a

N a

Siła poprzeczna jest dodatnia,

gdy na prawączęśćprętadziała

do góry, a na lewą do dołu.

P 2



a 1

V a

y PVPPP

   - 

2 0

T a

a 2

D x

a 3

D x



MMPaPaPaM

a      -  - 

 

Wartości sił wewnętrznych, obliczone w tym samym punkcie z obu

stron przekroju, muszą być sobie równe. A więc można

przeprowadzać obliczenia sił wewnętrznych z dowolnej strony

przekroju belki. Zazwyczaj wybiera się tę stronę, z której

wykonanie odpowiednich działań będzie łatwiejsze.

a 1

a 2

p ( x )

p ( x )D x

M ( x+ D x )

N ( x+ D x )

V ( x+ D x )

M ( x )

n(x) D x

N ( x )

a 1

a 2

n ( x )

D x

V ( x )

D x



      0

ZWIĄZKI MIĘDZY SIŁAMI WEWNĘTRZNYMI I OBCIĄŻENIEM

x PNx xNxnxx

 D -  D 



y PVx xVx pxx

 D -  D 

      0

q ’( x’ )



MMx xMxVxxpxx D

        0

 D - - D  D 

q ( x )

p ( x )

n ( x )

   

Nx xNx nx

D -

 

dNx nx

dVx px

dMx Vx

 

-

x’

Vx xVx px

   

D -

 

-

 



-

 

p ( x ) – obciążenie poprzeczne (dodatnie, jeżeli działa ku spodowi

pręta),

n ( x ) – obciążenie osiowe (dodatnie, jeżeli ma zwrot zgodny z

osią x ).

   

Mx xMx Vx

D -



 



 

2010-02-18

W niektórych przypadkach obliczenia łatwiej jest przeprowadzić,

przyjmując oś x skierowaną w stronę przeciwną i wtedy wyrażenia

znajdujące się po prawej stronie zależności różniczkowych

zmienią znaki na przeciwne.

Graficzna prezentacja sił wewnętrznych jest bardzo ważna,

gdyż na jej podstawie można uzyskać na ogół więcej informacji,

niż analizując nawet najprostsze równanie. Wykresy

sporządzamy, odkładając od osi pręta, w obranej skali, rzędne

odpowiednich funkcji.

dNx nx

dVx px

dMx Vx

 



 

Rysując wykresy sił

wewnetrznych, przyjmuje się

konwencję , według której

wartości dodatnie momentów

zginających umieszczasię po

stronie spodu pręta , a ujemne po

stronie przeciwnej. Wykresy sił

poprzecznych rysuje się

odwrotnie, czyli po stronie spodu

odkładasięwartości ujemne.

Zerowe siły wewnętrzne oznacza

siędwiema pochyłymi kreskami.

 



 

-

 

Przedstawione zależności różniczkowe spełniają ważną rolę w

analizie układów prętowych i noszą nazwę równań

różniczkowych równowagi elementu pręta . Istotne jest

zwłaszcza ostatnie z równań, które może służyć między innymi do

kontrolowania zgodności wykresów sił poprzecznych i momentów

zginających.

M’=V

V’=-q

M’=V

V’=-q

q= 0

V=a

V= 0

M=a x+b

M=a

•Jeżeli wykres sił poprzecznych będzie opisany prostą poziomą,

to wykres momentów zginających jest opisany równaniem

prostej nachylonej.

• Pochodna funkcji rosnącej jest dodatnia, a malejącej – ujemna,

zatem moment zginający rośnie w przedziałach, w których siła

poprzeczna jest dodatnia i maleje w przedziałach, w których jest

ujemna.

• W przypadku działania na układ siły skupionej, w miejscu jej

zaczepienia wystąpi nieciągłość na wykresie sił poprzecznych.

•W przypadku działania na układ momentu skupionego, w

miejscu jego zaczepienia wystąpi nieciągłość na wykresie

momentów zginających.

•Wartości maksymalne momentu zginającego

mogą również wystąpić w punktach

przyłożenia sił skupionych, w których siła

poprzeczna jest nieciągła i przecina oś x ,

natomiast wykres momentów jest załamany.

M’=V

V’=-q

q= const

q ( x )

Przyrost siły poprzecznej (podłużnej) między dwoma punktami osi

pręta jest równy minus umownemu polu wykresu obciążenia

ciągłego poprzecznego (osiowego) zawartego między tymi

punktami.

Przyrost momentu zginającego między dwoma punktami osi pręta

jest równy umownemu polu wykresu siły poprzecznej zawartego

między tymi punktami.

M=a x 2 +bx+c V= 2 ax+b q=- 2 a

•Jeżeli wykres siły poprzecznej będzie opisany równaniem prostej

o współczynniku kierunkowym różnym od zera, to wykres

momentów zginających jest opisany parabolą.

•Dla znalezienia ekstremum dowolnej funkcji, przyrównuje się jej

pochodną do zera, a więc ekstrema momentu zginającego

znajdują się w miejscach zerowania się siły poprzecznej.

q= 10 kN/m M= 35 kN  m P= 40 kN

3 m

2 m 2 m 2 m

3 m

[kN]

120

Wykres momentów zginających jest zakrzywiony (załamany)

wypukłością w tę stronę, w którą działa obciążenie ciągłe (siła

skupiona).

100

[kN  m]

2010-02-18

BELKI PROSTE

Płaski, dowolny układ prętowy określa się jako statycznie

wyznaczalny , jeżeli do jego rozwiązania, czyli wyznaczenia

wszystkich reakcji i sił wewnętrznych, wystarczą tylko trzy

równania równowagi. Jednakże jest to tylko warunek konieczny,

ale niewystarczający, statycznej wyznaczalności.

Ruch układu

BELKA SWOBODNIE PODPARTA Jeden z najstarszych

elementów konstrukcyjnych,

i najczęściej występujący w

praktyce budowlanej.

l s

l s - rozpiętość w świetle ścian

O belki

Mechanizm, układ chwiejny lub geometrycznie zmienny

l 0 =1,05 l s

l 0 - rozpiętość obliczeniowa

Prętodpowiednio podparty i obciążony siłami prostopadłymi lub

ukośnymi do jego osi nazywany jest belką .

cikanie

Część belki zawartą

między podporami nazywa

się przęsłem . Zamiast

używać pojęcia długość

belki , mówi się, że przęsło

ma rozpiętość l .

pękanie

Rozciągani e

Linia ugięcia

belka swobodnie podparta

belka wspornikowa

belka swobodnie podparta ze

wspornikiem

belka swobodnie podparta ze

wspornikami

Pręty zbrojeniowe

PODSTAWOWE PRZYPADKI

l/ 2

ql /2

P /2

M/l

ql /2

P /2

M/l

KSZTAŁTOWANIE BELEK

Belki swobodnie podparte

Belka stalowa

0,207 l

0,586 l

0,207 l

M /5,8

Belka stalowa o stałej wysokości

M /5,8

Blachownica

Belka ciągła

Zmiana grubości pasów blachownicy

Jednakowa wysokość

belki ciągłej i swobodnie

podpartych

0,22 l

0,56 l

0,22 l

Zmiana szerokości pasów blachownicy

M /5

M /9

Przesunięcie podpór

0,56 M

l /4

l/ 2

l /4

Belka żelbetowa

Można dać mniej zbrojenia w przęśle

M /4

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: