zginanie_proste.pdf

(149 KB) Pobierz
Microsoft Word - zginanie.doc
ZGINANIE PRĘTÓW PROSTYCH
1
1. SFORMUŁOWANIE ZAGADNIENIA TZW."CZYSTEGO ZGINANIA"
ZADANIE : wyznaczyć tensor napręż. T σ , tensor odkszt. T ε i wektor przemieszczenia u .
z
τ
xz
σ
x
τ
y
xy
r
O
z
II
q = - k z
r '
x
q
I
x
pręt pryzmatyczny, utwierdzony "punktowo” w pkt. A (0,0,0)
x - oś podłużna pręta, y, z - osie główne, centralne przekroju poprzecznego
obciążenie zewnętrzne: denko ( )
q - ,0,0
kz
k const
=
pobocznica ( )
q0,0,0
siły masowe
P 0,0,0
( )
2. ROZWIĄZANIE
2.1. Podejście statyczne do zagadnienia brzegowego
"wymyślić" T σ
wyznaczyć odkształcenia
e i j = e i j
(
s i j
)
wyznaczyć przemieszczenia
e i j =
1
2
sprawdzić stat. war. brzeg.
(
u + j, u)
i, j
sprawdzić równ. Naviera
sprawdzić równ. nierozdz. odkszt.
+ kinematyczne war. brzegowe
1
2
3
2.2. Komplet równań TS
σ ij j
, = 0
(1)
ε ij
=
1
2
( )
uu
i j
+
,
(2)
ε
ij
= +
1
[
( )
1
ν σ ν σ δ
ij
−
kk ij
]
(3)
E
+ statyczne warunki brzegowe
q
ν
i
=
σ α
i j
ν
j
−=×
=×
=×
kz x
yx
σ
τ
τ
1
denko x = L , ( )
ν 10 0
,,
0
1
(4a)
0
1
zx
,
j i
21817034.012.png 21817034.013.png 21817034.014.png 21817034.015.png 21817034.001.png 21817034.002.png
ZGINANIE PRĘTÓW PROSTYCH
2
0
0
0
=
τα τα
σα τ α
τα σα
xy
ν
y
+
xz
ν
z
pobocznica (
)
να α
0
,
ν
y
≠
0
,
ν
z
≠
0
=
y
ν
y
+
yz
ν
z
(4b)
=
+
zy
ν
y
z
ν
z
+ kinematyczne war. brzegowe w pkt. utwierdzenia A (0, 0,0)
∂
∂
∂
∂
v
x
u
y
=
0
∂
∂
∂
∂
v
z
w
y
=
0
∂
∂
∂
∂
u
z
z
x
=
0
u = v = w = 0
(5)
=
0
=
0
=
0
- macierz naprężenia
S W SZ
MW MZ
( ) ( )
( ) ( )
=
=
−
00
000
000
II
I
⇒
T σ
=
(6)
II
I
przykład - poszukiwanie I wiersza tensora naprężenia
MW MZ
( ) ( )
II
=
I
⇒
∫∫ ∫∫
rpdA r qdA
× = ×
'
A
A
r
( ) ( )
0, ,
yz
r Lxyz
'
−
, ,
p
(
στ τ
xyz
, ,
) ( )
q k z
− 00
, ,
∫∫ ∫∫
σ
x
dA
=−
kz dA
∫∫
(
y
τ τ
xz
−
z
xy
) ( )
dA
=
∫∫
y z dA
00
−
A
A
A
A
∫∫ ∫∫
τ
xy
dA
=
0
dA
∫∫ ∫∫
zdA kzdA
σ
x
=−
2
A
A
A
A
∫∫ ∫∫
τ
xz
dA
=
0
dA
∫∫
−
ydA ydA
σ
x
=
∫∫
A
A
A
A
Macierz naprężenia (6) spełnia równania równowagi (1) i statyczne war. brzegowe (4)
- macierz odkształceń (r.Hooke'a)
−
E z
00
k
T ε
=
0
ν
E z
0
(7)
k
00
ν
E z
Macierz (7) spełnia równania nierozdzielności odkształceń, gdyż
ε
ij k
,
=
const
⇒
ε
ij kl
,
≡ 0
funkcje przemieszczeń (rów. Cauchy'ego)
∂
∂
∂
∂
u
x
=−
E z
k
∂
∂
u
y
+=
∂
∂
v
x
0
v
y
=
ν
E z
k
∂
∂
v
z
+=
∂
∂
w
y
0
(8)
∂
∂
w
z
=
ν
E z
∂
∂
u
z
+=
∂
∂
w
x
0
kz
k
k
21817034.003.png 21817034.004.png 21817034.005.png
ZGINANIE PRĘTÓW PROSTYCH
3
"CORN" = "CORJ" + "CSRN" ⇒
uu u
s
=+
o
i
i
i
- całka ogólna
uyz abycz
o
( )
, =+ +
vxz dbxf z
o
( )
, =− +
wxy gcxf y
0
( )
, =− −
- całka szczególna równania niejednorodnego
u
s =−
E zx
v
s =ν
E yz
w
s =
ν
k
E z
2
−
ν
k
E y
2
+
k
E x
2
2
2
2
- funkcje przemieszczeń
uxyz
( )
,, =− + + +
E xz a b y c z
vxyz
( )
,, =
ν
E yz d bx f z
+ − +
(9)
( ) (
k
E
ν ν
z
2
− + + − −
y
2
x
2
)
g c x f y
2
Stałe całkowania a, b, c, d, f, g należy wyznaczyć z kinemat. war. brzegowych (5).
a = b = c = d = f = g = 0
u
=−
E xz
v
=ν
E yz
(10)
w
=
k
E
(
x
2
− +
ν ν
y
2
z
2
)
2
WNIOSEK : Macierz naprężenia (6) macierz odkształcenia (7) i wektor przemieszczenia (10)
spełniają ściśle komplet równań teorii sprężystości wraz ze statycznymi i kinematycznymi war.
brzegowymi. Są więc ścisłym rozwiązaniem zagadnienia czystego rozciągania dla pręta
stanowiącego przedmiot analizy.
3. ANALIZA ROZWIĄZANIA
1. Stan naprężenia opisany przez macierz (6) to jednoosiowy (tylko jeden element macierzy
naprężenia jest niezerowy) stan naprężenia. Naprężenie normalne zależy jedynie od
zmiennej "z".
2. Diagonalna postać macierzy naprężenia świadczy o tym, że jedyne niezerowe naprężenie σ
x jest maksymalnym naprężeniem normalnym spośród wszystkich możliwych
odpowiadających dowolnym płaszczyznom przekroju pręta.
3. Stan odkształcenia opisany przez macierz (7) to trójosiowy (niezerowe składowe w 3
wzajemnie prostopadłych kierunkach) stan odkształcenia.
4. Diagonalna postać macierzy odkształcenia świadczy, że czystemu zginaniu towarzyszą
jedynie odkształcenia liniowe.
k
k
k
k
wxyz
,, =
k
k
21817034.006.png 21817034.007.png
ZGINANIE PRĘTÓW PROSTYCH
4
5. Analiza deformacji pręta.
5.1. Przemieszczenia punktów należących do osi pręta, tzn. P (x, 0, 0)
u
=
0
v
=
0
w
= 2
k
E x
2
β
z
γ
B'
α
B
A'
x
C'
A
k
E
C
x o
w = 2
x
2
Krzywizna ugiętej osi pręta
κ
( )
x
≡ =
1
wx
′′
( )
( )
32
( )
ρ
x
[ ]
1
+ ′
wx
2
1
ρ x
( )
= ′′ =
wx
( )
k
E
−
E z
00
−
z
00
ρ
ρ
z
T σ
=
000
000
T ε
=
0
ν ρ
0
z
00
ν ρ
Twierdzenie o przekroju płaskim i prostopadłym do osi pręta : przekrój poprzeczny pręta
(przekrój płaski i prostopadły do osi pręta przed odkształceniem) pozostaje w wyniku
deformacji nadal płaski i prostopadły do ugiętej osi pręta.
Dowód:
1. "Płaskość" przekroju
dla dowolnego przekroju x=x 0
u
=−
E xz
o
przemieszczenia "u" wszystkich punktów ustalonego przekroju zależą liniowo od
zmiennej "z"; punkty te muszą zatem leżeć w jednej płaszczyźnie
2. "Prostopadłość" przekroju
γ
=−+
= ′ =
90
α β
k
E
k
E
tg
α
w
x
0
⇒ ≅
α
x
0
⇒=
γ
90
0
∂
∂
u
z
k
E
k
E
k
E
tg
β
==−
x
0
⇒ ≅− =
β
x
0
x
0
k
21817034.008.png 21817034.009.png 21817034.010.png
ZGINANIE PRĘTÓW PROSTYCH
5
Przemieszczenia punktów przekroju poprzecznego (na przykładzie przekroju
prostokątnego o wymiarach początkowych b x h)
CB AD
, :
y
=±
b
v
=±
ν
k
E
b z
;
w k
E
=
x
2
− +
ν ν
b
2
z
2
o
2
2
2
4
CD AB
, :
z
=±
h
;
v
=±
ν
k
E
h y
;
w k
E
=
x
2
+ −
ν ν
h
2
y
2
o
2
2
2
4
Przemieszczenia punktów krawędzi y = ± b/2
z
D'
z
C'
D'
z
C'
D'
D
C
C'
D
C
D
C
E'
F'
E'
F'
E=E'
h
y
E
y
y
F=F'
F
E
F
A' B'
A'
B'
A' B'
A
B
A
B
A
B
b
przemieszczenie " v "
przemieszczenie " w "
całkowite przemieszczenie
Przemieszczenia punktów krawędzi z = ± h/2
z
z
z
D'
C'
D'
G'
C'
D
C
G'
D'
C'
D
C
D
C
G
G
G=G'
h
y
y
y
H'
H'
A'
B'
A'
B'
A'
H=H'
B'
H
H
A
B
A
B
A
B
b
przemieszczenie " v "
przemieszczenie " w "
całkowite przemieszczenie
D'
z
C'
D
C
y
A'
B'
A
B
21817034.011.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin