Własności funkcji jednej zmiennej.doc

Matematyka wykład doc. Andrzej Drozdowicz 10.11.2009r.

Wykład Matematyka doc. Andrzej Drozdowicz

Własności funkcji jednej zmiennej

1)     Parzystość i nieparzystość

2)     Określoność

3)     Monotoniczność

4)     Ograniczoność

5)     Różnowartościowość y=f(x) jest różnowartościowa w zbiorze X jeżeli dla każdego x1 x2 zawierającego się w X f(x1)≠f(x2)

·         Np.

6)     Funkcja złożona jeżeli funkcja f odwzorowuje zbiór X w Y a funkcja g odwzorowuje zbiór Y w Z to funkcja h(x)=g(f(x)) odwzorowuje zbiór X w Z. Funkcję taką nazywamy złożoną przy czym f jest funkcją wewnętrzną a g funkcją zewnętrzną

·         Np.

7)     Funkcja odwrotna jest to przyporządkowanie określające na elementach zbioru wartości funkcji różnowartościowej f pewną nową funkcję, dla której zbiór wartości jest zbiorem X nazywamy funkcję odwrotną i oznaczamy f-1. Funkcje f i f-1 stanowią parę funkcji wzajemnie odwrotnych

y=2x+4

2x=y-4

x=0,5y-2 funkcja odwrotna do wyjściowej

y=0,5x-2

Wykres funkcji odwrotnej do wykresu danej funkcji jest symetryczny względem prostej y=x

Ø      Funkcja logarytmiczna i wykładnicza stanowią parę funkcji odwrotnych

Logarytm przy podstawi a z liczby dodatniej b nazywamy potęgę, do której należy podnieść podstawę a aby otrzymać wyrażenie logarytmowane

              WAŻNE !!!

Ø      Funkcje cyklometryczne są to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych

Rozważmy funkcję

Tabela wartości podstawowych dla tej funkcji to:

Sin i arc sin to funkcje wzajemnie odwrotne

Rozważmy

Tabela wartości podstawowych funkcji podobnie jak dla y=sinx

Rozważmy

Rozważmy

Przestrzeń metryczna

Zbiór X nazywamy przestrzenią metryczną, jeśli każdej parze jego elementów (punktów) P(p1,p2,…,pn) i Q(q1,q2,…,qn) przyporządkowana jest jednoznacznie liczba rzeczywista nieujemna d(P,Q) spełniająca warunki:

1)    

2)    

3)     jest to nierówność trójkąta

Wielkość d(P,Q) jest metryką przestrzeni metrycznej

Przykłady:

1)    

2)    

Niech będzie ciągiem przestrzeni p

Mówimy, że punkt p0 jest granicą ciągu pn lub, że ciąg pn jest zbieżny do p0 co zapisujemy

, jeżeli odległości d(pn,p0) stanowią ciąg zbieżny do 0

Jeżeli jest ciągiem punktów na osi liczbowej R to

xn=an              x0=g

Przykłady liczenia granic – zajęcia wyrównawcze

Pewne ciągi specjalne:

1)    

2)    

3)    

Jest to liczba niewymierna przestępna tzn. taka, że nie może być pierwiastkiem żadnego równania algebraicznego o wykładnikach wymiernych