Momenty bezwładności figur płaskich.pdf

(222 KB) Pobierz
Microsoft Word - 07 Momenty, hipoteza.doc
MOMENTY BEZWŁADNOŚCI
FIGUR PŁASKICH
Przekroje poprzeczne prętów, wałów i belek – figury płaskie,
charakteryzujące się następującymi parametrami:
– polem powierzchni przekroju
[mm 2 , cm 2 , m 2 ],
– położeniem środka ciężkości przekroju,
– momentami statycznymi
[cm 3 , m 3 ],
[cm 4 , m 4 ].
– momentami bezwładności
Definicja momentu statycznego w w
układzie osi X i Y:
S
x
ydA
,
S
y
xdA
A
A
W zależności od położenia przekro-
ju względem osi układu współrzęd-
nych mogą przyjmować wartości
dodatnie i ujemne .
Wykorzystując znane ze statyki pojęcie środka sił, dla środka
ciężkości można napisać:
S
x
y
c
A
S
y
x
c
A
Korzystając z tych zależności, współrzędne środka ciężkości
figury płaskiej można obliczyć ze wzoru:
x
S
y
,
y
S
x
.
c
c
A
A
Środek ciężkości przekrojów złożonych –podział przekroju na
figury proste.
n
n
A
x
A
y
i
i
i
i
x
c
i
1
,
y
c
1
,
n
n
A
A
i
i
i
1
i
1
A i – pola powierzchni figur prostych, x i , y i – współrzędne środ-
ków ciężkości poszczególnych figur prostych.
07 Momenty, hipoteza
98
Definicja momentu statycznego
i
5863782.049.png 5863782.055.png 5863782.056.png 5863782.057.png 5863782.001.png
P RZYKŁAD
Określić położenie środka ciężkości fi-
gury przedstawionej na rysunku.
Przekrój podzielono na trzy prostokąty
o następujących polach powierzchni:
A 1 = 1 1 = 1 cm 2 ,
A 2 = 2 5 = 10 cm 2 ,
A 3 = 2 2 = 4 cm 2 .
Współrzędne środka ciężkości całej figu-
ry wynoszą
x
A
1
x
1
A
2
x
2
A
3
x
3
1
1
10
3
4
5
3
43
cm
,
c
A
A
A
1
10
4
1
2
3
y
A
1
y
1
A
2
y
2
A
3
y
3
1
1
10
3
4
5
3
77
cm
.
c
A
A
A
1
10
4
1
2
3
Momenty bezwładności
Definicja momentów bezwładności:
– osiow e momenty bezwładnośc i
J
x
y
2
dA
,
J
y
x
2
dA
,
A
A
– biegunowy moment bezwładności
 
J
 
2
dA
x
2
y
2
dA
J
J
,
0
x
y
A
A
– moment dewiacyjny (zb oczenia, odśr odkowy)
J
xy
xydA
.
A
Momenty osiowe oraz moment biegunowy są
zawsze dodatnie, natomiast
moment dewiacyjny może być dodatni lub ujemny .
07 Momenty, hipoteza
99
5863782.002.png 5863782.003.png 5863782.004.png 5863782.005.png 5863782.006.png 5863782.007.png 5863782.008.png 5863782.009.png 5863782.010.png 5863782.011.png 5863782.012.png 5863782.013.png 5863782.014.png
 
Momenty bezwładności figur złożonych są sumą momentów
bezwładności prostych figur składowych. Figura złożona może
składać się z figur „pełnych” oraz „pustych”. Przy sumowaniu
momentów bezwładności figury „puste” uważa się za figury z
ujemnymi polami powierzchni.
P RZYKŁAD
Figury złożone przedstawione na rysunku podzielić na figury proste.
Podział
figury złożonej
na figury proste
(jeden z możliwych
do zastosowania
podziałów figury).
Twierdzenie Steinera
Twierdzenie Steinera umożli-
wia obliczanie momentów bez-
władności figur płaskich
względem osi równolegle
przesuniętych w stosunku do
osi centralnych (osi przecho-
dzących przez środek ciężko-
ści przekroju).
Dla figury płaskiej o powierzchni A, obliczyć momenty bez-
władności względem osi X–Y, równolegle przesuniętych w sto-
sunku do osi centralnych (środkowych) X 0 –Y 0 o odcinki a i b.
Na podstawie definicji momentu bezwładności moment osio-
wy względem osi X dla y 1 = y + a wyraża wzór:
 
 
y
dA
y
a
2
dA
y
2
dA
2
 
ydA
a
2
dA
J
Aa
2
.
x
1
x
0
A
A
A
A
A
07 Momenty, hipoteza
100
J
5863782.015.png 5863782.016.png 5863782.017.png 5863782.018.png 5863782.019.png 5863782.020.png 5863782.021.png 5863782.022.png 5863782.023.png 5863782.024.png 5863782.025.png 5863782.026.png 5863782.027.png 5863782.028.png 5863782.029.png 5863782.030.png 5863782.031.png 5863782.032.png 5863782.033.png 5863782.034.png 5863782.035.png 5863782.036.png 5863782.037.png 5863782.038.png 5863782.039.png 5863782.040.png
 
W powyższym równaniu całka A ydA opisuje moment statycz-
ny, który względem osi centralnych jest równy zeru. W podobny
sposób określa się moment względem osi Y oraz moment de-
wiacyjny
J
 
x
b
2
dA
J
Ab
2
,
y
x
0
A
J
xy
  
a
x
b
dA
J
x
0
y
0
Aab
.
A
Wyprowadzone wyżej zależności noszą nazwę twierdzenia
Steinera .
Osiowy moment bezwładności figury płaskiej względem osi
równoległej odległej od środka ciężkości o określoną wartość
jest równy momentowi względem osi równoległej przechodzą-
cej przez środek ciężkości figury, powiększonemu o iloczyn
powierzchni figury i kwadratu odległości między osiami.
Moment dewiacyjny figury płaskiej względem osi równolegle
przesuniętych jest równy momentowi dewiacyjnemu wzglę-
dem osi centralnych, powiększonemu o iloczyn powierzchni i
obu składowych równoległego przesunięcia.
Twierdzenie Steinera ma następująca p ostać matematyczną:
J
J
Aa
2
,
x
x
0
J
J
Ab
2
,
y
y
0
J
xy
J
x
0
y
0
Aab
.
07 Momenty, hipoteza
101
x
5863782.041.png
Momenty bezwładności figur prostych
Figura
J x
J y
J xy
bh
3
hb
3
J
0
J
J
x o
y
x o
y o
12
o
12
b
2
h
2
3
3
bh
hb
J
J
J
xy
4
x
y
3
3
bh
3
hb
3
b
2
h
2
J
J
J
x o
y
72
x o
x o
o
36
36
b
2
h
2
3
3
bh
hb
J
J
J
xy
24
x
x
12
12
J
D
4
J
D
4
x
y
64
64
J xy
0
R
4
R
4
4
4
D
4
8
J
x o
16
8
9
D
4
J
0
00686
D
4
y
128
J
0
xy
0
1098
R
4
R
4
J
0
x
o y
o
8
D
4
R
4
J
x
128
8
R
4
J
4
xy
8
4
J
R
x o
16
9
R
4
4
J
R
4
x
y
0
0549
R
J
o
0
8
x
16
4
4
D
4
R
4
J
x
256
16
9
0
0165
R
4
07 Momenty, hipoteza
102
5863782.042.png 5863782.043.png 5863782.044.png 5863782.045.png 5863782.046.png 5863782.047.png 5863782.048.png 5863782.050.png 5863782.051.png 5863782.052.png 5863782.053.png 5863782.054.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin