Temat09.pdf

9. DOWODZENIE III: REGUŁA → WPR, R

9.1. Cele i wprowadzenie

Umiejętność stosowania reguł pierwotnych →Wpr oraz R

Umiejętność przeprowadzania prostych dowodów z użyciem tych reguł

9.2. Intuicje

Wiele reguł w systemie SD korzysta z tzw. subderywacji („poddowodów”). Subderywacje intuicyjnie

odpowiadają dowodom pomocniczym, które wykonujemy niejako »na boku« po to, aby uzyskać

pewien wynik w głównym toku dowodzenia.

Rozważmy następujący przykład rozumowania.

(1) Jeżeli Kuba pojedzie do Zakopanego, to będzie się uganiał za Asią.

(2) Jeżeli Kuba będzie się uganiał za Asią, to ani nie przyswoi sobie reguły wprowadzania

implikacji, ani nie przygotuje się do testu z Biologicznych Mechanizmów Zachowania.

(3) Jeżeli Kuba nie przygotuje się do testu z Biologicznych Mechanizmów Zachowania, to

obleje egzamin z tego przedmiotu.

(4) Jeżeli Kuba obleje egzamin z Biologicznych Mechanizmów Zachowania, to Asia

przestanie się nim interesować.

Jeżeli więc Kuba pojedzie do Zakopanego, to Asia przestanie się nim interesować.

Chcąc dowieść, że wniosek istotnie wynika z przesłanek możemy rozumować tak:

Załóżmy, że Kuba pojedzie do Zakopanego.

Z (1) wynika, że Kuba będzie się uganiał za Asią.

Z (2) wynika dalej, że ani nie przyswoi sobie reguły wprowadzania implikacji, ani nie

przygotuje się do testu z Biologicznych Mechanizmów Zachowania.

Stąd z kolei wynika, że Kuba nie przygotuje się do testu z Biologicznych Mechanizmów

Zachowania.

A skoro tak, to na mocy (3), wiemy, że Kuba obleje też egzamin z Biologicznych

Mechanizmów Zachowania.

Stąd oraz z przesłanki (4) wynika, że Asia przestanie się nim interesować.

Zastanówmy się, czego dowiedliśmy. Czy dowiedliśmy, że Asia przestanie się interesować Kubą? Tak

może się nam wydawać, bo ostatni krok w naszym rozumowaniu tak właśnie brzmiał. Trzeba jednak

zwrócić uwagę na to, że nasze rozumowanie oparte było na pewnym założeniu dodatkowym, a

mianowicie na założeniu, że Kuba pojedzie do Zakopanego. Całość naszego rozumowania od tego

założenia zależała. Nie dowiedliśmy, że z przesłanek (1)-(4) wynika zdanie:

Asia przestanie się interesować Kubą.

a jedynie, że wynika z nich zdanie:

Jeżeli Kuba pojedzie do Zakopanego, to Asia przestanie się nim interesować.

Zdanie „Asia przestanie się interesować Kubą” jest wnioskiem w dowodzie pomocniczym, którego

dodatkowym założeniem jest zdanie „Kuba pojedzie do Zakopanego”. W systemie SD wprowadza się

9-1

Samouczek logiki zdań (wersja wstępna)

Wszelkie prawa zastrzeżone

Uwagi proszę kierować na adres:

Katarzyna.Paprzycka@swps.edu.pl

graficzną formę przedstawiania takich dowodów pomocniczych, czyli subderywacji, po to, aby ułatwić

nam zorientowanie się w tym, czego dowodzimy na podstawie jakich przesłanek. Stosując szatę

graficzną systemu SD, ale jeszcze nie zastępując zdań powyższego rozumowania stałymi zdaniowymi,

nasze rozumowanie przybiera następującą formę:

1. Jeżeli Kuba pojedzie do Zakopanego, to będzie się uganiał za Asią.

Zał.

2. Jeżeli Kuba będzie się uganiał za Asią, to ani nie przyswoi sobie reguły

wprowadzania implikacji, ani nie przygotuje się do testu z Biologicznych

Mechanizmów Zachowania.

Zał.

3. Jeżeli Kuba nie przygotuje się do testu z Biologicznych Mechanizmów Zachowania,

to obleje egzamin z tego przedmiotu.

Zał.

4. Jeżeli Kuba obleje egzamin z Biologicznych Mechanizmów Zachowania, to Asia

przestanie się nim interesować.

Zał.

5. Kuba pojedzie do Zakopanego

Zał.

6. Kuba będzie się uganiał za Asią

(1), (5)

7. Kuba ani nie przyswoi sobie reguły wprowadzania implikacji, ani nie

przygotuje się do testu z Biologicznych Mechanizmów Zachowania.

(6), (2)

8. Kuba nie przygotuje się do testu z Biologicznych Mechanizmów Zachowania.

(7)

9. Kuba obleje egzamin z Biologicznych Mechanizmów Zachowania

(8), (3)

10. Asia przestanie się interesować Kubą.

(9), (4)

11. Jeżeli Kuba pojedzie do Zakopanego, to Asia przestanie się nim interesować

(5)–(10)

Na subderywację składają się wiersze 5–10. Wszystkie zdania występujące w subderywacji są

oddzielone od głównej linii dowodowej i wpisywane przy linii dowodowej tej subderywacji. Całą

subderywacją „rządzi” założenie dodatkowe, tj. że Kuba pojedzie do Zakopanego. Wszystkie kroki w

subderywacji są oparte na tym właśnie założeniu. Przecież nie wiemy, że Kuba obleje egzamin z

Biologicznych Mechanizmów Zachowania na podstawie założeń (1)–(4); wiemy, że Kuba obleje

egzamin z Biologicznych Mechanizmów Zachowania, o ile pojedzie do Zakopanego. Subderywacje

służą temu, abyśmy rozumieli w kontekście jakich założeń, co z czego wynika.

Spróbuj przełożyć nasze rozumowanie na formę symboliczną:

1. Z → A Zał.

2. A → (~P ∧ ~R) Zał.

3. ~R → ~B

Zał.

Z: Kuba pojedzie do Z akopanego.

A: Kuba będzie się uganiał za A sią.

P: Kuba P rzyswoi sobie regułę wprowadzania implikacji.

R: Kuba p R zygotuje się do testu z Biol. Mech. Zach.

B: Kuba zda egzamin z B iol. Mech. Zach.

I: Asia będzie się I n teresować Kubą.

4. ~B → ~I

Zał.

10.

11 Z → ~I → Wpr 5–10

Reguła →Wpr jest oparta na powyższych intuicjach, zanim ją przedstawimy, wprowadzimy trochę

terminologii, która będzie pomocna w omawianiu reguł korzystających z subderywacji, oraz

wprowadzimy regułę R, która rządzi przepływem informacji w dowodach z subderywacjami.

Katarzyna Paprzycka, Samouczek logiki zdań (wersja wstępna): Temat 9. Dowodzenie III

9-2

9.3. Subderywacje

Derywacje mogą zawierać subderywacje. Każda subderywacja:

• ma swą własną linię derywacyjną

• ma dokładnie jedno założenie zwane założeniem dodatkowym (podkreślone linią

założeniową)

• może zawierać dowolną ilość kroków.

Oto przykład dowodu zawierającego subderywację (proszę się na razie nie starać zrozumieć dowodu,

lecz tylko przyjrzeć się oznaczeniom):

1. A → (B ∧ C)] Zał.

2. ~C Zał.

3. (A → B) → D Zał.

4. A Zał.

5. B ∧ C →Elim 1,4

6. B

założenie dodatkowe

linia

subder

wniosek subderywacji

subderyw

główna linia

dowodowa

∧Elim 5

subderywacja

(poddowód)

7. A → B

→Wpr 4-6

8. D

→Elim 3,7

linia

subderywacji

zdanie wyprowadzone przy pomocy

reguły, pozwalającej na zamknięcie

subderywacji

9.4. Reguła → Wpr (Reguła wprowadzania implikacji; dowód warunkowy)

Jeżeli w subderywacji dowodu macierzystego, której założeniem (dodatkowym) jest

p , można wyprowadzić r , to do dowodu macierzystego wolno dołączyć wiersz, gdzie

(swobodnie) występuje implikacja p → r .

i . p Zał. (→Wpr)

j . r

¾ p → r → Wpr i–j

Intuicje

Jeśli z założenia, że p , można wyprowadzić r , to prawdziwą jest implikacja p → r. Jedno ze sposobów

odczytania implikacji jest „ r przy założeniu, że p ”.

Konstruowanie subderywacji dla Reguły → Wpr

Reguła wprowadzania implikacji jest regułą konstrukcyjną. Zawsze, gdy chcemy wprowadzić

implikację musimy najpierw skonstruować subderywację, a reguła →Wpr ściśle determinuje , jakie ma

być założenie dodatkowe tej subderywacji (zawsze: poprzednik implikacji, którą chcemy uzyskać w

dowodzie macierzystym), oraz jaki ma być jej wniosek (zawsze: następnik implikacji, którą chcemy

uzyskać w dowodzie macierzystym).

Katarzyna Paprzycka, Samouczek logiki zdań (wersja wstępna): Temat 9. Dowodzenie III

9-3

Ćwiczenia na stosowanie reguły → Wpr

→ Wpr.I.a. W każdym z poniższych „szkieletów dowodowych” trzeba zastosować regułę

→ Wpr, aby wyprowadzić pewną implikację. Aby to zrobić trzeba skonstruować subderywację

(została już skonstruowana). Określ jaką implikację można wyprowadzić w wierszu 9. (W

ćwiczeniu tym nie chodzi o skonstruowanie całego dowodu; nie próbuj uzasadniać wniosku

subderywacji! Numeracja wierszy jest również tylko umowna.)

Zał.

3 B

Zał. (→Wpr)

3 ~B

Zał. (→Wpr)

8 A

9 B → A

→ Wpr 3–8

9 ~B → A

→ Wpr 3–8

Zał.

3 C

Zał. (→Wpr)

3 A ≡ C

Zał. (→Wpr)

8 ~B

8 B

9 C → ~B

→ Wpr 3–8

9 (A ≡ C) → B

→ Wpr 3–8

Zał.

3 C

Zał. (→Wpr)

3 C → A

Zał. (→Wpr)

8 B → A

9 C → (B → A) → Wpr 3–8

8 B

9 (C → A) → B → Wpr 3–8

Zał.

3 ~(A → B)

Zał. (→Wpr)

3 ~A

Zał. (→Wpr)

8 C

8 B → C

9 ~A → (B → C) → Wpr 3–8

9 ~(A → B) → C

→Wpr 3-8

Zał.

3 A ∨ ~A

Zał. (→Wpr)

3 B → C

Zał. (→Wpr)

8 B

8 C → D

9 (B → C) → (C → D) → Wpr 3–8

9 (A ∨ ~A) → B

→ Wpr 3–8

Katarzyna Paprzycka, Samouczek logiki zdań (wersja wstępna): Temat 9. Dowodzenie III

9-4

→ Wpr.I.b. W każdym z poniższych „szkieletów dowodowych” trzeba zastosować → Wpr, aby

wyprowadzić pewną implikację. Aby to zrobić trzeba skonstruować subderywację (została już

skonstruowana). Wpisz założenie dodatkowe subderywacji oraz wniosek, jaki trzeba będzie

wyprowadzić w tej subderywacji, aby można było zastosować regułę → Wpr w kroku 9. (W

ćwiczeniu tym nie chodzi o skonstruowanie całego dowodu, nie próbuj zatem uzasadniać

wniosku subderywacji! Numeracja wierszy jest tylko umowna.)

Zał.

3 A

Zał. (→Wpr)

3 ~A

Zał. (→Wpr)

8 B

9 A → B

→ Wpr 3–8

9 ~A → B

→ Wpr 3–8

Zał.

3 A

Zał. (→Wpr)

3 A ∨ C

Zał. (→Wpr)

8 ~B

8 B

9 A → ~B

→ Wpr 3–8

9 (A ∨ C) → B

→ Wpr 3–8

Zał.

3 A

Zał. (→Wpr)

3 A → B

Zał. (→Wpr)

8 B → C

9 A → (B → C) → Wpr 3–8

8 C

9 (A → B) → C → Wpr 3–8

Zał.

3 A ≡ ~B

Zał. (→Wpr)

3 ~(A → B)

Zał. (→Wpr)

8 ~B ≡ A

9 (A ≡ ~B) → (~B ≡ A) → Wpr 3–8

8 ~A → B

9 ~(A → B) → (~A → B) → Wpr 3–8

9.5. Przykłady prostych dowodów z zastosowaniem reguły → Wpr

Przykład 1.

Proszę dowieść, że A → C w oparciu o przesłankę A → (B ∧ C). Rozumowanie takie jest niewątpliwie

prawidłowe. Odpowiada mu wnioskowanie np. „Jeżeli Ania pójdzie na imprezę, to pozna Beatę i

swego przyszłego męża Czesia. Zatem, jeżeli Ania pójdzie na imprezę, to pozna swego przyszłego

męża Czesia.”

1. A → (B ∧ C)

Zał.

Dowieść: A → C

Katarzyna Paprzycka, Samouczek logiki zdań (wersja wstępna): Temat 9. Dowodzenie III

9-5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: