Zadania z Całek.pdf
(
121 KB
)
Pobierz
416081426 UNPDF
Temat:
CAŁKA NIEOZNACZONA
Ćwiczenie 1 :
Całkowanie w oparciu o własno
Ś
ci i wzory elementarne
∫
f
(
dx
=
{
:
F
¢
(
º
f
(
)}
,
∫ ∫
k
f
(
dx
=
k
f
(
dx
,
k
Î
R
∫
[
(
±
g
)]
dx
=
∫ ∫
f
(
dx
±
g
dx
;
n
+
1
2
3
x
x
x
2
dx
∫
x
n
dx
=
+
C
n
¹
-
1
∫ ∫
dx
=
x
+
C
xdx
=
+
C
∫
x
dx
=
+
C
∫
=
ln
x
+
C
n
+
1
2
3
x
2
∫
sin
xdx
=
-
cos
x
+
C
∫
cos
xdx
=
sin
x
+
C
∫
dx
=
tgx
+
C
∫
dx
=
-
ctgx
+
C
cos
2
x
sin
2
x
dx
dx
a
x
∫
=
arcsin
x
+
C
∫
=
arctgx
+
C
∫
a
x
dx
=
+
C
∫
e
x
dx
=
e
x
+
C
1
+
x
2
ln
a
1
-
x
2
1
-
cos
x
=
2
sin
2
x
,
1
+
cos
x
=
2
cos
2
x
,
sin
2
x
=
2
sin
x
cos
x
2
2
1.
∫
(
5
x
4
-
12
x
3
+
6
x
2
+
4
x
-
1
)
dx
13.
∫
(
6
x
5
+
20
x
4
-
16
x
3
+
9
x
2
-
10
x
)
dx
2.
∫
(
5
x
+
3
sin
x
-
4
x
)
dx
14.
∫
(
7
x
-
3
cos
x
+
5
x
)
dx
3.
3
4
-
2
x
3
+
5
x
2
-
7
x
+
8
15.
-
2
x
3
+
4
x
2
-
7
x
+
7
∫
∫
dx
dx
x
2
x
3
4.
∫
1
-
3
+
5
dx
16.
∫
6
-
4
+
1
dx
x
2
x
4
x
6
x
3
x
5
x
7
5.
∫
5
17.
∫
1
5
x
3
+
dx
7
x
5
+
dx
7
x
3
3
x
2
6.
∫
-
( )
dx
x
1
x
3
18.
∫
+
( )
dx
x
1
x
3
7.
19.
∫
2
-
x
∫
3
-
x
2
x
1
+
dx
e
x
2
-
dx
4
x
3
x
5
8.
∫
-
( )
1
x
3
dx
20.
∫
+
( )
1
x
3
dx
9.
∫
cos
2
x
dx
21.
∫
sin
2
x
dx
2
2
10.
x
x
2
22.
x
x
2
∫
cos
-
sin
dx
∫
cos
+
sin
dx
2
2
2
2
11.
∫
-
2
3
sin
2
x
23.
∫
+
7
4
cos
2
x
dx
dx
sin
2
x
cos
2
x
12.
∫
3
-
7
dx
24.
∫
-
6
+
9
dx
1
+
x
2
1
-
x
2
1
+
x
2
1
-
x
2
Temat:
CAŁKA NIEOZNACZONA
Ćwiczenie 2 :
Całkowanie przez podstawienie
∫ ∫
f
(
x
)
dx
=
f
[ ]
(
t
)
j
'
(
t
)
dt
,
x
=
j
(
t
)
dx
=
j
'
(
t
)
dt
1.
∫
sin(
3
-
8
x
)
dx
13.
∫
cos(
3
x
-
8
dx
2.
sin
x
14.
cos
x
∫
dx
∫
dx
x
x
3.
∫
e
x
3
x
2
dx
15.
∫
e
x
2
x
dx
4.
x
2
16.
x
2
∫
∫
dx
dx
4
x
+
9
3
-
7
5.
∫
sin
4
x
cos
x
dx
17.
∫
sin
3
x
cos
x
dx
6.
∫
cos
5
x
sin
x
dx
18.
∫
cos
6
x
sin
x
dx
7.
sin
4
x
19.
cos
5
x
∫
∫
dx
dx
cos
x
sin
x
8.
sin
2
5
x
20.
cos
2
5
x
∫
dx
∫
dx
cos
x
sin
x
9.
arctg
2
21.
arcsin
x
∫
+
∫
dx
dx
1
x
1
-
x
2
10.
ln
3
x
22.
ln
4
x
∫
dx
∫
dx
x
x
11.
x
23.
x
2
∫
dx
∫
dx
2
1
-
x
1
-
x
3
12.
2
2
24.
2
2
a
-
x
a
-
x
∫
∫
dx
,
x
=
a
sin
t
dx
,
x
=
a
cos
t
x
2
x
2
j
Temat:
CAŁKA NIEOZNACZONA
Ćwiczenie 3 :
Całkowanie przez cz
ĘŚ
ci
∫
u
(
x
)
v
(
x
)
dx
=
u
(
x
)
v
(
x
)
-
∫
u
'
(
x
)
v
(
x
)
dx
v’(x) = ...
(
v(x) =
∫
v’(x) = ...
@
-∫
u(x) = ...
u’(x) = ...
1.
∫
xe
x
dx
13.
∫
x
2
e
x
dx
2.
∫
x
sin
x
dx
14.
∫
x
2
sin
x
dx
3.
∫
x
cos
x
dx
15.
∫
x
2
cos
x
dx
4.
∫
ln
x
dx
16.
∫
x
ln
x
dx
5.
∫
x
2
ln
x
dx
17.
∫
x
3
ln
x
dx
6.
∫
sin
2
x
dx
18.
∫
cos
2
x
dx
7.
∫
(
x
+
7
)
e
x
dx
19.
∫
(
x
-
5
e
x
dx
8.
∫
(
x
2
-
2
x
+
3
sin
x
dx
20.
∫
(
x
2
-
2
x
+
3
cos
x
dx
9.
arccos
x
21.
arcsin
x
∫
∫
dx
dx
x
x
10.
∫
x
cos
2
x
dx
22.
∫
x
sin
2
x
dx
11.
∫
x
5
e
-
x
3
dx
23.
∫
x
3
e
x
2
dx
12.
∫
x
arctgx
dx
24.
∫
x
arcctgx
dx
'
Temat: CAŁKA NIEOZNACZONA
Ćwiczenie 4 :
Całkowanie funkcji zawieraj
Ą
cych trójmian kwadratowy
Typ całki :
Stosowane wzory :
1.
∫
dx
∫
dt
=
1
ar
ctg
t
+
C
lub
∫
dt
=
1
ln
t
-
a
+
C
Ax
2
+
Bx
+
C
t
2
+
a
2
a
a
t
2
-
a
2
2
a
t
+
a
2.
∫
(
Dx
+
E
)
dx
∫
t
dt
=
1
ln
( )
2
+
a
+
C
i jeden z powyŻszych
Ax
2
+
Bx
+
C
t
2
+
a
2
3.
∫
dx
∫
dt
=
arc
sin
t
+
C
lub
∫
dt
=
ln
(
t
+
t
2
+
a
)
+
C
Ax
2
+
Bx
+
C
2
2
a
2
a
-
t
t
+
a
4.
∫
Ax
2
+
Bx
+
C
dx
∫
t
a
2
t
a
2
-
t
2
=
a
2
-
t
2
+
arc
sin
+
C
lub
2
2
a
∫
t
2
+
a
=
t
t
2
+
a
+
a
ln
(
+
t
2
+
a
)
+
C
2
2
a
2
– 2ab + b
2
= ( a – b )
2
, a
2
+ 2ab + b
2
= ( a + b )
2
,
∫
f
'
(
x
)
dx
=
ln
f
(
x
)
+
C
f
(
x
)
1.
∫
dx
13.
∫
dx
x
2
+
4
x
+
8
x
2
-
4
x
+
4
2.
∫
dx
14.
∫
dx
x
2
+
3
+
6
-
x
2
-
x
-
1
3.
∫
dx
15.
∫
dx
4
x
2
+
5
x
+
1
-
2
x
2
-
3
+
1
4.
∫
2
x
-
1
dx
16.
∫
2
2
x
+
1
dx
x
2
+
3
+
6
-
x
+
2
x
+
1
5.
∫
2
x
+
6
dx
17.
∫
2
x
-
8
dx
x
2
+
4
x
+
6
x
2
+
3
x
+
7
6.
∫
6
2
x
+
6
dx
18.
∫
-
6
2
x
+
7
dx
3
+
5
x
+
6
-
3
x
-
4
x
-
2
7.
∫
dx
19.
∫
dx
x
2
+
2
x
+
5
x
2
+
2
x
+
1
8.
∫
dx
20.
∫
dx
x
2
-
3
+
8
-
x
2
-
6
x
+
9
9.
∫
dx
21.
∫
dx
2
4
x
2
-
12
x
+
8
-
4
x
-
3
+
5
10.
∫
x
2
-
3
+
8
dx
22.
∫
x
2
-
2
x
+
6
dx
11.
23.
∫
8
-
2
x
+
x
2
dx
∫
1
-
x
-
x
2
dx
12.
24.
∫
4
-
x
+
3
x
2
dx
∫
8
-
x
+
6
x
2
dx
t
t
Temat:
CAŁKA NIEOZNACZONA
Ćwiczenie 5 :
Całkowanie funkcji wymiernych
Typ całki :
Metoda rozkładu funkcji wymiernej na sumĘ ułamków prostych:
∫
P
(
x
)
m, to dzielimy wielomian P
n
(x) przez Q
m
(x) otrzymujĄc wielomian S(x) oraz
resztĘ z dzielenia R
k
(x). Wtedy P
n
(x)/Q
m
(x) = S(x) + R
k
(x)/Q
m
(x).
2)
Wielomian Q
m
(x) rozkładamy na czynniki
metodĄ grupowania wyrazów
lub z zastosowaniem twierdzeŃ o rozkładzie wielomianów.
³
n
dx
Q
(
x
)
m
ułamek prosty
I-go typu:
3)
Rozkładamy funkcjĘ wymiernĄ na sumĘ ułamków prostych, np.:
P
n
(
x
)
=
P
n
(
x
)
º
A
1
+
A
2
+
...
+
A
a
+
A
Q
(
x
)
a
2
b
x
-
a
2
a
m
(
x
-
a
)
×
...
×
(
x
+
px
+
q
)
(
x
-
a
)
(
x
-
a
)
a
(
x
-
a
)
B
x
+
C
B
x
+
C
B
b
x
+
C
b
1
1
2
2
+
+
+
...
+
,
2
2
2
2
b
x
+
px
+
q
(
x
+
px
+
q
)
(
x
+
px
+
q
)
ułamek prosty
II-go typu:
a
p
q
A
i
,
B
j
C
j
Î
R
i
=
1
2
,...,
a
;
j
=
1
2
,...,
b
;
a
+
b
=
m
a
,
b
Î
N
D
º
p
2
-
4
pq
<
0
Bx
+
C
4)
Doprowadzamy do równoŚci wielomianu P
n
(x) o znanych współczynnikach
z otrzymanym po uporzĄdkowaniu wielomianem o nieznanych współczynnikach,
a nastĘpnie stosujemy twierdzenie o równoŚci wielomianów.
(
x
2
+
px
+
q
)
b
D
º
p
2
-
4
pq
<
0
5 )
Uzyskujemy układ równaŃ liniowych o niewiadomych A
i
, B
j
, C
j
dla i=1,2,...
a
oraz j=1,2.,...,
b
; który rozwiĄzujemy metodĄ przeciwnych współczynników.
6)
Wykonujemy całkowanie otrzymanych funkcji w postaci ułamków prostych.
1.
∫
x
5
-
x
+
2
12.
∫
x
3
-
2
x
+
1
dx
dx
x
3
+
x
x
2
-
1
2.
∫
dx
3
13.
∫
dx
3
x
+
1
x
-
1
3.
∫
2
3
x
+
1
14.
x
2
+
4
x
dx
∫
dx
x
+
1
x
3
-
1
4.
∫
x
2
+
6
x
-
11
15.
∫
x
2
-
8
x
-
2
dx
dx
x
3
-
7
x
+
6
x
3
-
3
+
2
5.
∫
5
x
-
6
dx
16.
∫
7
x
-
3
dx
x
3
+
x
2
+
x
+
1
x
3
-
x
2
-
x
+
1
6.
∫
2
x
3
-
3
2
-
5
x
+
10
17.
∫
x
3
+
2
x
2
-
5
x
+
2
dx
dx
x
4
-
5
x
2
+
4
x
4
-
10
x
2
+
9
7.
∫
x
3
+
9
x
2
-
14
x
-
36
18.
∫
x
3
-
14
x
2
-
x
+
44
dx
dx
x
4
-
13
x
2
+
36
x
4
-
17
x
2
+
16
8.
∫
x
2
+
x
-
9
19.
∫
x
2
+
6
x
-
5
dx
dx
x
3
-
6
x
2
+
12
x
-
8
x
3
-
3
2
+
3
x
-
1
9.
∫
x
2
-
8
dx
20.
x
2
-
4
x
-
3
∫
dx
3
x
-
x
+
2
x
+
4
x
3
-
x
2
-
x
-
2
10.
∫
dx
21.
∫
dx
2
x
3
+
9
x
2
+
27
x
+
27
x
3
+
x
+
x
-
3
11.
x
2
+
2
x
+
6
22.
3
2
-
5
x
-
7
∫
dx
∫
dx
x
3
+
9
x
2
+
27
x
+
27
x
3
+
x
2
+
x
-
3
1)
JeŻeli n
Plik z chomika:
Toshislawa
Inne pliki z tego folderu:
Wyznaczniki.pdf
(31 KB)
Macierze.pdf
(30 KB)
Liczby Zespolone.pdf
(33 KB)
Zadania z Pochodnych+Zast II 1str.doc
(107 KB)
Zadania z Pochodnych.doc
(103 KB)
Inne foldery tego chomika:
C++
Fizyka
Mechanika
Różne
Visual Basic 6.0
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin