RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

I. Równania różniczkowe rzędu I

1.Wiadomości ogólne.

2. Rozdzielanie zmiennych

3. Zagadnienia  początkowe  Cauchy’ego  dla  równania  różniczkowego

   rzędu I.

4. Równania różniczkowe jednorodne postaci  y' = f ( )                                                                                                    

5. Równanie różniczkowe liniowe.

6. Równanie różniczkowe Bernoulliego

II. Równania różniczkowe zwyczajne wyższych rzędów.

1.Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego.

2.Równania liniowe rzędu II.

3.Transformaty Laplace’a.

-Zestawienie ważniejszych własności przekształceń Laplace’a.

-Tablice transformacji Laplace’a.

-Sposoby obliczania transformat odwrotnych Laplace’a.

-Przykłady zastosowań przekształceń Laplace’a.

I. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RZĘDU I

1.     Wiadomości ogólne.

Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci

                                                                 F(x,y,y') = 0                                                                                            (1)

W danym równaniu y' występuje istotnie, pozostałe zaś argumenty, tzn. x, y, mogą występować lecz nie muszą. Rozwiązaniem (całką) równania różniczkowego nazywamy każdą funkcję różniczkowalną

y = φ (x),

która spełnia dane równanie dla każdej wartości x z pewnego przedziału, całkę taką nazywamy szczególną. Linią (krzywą) całkową równania różniczkowego (1) nazywamy wykres każdej funkcji , która jest rozwiązaniem (całką) tego równania.

Najczęściej takie równanie występuje w postaci pochodnej

      y' = f(x, y)                                                                                 (2)

Rozwiązaniem ogólnym (całką ogólną) równania różniczkowanego (2) nazywamy każdą

taką funkcję postaci

                                                                       y = ψ (x; C)                                                                                  (3)

która spełnia równanie (2), przy czym stała C wynika z  całkowania tego równania.

Przykład:

Dla równania różniczkowego

y' = 2y

rozwiązaniem (całką) ogólnym jest

y = Ce2x,

gdzie C jest dowolna liczbą rzeczywistą. Nadając parametrami C np. wartości (-3, 0, 1, 5),

otrzymujemy rozwiązania (całki) szczególnie

y = -3e 2x   ,   y = 0   ,   y = e 2x   ,   y = 5e 2x.

W wielu zagadnieniach (szczególnie fizycznych i technicznych) często występuje potrzeba wyznaczenia rozwiązania szczególnego, spełniającego tzw. Warunki początkowe. Polegają one na wyznaczeniu spośród linii całkowych danego równania różniczkowego takiej linii, która przechodzi przez z góry dany punkt (x0, y0,). Zagadnienie sprowadza się do wyznaczenia wartości C0 parametru C z równania

y = ψ (x0 ; C0)

Po podstawieniu otrzymanej wartości C0 do rozwiązania ogólnego (3) otrzymamy równanie szczególne

y = ψ (x ; C0) = φ(x)

2.  Rozdzielanie zmiennych

    Równaniem różniczkowym o rozdzielnych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe 

    zwyczajne rzędu pierwszego postaci;

d y

*p (y)   ― = q (x)

d x

Zachodzi  następujące ogólne twierdzenie:

I. Jeżeli p(y) jest funkcja ciągłą w otoczeniu punktu y = y0, przy czym p (y0) ≠ 0, a q(x0) jest funkcją ciągłą w otoczeniu punktu x =x0, to istnieje na płaszczyźnie 0XY takie otoczenie punktu (x0, y0) , że przez każdy punkt (x1, y1), tego otoczenia, w szczególności także przez punkty  (x0, y0) przechodzi dokładnie jedna linia całkowa równania różniczkowalnego(*) określona równaniem y = f(x) przy czym funkcja f(x) ma ciągłą pochodną.

Funkcja ta dana jest wtedy jednoznacznie w formie uwikłanej równaniem  

                                                               x                           x

∫  p(η) dη = ∫ q(E) dE

                                                                                   X1                    x1

Uwaga

W całkach oznaczonych zmiennie (η, E) można zastąpić jakimikolwiek literami, wystrzegamy się tylko oznaczeń y i x, jako figurujących w granicach całkowania.

II. Jeżeli p(y) jest funkcją ciągłą i różną od zera w przedziale c < y < d, a q(x) jest funkcją ciągłą w przedziale a < x < b, to przez każdy punkt prostokąta określonego tymi nierównościami przechodzi dokładnie jedna linia całkowa równania różniczkowego (*) postaci

y = f(x).

Równania

          d y                                                d x

p (y)  ― = q (x)     oraz   p (y) = q (x) ―

         d x                             d y

są równoważne w otoczeniu punktu (x0, y0) jeżeli:

1.   funkcja p(y) jest ciągła w otoczeniu punktu y = y0

2.      funkcja q(x) jest ciągła w otoczeniu punktu x = x0

3.      p(y0) ≠ 0  oraz q(x0) ≠ 0

Wtedy:         ∫ p  (  y )   dy =  ∫ q   ( x )  dx

                   P  (  y )  = Q   ( x )  + C    Całka  ogólna  równania  o  zmiennych  rozdzielonych

3. Zagadnienia  początkowe  Cauchy’ego  dla  równania  różniczkowego

rzędu 1.

        Zagadnienia  Cavchyego  dla  równania  różniczkowego :

                                           y'=f( x,y)

  polega na  wyborze z pośród  rozwiązań  ogólnych

                                           y = Φ(x,c)

która  spełnia  warunek      y = ( x0 ) = y0

            W  interpretacji   geometrycznej  zagadnienie  Cavchyego  polega  na

Wyborze z pośród  krzywych  całkowych  (wykresów ) o równaniu :

                                             y  =  Φ ( x1, c )

        takiej  krzywej  , która  przechodzi  przez  z góry  obrany  punkt  Po( x0 , y0)

                                                                             Y

                                                                                                    Po

                                                                                                                                             X

4. Równania różniczkowe jednorodne postaci  y' = f ( )                                                                                                      

Przykład 1

Przykład 2

równanie jednorodne:

        równanie o zmiennych rozdzielonych

20

Przykład 3

...