Wprowadzenie do MATLABA − Laboratorium.pdf

Akademia Morska w Gdyni

Katedra Automatyki Okrętowej

Teoria sterowania

Wprowadzenie do M ATLABA

Laboratorium

Mirosław Tomera

M ATLAB ( Mat rix Lab oratory) jest interaktywnym oprogramowaniem wysokiego poziomu wydajnie

wspierającym pracę przy projektowaniu i analizie układów sterowania. Podstawową jednostką

obliczeniową jest macierz. Wektory i skalary mogą być tutaj rozpatrywane jako specjalne typy

macierzy. Typowe wyrażenie macierzowe zawarte jest w nawiasach prostokątnych

1. PODSTAWOWE OPERACJE NA MACIERZACH

1.1. WPROWADZENIE DANYCH DO MACIERZY

Przy wprowadzaniu danych w oknie komend M ATLABA , linia rozpoczyna się znakiem >> który

informuje o tym, że w tym miejscu zaczyna się wprowadzana linia z danymi, komendami lub

funkcjami.

W przypadku wpisywania danych do macierzy najpierw podawana jest jej nazwa ( A ), a

następnie znak równości (=). Cała wpisywana macierz zawiera się w nawiasie klamrowym([...]).

Wprowadzana macierz może składać się z kilku wierszy i kolumn. Macierze mogą być wprowadzane

w jednej lub w wielu liniach. Wiersze mogą być oddzielone od siebie średnikiem (;) lub naciśnięciem

klawisza Enter. Wciskanie klawisza Enter spowoduje, że wprowadzanie macierzy będzie odbywać się

w wielu liniach. Taka praktyka jest najbardziej użyteczna przy wprowadzaniu bardzo dużych

macierzy. Elementy w wierszu mogą być oddzielone od siebie znakiem spacji lub przecinkiem.

Przy wprowadzaniu macierzy nie trzeba wcześniej deklarować ich rozmiaru; pamięć dla nich

przydzielana jest automatycznie. W przypadku wpisywania nowych wartości do tej samej macierzy

jest ona automatycznie redefiniowana, dostrojony zostanie jej rozmiar. Elementy macierzy mogą

zawierać podstawowe funkcje matematyczne, funkcje trygonometryczne, jak również liczby

zespolone.

Poniższy przykład ilustruje sposób w jakim dane wprowadzane są w oknie komend M ATLABA

do macierzy.

Przykład 1

Przypuśćmy, że należy zapisać w M ATLABIE następującą macierz A

( )

sin

cos

(1.1)

arc

sin

( )

arc

( )

Wprowadzanie macierzy A odbędzie się w oknie komend M ATLABA .

Ostatnia aktualizacja: 2007-02-21

M. Tomera

[ ] ⋅ . Elementy w

kolumnach odseparowane są od siebie spacjami lub przecinkami, wiersze natomiast średnikami lub

wciśnięciem klawisza Enter.

cos

Teoria sterowania

Wprowadzenie do M ATLABA - Laboratorium

W pierwszej linii wpisane zostały dwa pierwsze wierze macierzy A , pierwszy wiersz został

zakończony średnikiem natomiast jego elementy zostały oddzielone od siebie przecinkami,

drugi wiersz macierzy zakończony został wciśnięciem przycisku Enter, a jego elementy

oddzielone zostały od siebie spacjami. W trzecim wierszu macierzy A poszczególne elementy

zostały rozdzielone zarówno przecinkiem jak i spacją.

>> A=[3,-4*j,sqrt(2); log(-1) sin(pi/4) cos(pi/3)

asin(0.5),acos(0.8) exp(0.8)]

Po nawiasie kończącym wpisywanie macierzy ( ] ) nie został wpisany średnik co stanowi

informacje dla M ATLABA , że należy wypisać na ekran całą zawartość wpisywanej macierzy A .

3.0000 0 - 4.0000i 1.4142

0 + 3.1416i 0.7071

0.5000

0.5236

0.6435

2.2255

Podsumowując należy stwierdzić, że do oddzielania od siebie poszczególnych elementów (kolumn) w

macierzy można zastosować zarówno przecinki jaki i spacje, a wiersze można zakończyć średnikiem

lub wciśnięciem przycisku Enter. Inny przykład

1.2. OPERACJE MATEMATYCZNE NA MACIERZACH

Ważnymi podstawowymi operacjami na macierzach są dodawanie, odejmowanie, mnożenie,

transpozycja, potęgowanie i tak zwane operacje na macierzach, które dotyczą manipulacji na

elementach macierzy. Operacje matematyczne mające zastosowanie do macierzy, zebrane zostały

w tabeli 1.

Tabela 1. Operacje matematyczne

+ Dodawanie

Odejmowanie

*M żenie

^ tęgowanie

Operacje na macierzach wymagają aby ich rozmiary były kompatybilne.

1.2.1. Dodawanie i odejmowanie macierzy

Operacje dodawania i odejmowania wymagają aby macierze były tych samych rozmiarów. Jeśli Jeśli

macierz A ma rozmiar

, a macierz B rozmiar

to działanie A

B to zostanie wykonane w

M ATLABIE tylko wówczas gdy n = p oraz m = r .

1.2.2. Mnożenie macierzy

Mnożenie tych macierzy A * B będzie możliwe jeśli m = p . Mnożenie macierzy przez wektor jest

specjalnym przypadkiem mnożenia macierzy. Przypuśćmy, że b jest wektorem o długości p .

Mnożenie macierzy A o rozmiarze

n .

Przykład 2

Przykład ten ilustruje podstawowe trzy operacje matematyczne wykonywane na macierzach:

Ostatnia aktualizacja: 2007-02-21

M. Tomera

Dzielenie

przez wektor b będzie możliwe tylko wówczas jeśli m = p .

W wyniku tego mnożenia y = A * b uzyskany zostanie wektor o rozmiarze 1

Teoria sterowania

Wprowadzenie do M ATLABA - Laboratorium

dodawanie, odejmowanie i mnożenie. Najpierw należy wprowadzić macierze na których

następnie wykonywane będą te operacje.

>> A=[1 3; 5 9]; B=[4 -7; 10 0];

Dodawanie wprowadzonych macierzy

>> A+B

ans =

5 -4

15 9

Odejmowanie

>> A-B

ans =

-3 10

-5 9

Mnożenie

>> A*B

ans =

34 -7

110 -35

1.2.3. Transpozycja macierzy

Transpozycja macierzy realizowana jest przez użyciu apostrofu ( ' ). W celu utworzenia skalara z

dwóch wektorów, należy najpierw dokonać operacji transpozycji macierzy, a następnie mnożenia.

Przypuśćmy, że x oraz y są wektorami o rozmiarach 1

n uzyska się macierz

o rozmiarach

rzędu 1.

Przykład 3

Przykład ilustrujący operacje związane z transponowaniem macierzy. Najpierw wprowadzenie

macierzy na których wykonane zostaną operacje transponowania

>> A=[1 2; 4 5]; x=[5;pi;sin(pi/2)]; y=[exp(-0.5);-13;pi^2];

Transpozycja macierzy

>> A'

ans =

1 4

2 5

Utworzenie skalara z dwóch wektorów

>> C=x'*y

-27.9384

Ostatnia aktualizacja: 2007-02-21

M. Tomera

n , wówczas przez zastosowanie

operacji x' * y uzyska się skalar. Macierz zostanie uzyskana po wykonaniu mnożenia dwóch wektorów

poprzez następującą operację x * y' . Dla dwóch wektorów o rozmiarach 1

Teoria sterowania

Wprowadzenie do M ATLABA - Laboratorium

Utworzenie macierzy z dwóch wektorów

>> D=x*y'

3.0327 -65.0000 49.3480

1.9055 -40.8407 31.0063

0.6065 -13.0000 9.8696

Sprawdzenie rzędu utworzonej macierzy D

>> rank(D)

ans =

1.3. MATEMATYCZNE OPERATORY MACIERZOWE

Poza poznanymi już podstawowymi operacjami matematycznymi zebranymi w tabeli 1 są jeszcze

operacje mnożenia macierzowego, dzielenia i potęgowania, które wymagają dodania kropki jak to

zostało pokazane w tabeli 2.

Tabela 2. Matematyczne operatory macierzowe

.* Mnożenie

./ Dzielenie

.^ Potęgowanie

W przypadku gdy dane są dwie macierze o rozmiarach

(1)

Użycie operatora macierzowego mnożenia spowoduje utworzenie nowej macierzy, której elementy

będą następujące:

(2)

Poniższy przykład ilustruje różnice w stosowaniu wybranych operatorów matematycznych

i macierzowych.

Przykład 4

Przed wykonaniem operacji najpierw wprowadzone zostaną dane:

>> A=[1 2; 3 4]; B=[5 pi^2; 6 sin(pi/2)];

Wykonanie operacji mnożenia matematycznego (*) na tych macierzach

>> A*B

ans =

17.0000 11.8696

39.0000 33.6088

Ostatnia aktualizacja: 2007-02-21

M. Tomera

Teoria sterowania

Wprowadzenie do M ATLABA - Laboratorium

Wykonanie mnożenia przy użyciu operatora macierzowego mnożenia (.*) na tych macierzach

>> A.*B

ans =

5.0000 19.7392

18.0000 4.0000

W wyniku tych operacji uzyskane zostały dwa różne wyniki. Dla przykładu inna operacja

macierzowa, potęgowanie

>> A^2

ans =

7 10

15 22

>> A.^2

ans =

1 4

9 16

2. GENEROWANIE DANYCH I ZAPISYWANIE DO PLIKU

W M ATLABIE istnieje możliwość wygenerowania wektora wierszowego zawierającego pewną liczbę

elementów począwszy od pewnej zadanej wartości początkowej x p , do wartości końcowej x k

z zadanym krokiem zwiększania, dx

x = [ x p : dx : x k ]. (3)

Takie wektory są szczególnie przydatne przy tworzeniu różnego rodzaju wykresów. Wygenerowane

dane mogą być zapisywane do pliku przy użyciu polecenia save . Informacje o tym jak uzywać tej

komendy można uzyskać po wpisaniu w oknie komend M ATLABA polecenia

>> help save

Przykład 5

dla x = 0, 0.1, 0.2,....10.0 i uzyskane wyniki

zapisać w pliku dyskowym. Najpierw należy wygenerować tablicę z danymi x

sin

y . Wykonanie tej

operacji w M ATLABIE

>> x=[0:0.1:10]'; y=x.*sin(x);

>> XY=[xy]

XY =

0 0

0.1000 0.0100

0.2000 0.0397

0.3000 0.0887

0.4000 0.1558

0.5000 0.2397

0.6000 0.3388

0.7000 0.4510

0.8000 0.5739

0.9000 0.7050

........

10.0000 -5.4402

Ostatnia aktualizacja: 2007-02-21

M. Tomera

Wygenerować dane do wykresu funkcji

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: