elek1.pdf

RACHUNEK PRAWDOPODOBIE NSTWA

Lista 1

1. NiechA;B;Cbeda zdarzeniami. Zapisac za pomoca dzialan na zbiorach

zdarzenia: (a) zachodzi dokladnie jedno ze zdarzenA;B;C; (b) zachodza

dokladnie dwa ze zdarzenA;B;C; (c) zachodza co najmniej dwa ze zdarzen

A;B;C.

2. Obliczyc

1 [

A n ;

1 [

B n ;

1 \

A n i

1 \

B n , jesli

n =1

A n = fx:ax<a+n 1 g;B n = fx:ax<bn 1 g:

3. Pokazac, ze dla dowolnych dwoch zdarzenA,BP(A\B) P(A) +P(B)1.

4. Udowodnic, zeP(A 1 [:::[A n ) P(A 1 ) +:::P(A n ).

5. Dane saP(A 0 ) = 1 3 ,P(A\B) = 1 4 iP(A[B) = 2 3 . ObliczycP(B 0 ),P(A\B 0 )

iP(BnA).

6. Dane saP(A\B) =

iP(A[B) =

2 , ponadtoP(AnB) =P(BnA).

ObliczycP(A) iP(BnA).

7. Dane saP(A 0 \B 0 ) =

2 ;P(A 0 ) =

3 ;ponadtoP(A\B) =

4 . ObliczycP(B)

iP(A 0 \B).

8. Dane saP(A) =

4 ;P(B) =

4 ;A\B= ;. Uporzadkowac rosnacoP(A[

B);P(A 0 [B) iP(A[B 0 ).

9. NiechA[B[C= ;P(B) = 2P(A);P(C) = 3P(A). Ponadto, niech

P(A\B) =P(A\C) =P(B\C). Pokazac, ze

6 P(A) 1

4 , przy czym

oba ograniczenia sa osiagane.

10. Udowodnic, ze

P(A[B[C) =P(A) +P(B) +P(C) P(A\B) P(A\C)

P(B\C) +P(A\B\C);

a nastepnie uogolnic ten wzor dla sumynzbiorow.