06. Macierzowy zapis różniczki. Wzór na pochodne cząstkowe z.pdf
(
106 KB
)
Pobierz
Macierzowy zapis różniczki. Wzór na pochodne cząstkowe złożenia odwzorowań.
MACIERZOWY ZAPIS RÓŻNICZKI
1
Niech
U
Top
R
n
,
f
:
U
R
oraz
niech
f
D
.
x
dla
x
R
n
0
0
Ponieważ różniczka
d
:
0
x
f
R
n
R
jest odwzorowaniem liniowym, zatem w bazie
kanonicznej
n
e
e
1
,
...,
macierz różniczki można zapisać w postaci
d
f
x
x
:
d
f
e
...
d
f
e
f
x
...
f
grad
f
x
0
x
x
1
x
n
x
0
0
0
0
0
1
n
macierz wartości różniczki na wektorach
różniczki bazowych równe kolejnym
pochodnym cząstkowym
Macierz różniczki nazywamy
gradientem
funkcji
f
i oznaczamy
grad
0
f
x
.
2. Przypadek ogólny
Niech
U
Top
K
n
,
f
f
...
f
:
U
K
p
,
1
p
f
i
:
U
K
dla
i
1
,...,
p
,
gdzie każde z odwzorowań
f
i
nazywamy składową odwzorowania
f
.
Np. funkcja
f
x
1
,
x
x
2
,
x
3
ma 2 składowe
f
1
i
f
2
:
x
1
x
2
,
x
1
2
f
2
1
,
2
x
1
,
x
x
2
x
3
x
1
Macierz różniczki
f
f
2
,
x
1
,
x
x
2
x
3
x
1
d
x
0
:
f
1
x
f
1
x
f
1
x
x
0
x
0
x
0
1
2
n
f
f
f
2
x
2
x
2
x
0
0
0
d
f
x
x
x
x
1
2
n
0
f
f
f
p
x
p
x
p
x
x
0
x
0
x
0
1
2
n
nazywamy
macierzą Jacobiego
odwzorowania
f
w punkcie
x
0
(
j
-ta kolumna macierzy
Jacobiego jest kolumną pochodnych cząstkowych odwzorowania
f
względem zmiennej
x
j
).
Jeśli
n=p
(macierz jest kwadratowa), to określony jest wyznacznik tej macierzy, który
nazywamy
jakobianem
,
det
J
jakobian
d
x
0
f
x
0
1
ZASTOSOWANIE MACIERZY: WZÓR NA POCHODNE
CZĄSTKOWE
ZŁOŻENIA ODWZOROWAŃ
Niech
U
Top
K
n
,
V
Top
K
p
,
f g
U V
K
s
f
:
U
V
,
g
:
V
K
s
.
K
p
K
n
Rozpatrzmy złożenie
f
h
, tzn. odwzorowanie
g
h
(
x
x
)
g
(
f
(
)).
Niech
x
0
U
,
,
y
0
f
x
0
V
f
Wtedy istnieje różniczka złożenia i jest równa złożeniu różniczek,
,
g
D
.
0
x
Ponieważ składanie odwzorowań liniowych odpowiada mnożeniu reprezentujących je
macierzy
d
x
h
x
0
f
.
0
g
f
d
g
d
y
0
h
1
x
h
1
x
g
1
y
g
n
y
f
1
x
f
1
x
0
0
x
0
x
0
y
y
x
0
x
0
1
n
1
p
1
n
h
h
g
g
f
f
s
x
s
x
s
y
s
y
p
x
p
x
0
0
0
0
x
x
y
y
x
0
x
0
1
n
1
p
1
n
zatem mnożąc
k
-ty wiersz macierzy ]
[
0
g
d
y
przez
j
-tą kolumnę macierzy ]
[
0
f
d
x
otrzymujemy
WZÓR NA POCHODNE CZĄSTKOWE ZŁOŻENIA ODWZOROWAŃ
.
h
p
g
f
k
x
0
s
k
y
i
x
dla
j
1
,...,
n
;
k
1
,...,
x
y
0
x
0
j
i
i
1
j
2
K
Przykład
Niech
V
Top
R
(
V
- zbiór otwarty w
R
2
),
2
g
:
V
R
,
.
g
D
V
Wyznaczyć pochodną funkcji
g
we współrzędnych biegunowych.
Tworzymy funkcję
f
, która wprowadza współrzędne biegunowe
r
,
.
f
:
[
0
)
[
0
2
R
)
r
,
f
r
,
r
cos
,
r
sin
2
Niech
U
Top
[
0
)
[
0
2
)
:
f
U
V
podzbiór
otwarty
Wtedy
U
h
R
g
f
:
U
.
Ponadto
h
D
.
Aby wyznaczyć macierz złożenia
h
, wyznaczmy macierze różniczek odwzrowań
f
i
g
:
g
g
x
,
y
g
x
,
y
,
y
x
y
r
cos
r
cos
f
r
cos
r
sin
,
r
sin
r
sin
sin
r
cos
r
Wyznaczamy macierz różniczki odwzorowania
h
h
d
g
d
f
g
x
,
y
g
x
,
y
cos
r
sin
r
,
x
,
y
r
,
x
y
sin
r
cos
x
r
cos
y
r
sin
x
r
cos
y
r
sin
cos
g
x
,
y
sin
g
x
,
y
r
sin
g
x
,
y
r
cos
g
x
,
y
x
y
x
y
opracował Jacek Zańko
3
d
x
d
r
d
Plik z chomika:
Esme1991
Inne pliki z tego folderu:
Rachunek różniczkowy funkcji 2 i 3 zmiennych.pdf
(277 KB)
15. Ekstrema globalne.pdf
(95 KB)
14. Ekstrema warunkowe.pdf
(206 KB)
13. Ekstrema lokalne.pdf
(122 KB)
12. Twierdzenie Taylora dla funkcji wielu zmiennych.pdf
(78 KB)
Inne foldery tego chomika:
szeregi
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin