metody_numeryczne_w1.pdf

(269 KB) Pobierz
Metody numeryczne (analiza numeryczna)
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne ET3 wykład 1
Metody numeryczne (analiza numeryczna )
- nauka zajmująca się rozwiązywaniem problemów matematycznych
metodami arytmetycznymi
- sztuka doboru spośród wielu możliwych procedur takiej, która jest
„najlepiej” dostosowana do rozwiązania danego zadania
Mathematics + Computer Science + Engineering = Scientific
Computing
b
Oszacowanie błędu numerycznego obliczenia
∫
f
(
x
)
dz
przy n+1
a
obliczeniach wartości f(x)
Metoda trapezów
(
b
−
a
)
3
f
'
'
(
ξ
1
)
12 n
2
Metoda Simpsona
(
b
−
a
)
5
f
(
4
)
(
ξ
)
2
4
180 n
W1 - 1
28669804.004.png 28669804.005.png
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne ET3 wykład 1
1. Odpowiednie sformułowanie zadania
2. Metoda numeryczna + analiza błędu
3. Algorytm
4. Implementacja
1. Błąd danych wejściowych
2. Błąd zaokrągleń w czasie obliczeń
3. Błąd metody (obcięcia)
4. Błąd wnoszony przez uproszczenia modelu matematycznego
5. Błąd człowieka
~ jest przybliżeniem wartości dokładnej a
a
Δ
a
=
~
−
Błąd względny:
ε
=
Δ
a
=
~
−
a
,
a
≠
0
a
a
~
=
a
+
Δ
=
a
+
ε +
a
=
(
1
ε
)
ε
=
Δ
a
=
~
−
a
=
~
−
1
,
a
≠
0
a
a
a
a
a
a
uogólnienie na wartości wektorowe
szacowanie modułów błędów
W1 - 2
Błąd bezwzględny:
28669804.006.png
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne ET3 wykład 1
Przenoszenie się błędów w obliczeniach numerycznych
1. Analiza bezpośrednia krok po kroku – analiza przedziałowa:
4
4 .
4
. <
35
<
y
4
.
45
Δ
y <
0 .
05
ε
<
0
05
=
0
0115
4
35
~ =
2 .
0976
2
.
0857
<
y
<
2
.
1095
Δ
y <
0 .
0119
ε
y <
0 .
0057
~ = poprawnie zaokrąglona, więc
10 .
3
10
. <
25
<
x
10
35
Δ
x <
0 .
05
ε
<
0
.
05
=
0
.
049
x
10
.
25
.....................................................................
5175
~
=
ln(
x
+
y
)
=
2
2
5125
<
ln(
x
+
y
)
<
2
5225
Δ z
<
0
005
ε
<
0
0020
W1 - 3
~ = poprawnie zaokrąglona, więc
.
z
~
~
28669804.007.png
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne ET3 wykład 1
2. Wykorzystanie podstawowych wzorów:
~
=
a
+
Δ
=
a
+
ε +
a
=
(
1
ε
)
ε
=
Δ
a
=
~
−
a
=
~
−
1 ≠
,
a
0
a
a
a
a
a
a
x
1
,
~
1
,
ε
1
,
x
2
,
~
2
,
ε
2
Iloczyn:
y =
x
1 x
2
ε
=
~
1
~
2
−
1
=
x
1
(
1
+
ε
1
)
x
2
(
1
+
ε
2
)
−
1
=
(
1
+
ε
)(
1
+
ε
)
−
1
≈
ε
+
ε
więc
ε +
<
ε
ε
y
1
2
1
2
y
1
2
x
x
x
x
1
2
1
2
Pierwiastek:
y =
x
ε
=
~
−
1
=
x
1
+
ε
)
−
1
=
(
1
+
ε
)
−
1
=
1
+
1
ε
−
1
ε
2
+
.....
−
1
≈
1
więc ε
ε
<
1
y
y
x
x
2
8
2
2
x
Iloraz:
y =
1
x
2
~
x
x
(
1
+
ε
)
x
(
1
+
ε
)
(
ε
−
ε
)
ε
=
1
2
−
1
=
1
1
2
−
1
=
1
−
1
=
1
2
≈
ε
−
ε
więc
ε +
<
ε
ε
~
y
1
2
y
1
2
x
x
x
(
1
+
ε
)
(
1
+
ε
)
(
1
+
ε
)
1
2
1
2
2
2
2
W1 - 4
ε
28669804.001.png 28669804.002.png
 
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne ET3 wykład 1
Suma:
y ±
=
x
1
x
2
ε
=
~
1
±
~
2
−
1
=
x
1
(
1
+
ε
1
)
±
x
2
(
1
+
ε
)
−
1
=
x
1
ε
1
±
x
2
ε
2
więc
y
x
±
x
x
±
x
x
±
x
x
±
x
1
2
1
2
1
2
1
2
ε
<
x
1
ε
+
x
2
ε
y
1
2
x
±
x
x
±
x
1
2
1
2
W1 - 5
2
28669804.003.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin