V Pole elektryczne
1. Ładunek elektryczny
Podstawowe prawa
Ładunek jest pewną cechą cząstek o różnej od zera masie spoczynkowej. W ich wnętrzu znajduje się kilka najbardziej elementarnych składników materii, jakie obecnie znamy. Są to kwarki, posiadające ładunki dwojakiego rodzaju, umownie nazwane dodatnim i ujemnym. Odpowiednie kombinacje kwarków dają cząstki naładowane dodatnio jak protony, ujemnie jak elektrony lub obojętne jak neutrony.
Elementarne prawa związane z ładunkiem elektrycznym są bardzo proste:
i) Ładunki różnego znaku przyciągają się a jednakowego znaku odpychają się,
ii) Obowiązuje prawo zachowania ładunku, to znaczy ładunek może pozornie zniknąć
tylko wtedy gdy zwiążą się dwie cząstki o identycznych ładunkach przeciwnego znaku,
iii) Ładunku nie można dzielić na dowolnie małe części, cząstki elementarne (elektron, proton) mają ładunki równe. Natomiast wszystkie ciała makroskopowe mogą mieć ładunek równy wielokrotności . Mówi się, że ładunek elektryczny podlega kwantowaniu.
Wytwarzanie ładunku elektrycznego
W naszym wszechświecie ilość cząstek naładowanych dodatnio w jest taka sama jak naładowanych ujemnie. Ponieważ obydwa rodzaje ładunku przyciągają się więc cząstki o przeciwnych ładunkach się łączą w odpowiedni sposób i materia wokół nas jest zazwyczaj obojętna elektrycznie. Aby jakiś przedmiot naładować elektrycznie trzeba z niego usunąć (albo dodać mu) pewną ilość naładowanych cząstek. Najczęściej są to elektrony, gdyż np. protony byłoby bardzo trudno przemieszczać. Dokonać tego można na co najmniej trzy sposoby zależnie od rodzaju materiału:
i) Przez zdzieranie (pocieranie innym przedmiotem) elektronów (izolatory)
ii) Przez przeniesienie elektronów z innego naładowanego przedmiotu (metale, półprzewodniki)
iii) Przez indukcję, elektrony są przepędzane w jeden koniec przedmiotu. To miejsce
gdzie się gromadzą w nadmiarze zostaje naładowane ujemnie, inne miejsca stają się naładowane dodatnio (metale, półprzewodniki). Jeżeli z jednego z tych końców usuniemy nadmiar ładunku to cały przedmiot będzie miał nadmiar ładunku jednego rodzaju – zostanie naładowany,
Zazwyczaj niezrównoważona część ładunku na przedmiocie po jakimś czasie zniknie, zostanie uniesiona gdzie indziej przez zderzające się z przedmiotem jony, cząsteczki pyłu, pary wodnej.
Prawo Coulomba
Już dość dawno temu ustalono na drodze doświadczalnej, że siłę oddziaływania między dwoma ładunkami elektrycznymi można opisać wzorem
niutonów
Litery q oraz Q oznaczają wielkości ładunków, r odległość między środkami małych (punktowych) naładowanych przedmiotów a k jest stałą wielkością o wartości w próżni, powietrzu. Powyższy wzór jest matematycznym sformułowaniem prawa Coulomba. Podaje on tylko liczbową wartość siły oddziaływania, można go jednak nieco zmodyfikować tak aby zawierał szczegółowe informacje o zależności siły od położenia ładunków i podawał również kierunek siły, która jest przecież wektorem
N.
Przykład
Cztery ładunki umieszczone są w wierzchołkach kwadratu o boku a = 2,5cm, ładunki w przeciwległych wierzchołkach mają ten sam znak, ich wartości podaje rysunek. Należy obliczy siłę z jaka oddziałują na ładunek w prawym górnym wierzchołku trzy pozostałe ładunki.
W celu rozwiązania problemu wprowadzimy układ współrzędnych wybrany tak aby ładunek znalazł się w początku układu a ładunek leżał na osi x. Teraz możemy znaleźć składowe wszystkich sił. Na przykład
Podobnie znajdujemy, pozostałe siły
oraz
Całkowita siła działająca na ładunek to
Jej kierunek ilustruje rysunek.
Podobieństwo miedzy siłą elektrostatyczną a grawitacyjną
Wzory opisujące prawo powszechnego ciążenia
i prawo Coulomba
są identyczne, różnią się niektórymi symbolami. Masy, które zawsze mają znak dodatni (antymateria i materia przyciągają się) są zastąpione przez ładunki, stała powszechnego ciążenia przez stałą.
2. Pole elektryczne ładunków punktowych
Koncepcja oddziaływania na odległość między ładunkami elektrycznymi jest w wielu zastosowaniach mało praktyczna, nie nadaje się np. do opisania fal elektromagnetycznych. Podobnie zresztą jest w oddziaływaniu grawitacyjnym, zamiast opisywać siłę działającą na wyrzucony w górę kamyk (próbnik wykrywający pole grawitacyjne) prawem powszechnego ciążenia, nadajemy przestrzeni wokół Ziemi pewną cechę nazywaną polem grawitacyjnym ziemi. Jego miarą jest przyspieszenie . Jest to siła działająca ze strony Ziemi na przedmiot o masie 1 kg, możemy więc zdefiniować przyspieszenie grawitacyjne wzorem
.
Mówimy, że Ziemia wytwarza w otaczającej przestrzeni wektorowe pole grawitacyjne o natężeniu .
W podobny sposób wprowadzamy pojęcie pola elektrycznego jako własności przestrzeni wokół naładowanego elektryczne przedmiotu. O obecności pola elektrycznego informuje nas siła działająca na ładunek elektryczny (pełni on rolę kamyka w polu grawitacyjnym). Natężenie pola elektrycznego jest równe sile działającej na jednostkowy ładunek próbny
Zaletą koncepcji pola elektrycznego jest także możliwość graficznego przedstawienia sił działających w polu na ładunki oraz torów ruchu ładunków jeżeli pozwolimy im poruszać się swobodnie. Graficznym obrazem pola elektrycznego są linie sił pola, to znaczy linie w przestrzeni fizycznej, do których styczne w każdym punkcie mają kierunek wyznaczony przez wektory . Z definicji wynika, że próbny ładunek pozostawiony samemu sobie będzie się w polu elektrycznym poruszał pod wpływem siły
wzdłuż linii sił pola.
Teraz trzeba odpowiedzieć na pytanie skąd bierze się pole elektryczne. Jeżeli trzymać się analogii z polem grawitacyjnym to odpowiedź jest prosta: pole elektryczne wytwarzają ładunki elektryczne. W pewnych wypadkach natężenie tego pola łatwo przewidzieć.
Pole elektryczne ładunku o wielkości Q znajdującego się na małej metalowej kulce umieszczonej w początku układu współrzędnych. Jeżeli promień kulki będzie bardzo mały to otrzymamy pewne przybliżenie ładunku punktowego.
Ładunek rozłożony jest sferycznie symetrycznie, zatem wytworzone przez niego pole elektryczne także będzie miało symetrię sferyczną, czyli natężenie pola będzie zależało jedynie od odległości od ładunku Q. Możemy powyższy wniosek napisać w postaci matematycznej
. Spróbujmy znaleźć nieznaną funkcję . W tym celu w polu elektrycznym wytworzonym przez ładunek Q umieścimy w odległości r drugi znacznie mniejszy od Q ładunek q i z prawa Coulomba obliczymy siłę działającą na niego
. Następnie korzystając z definicji wyliczymy natężenie pola wytworzonego przez ładunek Q
Jeżeli ładunek Q jest dodatni to pole ma taki kierunek jak wektor wodzący punktu , a przeciwny gdy ładunek jest ujemny.
Rysunki są równocześnie ilustracją graficznej reprezentacji pola elektrycznego, jak widać pole reprezentują skierowane linie sił pola elektrycznego a równocześnie tory ruchu umieszczonego w nim dodatniego ładunku elektrycznego.
Jeżeli źródłem pola jest kilka ładunków to jego natężenie można obliczyć sumując natężenia pól wytworzonych przez każdy ładunek z osobna
Natężenie pola elektrycznego wytworzonego przez dwa ładunki o takiej samej wartości ale o przeciwnych znakach.
Natężenie pola wytworzonego przez ładunek dodatni wynosi, a pola elektrycznego w tym samym punkcie wytworzonego przez ładunek ujemny
Suma obydwu pól to
Ponieważ wektory wodzące ładunków to oraz więc
Obliczenie składowych wektora w dowolnym punkcie przestrzeni wymagałoby rachunków numerycznych przy pomocy odpowiedniego programu, ale w punktach płaszczyzny dzielących odcinek między ładunkami na pół można to zrobić ręcznie. W tych punktach , ponadto x-owe składowe wektorów oraz są równe ale przeciwnie skierowane a składowe y-owe i z-owe są odpowiednio równe. Wobec tego we wszystkich punktach tej płaszczyzny wektor .
Łatwo się domyśleć jaki kształt będą miały linie sił pola.
Konfiguracja ładunków jest podobna jak w poprzednim przykładzie, szczegóły wyjaśnia rysunek. Czy istnieje punkt przestrzeni, w którym natężenie pola jest równe zeru, a jeżeli tak to jakie są jego współrzędne.
Jakościowa ocena wskazuje, że punkt o żądanej własności może leżeć w nieskończoności lub na osi x.
Pierwsza możliwość wynika stąd, że natężenie pola maleje z odległością od ładunków co najmniej tak jak . W celu zbadania drugiej obliczymy natężenie pola w punktach osi x
czyli
Natężenie pola będzie równe zeru w punkcie, którego współrzędna spełnia równanie
Po podstawieniu współrzędnych położenia ładunków otrzymamy
Jego rozwiązaniem są dwie wartości . Sens fizyczny ma tylko rozwiązanie .
Pole elektryczne wewnątrz i w pobliżu przewodnika w stanie równowagi
Ładujemy przewodnik np. przez wprowadzenie do niego dodatkowych elektronów. Ten dodatkowy ładunek wskutek odpychania między elektronami będzie się starał rozmieścić elektrony tak aby znalazły się jak najdalej od siebie. Zgromadzą się więc na powierzchni przewodnika przy czym ich liczba na jednostkę powierzchni będzie największa w miejscach wypukłości, wypustek na powierzchni, a mniejsza tam gdzie powierzchnia jest wklęsła.
Natężenie pola elektrycznego wewnątrz przewodnika jest równe zeru. Gdyby było inaczej na elektron działałaby siła tak długo dopóki elektrony w nowym położeniu nie wytworzyłyby wewnątrz przewodnika pola o zerowym natężeniu. Zachowanie takie ilustrują poniższe rysunki.
Każdy ładunek umieszczony na obwodzie koła podlega takim samym oddziaływaniom ze strony pozostałych ładunków. Wobec tego ładunki zajmują pozycje równoważne, o równomiernym rozkładzie ładunku. Takie ich rozmieszczenie zapewnia stan równowagi (minimum energii)całości.
Natomiast równomierny rozkład ładunków na odcinku prostej nie tworzy stanu równowagi. Siły odpychania między ładunkami przemieszczą niektóre z nich ku końcom odcinka. Osiągnięty w ten sposób stan ilustruje rysunek poniżej.
Natężenie pola elektrycznego na powierzchni przewodnika jest prostopadłe do powierzchni. Uzasadnienie tej własności jest podobne jak powyżej. Mianowicie gdyby pole miało składową styczną do powierzchni to działałoby na elektrony siłą powodującą ich przemieszczenie wzdłuż powierzchni tak długo jak długo składowa styczna będzie równa różna od zera.
3. Strumień pola elektrycznego
Z pojęciem strumienia pola wektorowego spotykamy się bardzo często. Na przykład strumień wody w rurze wodociągowej jest miarą ilości wody przepływającej przez przekrój rury w jednej sekundzie, strumień ludzi przechodzących przez przejście podziemne w ciągu jednej sekundy. Okazuje się, że bardzo pożytecznym pojęciem jest strumień pola elektrycznego przez pewną powierzchnię. Jego definicja jest prawie taka sama jak definicja strumienia wody przepływającego rurą lub korytem rzeki. Rolę torów, po których poruszają się cząsteczki wody pełnią teraz linie sił pola elektrycznego. Jest zatem oczywiste, że strumień pola elektrycznego przepływający przez niewielką płaską powierzchnię będzie silnie zależał od kąta jaki tworzy kierunek prostopadły do powierzchni z kierunkiem linii sił pola. Na przykład jeżeli te dwa kierunki są do siebie prostopadłe to strumień jest równy zeru, a jest największy gdy te kierunki są do siebie równoległe. Jest także jasne, że im większe natężenie pola tym większy strumień (im większa prędkość wody tym więcej jej przepłynie przez przekrój w ciągu 1 sekundy).
Możemy teraz powyższe uwagi ująć w wzór matematyczny. W tym celu wprowadzimy oznaczenia; będzie oznaczać wektor, którego wielkość jest równa polu niewielkiej płaskiej powierzchni a kierunek jest prostopadły do powierzchni, oznacza strumień pola elektrycznego przez powierzchnię . Jest on dany wzorem
Strumień pola elektrycznego przez większą powierzchnię policzymy dzieląc ją na małe prawie płaskie kawałki i dodając strumienie pola przez nie. Postępowanie takie da dokładny wynik jeżeli wymienione kawałki powierzchni będą nieskończenie małe. Widać, że rozumowanie powyższe prowadzi do wyrażenia całkowego na strumień pola elektrycznego przenikającego przez powierzchnię S
Obliczymy strumień pola przez powierzchnię zamkniętą w kształcie sfery otaczającej ładunek dodatni rozmieszczony na sferycznej powierzchni metalowej
Z rysunku widać, że wektor ma taki sam kierunek jak wektor wodzący punktu na powierzchni sfery, i taki sam jak kierunek wektora natężenia pola elektrycznego, danego jak pamiętamy wzorem . Wobec tego strumień
Podczas obliczania całki skorzystaliśmy z tego, źe długość wektora wodzącego we wszystkich punktach sfery jest taka sama.
Prawo Gaussa
Stwierdza ono, że strumień pola elektrycznego przenikającego przez zamknięto powierzchnię jest proporcjonalny do całkowitego ładunku znajdującego się wewnątrz powierzchni. Postać matematyczna prawa to wzór
Współczynnik zapewnia właściwe jednostki wszystkich wielkości a przede wszystkim zależność wielkości strumienia od właściwości ośrodka (próżnia dielektryk). Porównując prawe strony prawa Gaussa i wzoru w poprzednim przykładzie, otrzymamy . Stąd znajdujemy, że stała . Przenikalność dielektryczną ośrodka trzeba wyznaczyć z pomiarów, dla próżni jej wartość wynosi . Stała dielektryczna izolatorów ma większe wartości.
Prawo Gaussa jest dosyć skutecznym narzędziem do znajdowania natężenia pola elektrycznego wytwarzanego przez rozmaicie rozmieszczone ładunki elektryczne.
Znajdziemy natężenie pola elektrycznego wytworzonego przez ładunek punktowy znajdujący się wewnątrz sferycznej osłony z metalu o promieniu R, której grubość można zaniedbać
Wpierw musimy trochę zainwestować. Zauważamy, że rozkład ładunku jest sferycznie symetryczny, osłona również, zatem pole też będzie miało taką symetrię, to znaczy, że jego natężenie zależy tylko od odległości od ładunku. Przyjmiemy, że leży on w początku układu, wobec tego pole wewnątrz sfery
Z symetrii rozkładu ładunku nie da się wywnioskować postaci funkcji i . Wykorzystamy do tego prawo Gaussa. Zastosujemy go do dowolnej sfery o promieniu otaczającej ładunek.
Otrzymamy . W miejsce natężenia pola wstawimy wynik powyższego rozumowania, wykorzystamy, że jest równoległe do i otrzymamy . Stąd znajdziemy funkcję
Powyższe rozumowanie można zastosować do sfery o promieniu większym od R2. Jednakże wnioski będą zależeć od tego czy sfera jest uziemiona (ma potencjał 0) czy też nie. Uzasadnienie tego stwierdzenia jest następujące. Ładunek q w środku sfery indukuje na jej wewnętrznej powierzchni ładunek – q (linie sił zaczynające się na q muszą się gdzieś kończyć). Jeżeli metalowa osłona była pierwotnie elektrycznie obojętna to na jej zewnętrznej powierzchni zgromadził się ładunek q. Jeżeli sferę uziemimy to ten ładunek spłynie do Ziemi.
Zatem ładunek wewnątrz sfery o promieniu większym od R2 będzie równy q jeżeli osłona pozostaje izolowana i równy zeru gdy osłona jest uziemiona. W pierwszym wypadku funkcja
, w drugim .
Powyższy przykład można zmodyfikować tak aby ładunek q znajdował się wewnątrz sferycznie symetrycznej warstwy dielektryka o stałej .
Inna modyfikacja to umieszczenie ładunku wewnątrz kilku sferycznie symetrycznych warstw o różnych właściwościach dielektrycznych.
Nietrudno się domyśleć, że podobne rozumowania można przeprowadzić dla rozkładu ładunku o innej symetrii, na przykład cylindrycznej lub płaskiej (jak na okładkach kondensatora płaskiego).
4. Energia ładunków w polu elektrycznym
Jak już wiemy, na ładunek q znajdujący się w polu elektrycznym działa siła dana wzorem . Wobec tego podczas przemieszczania ładunku wykonywana jest praca równa
. Jeżeli siła przemieszczająca ładunek pochodzi z zewnątrz to ładunek zyskuje energię. Podobnie przedmiot unoszony nad powierzchnię Ziemi zyskuje mechaniczną energię potencjalną, a miarą energii na wysokości h jest praca potrzebna na podniesienie przedmiotu z powierzchni Ziemi na tą wysokość.
Źródłem pola elektrycznego są zazwyczaj jakieś ładunki. Natężenie pola wytworzonego przez nie maleje podczas oddalania się od nich i w nieskończoności jest równe zeru. Zatem siła działająca na ładunek próbny w nieskończoności też jest równa zeru, podobnie jego energia potencjalna. Przez analogię z mechaniczną energią przyjmujemy, że elektryczna energia potencjalna ładunku q w punkcie P jest równa pracy potrzebnej na przeniesienie go z nieskończoności do tego punktu
Pole elektryczne wytwarza ładunek punktowy Q , należy obliczyć energię potencjalną innego ładunku q w punkcie P znajdującym się w odległości r od Q.
Natężenie pola wytworzonego prze...
Xaxunio