3. Wyznacznik macierzy kwadratowej

Każdej macierzy można przyporządkować liczbę rzeczywistą, zwaną wyznacznikiem macierzy. Wyznacznik macierzy oznaczamy symbolem lub

. Liczbę nazywamy stopniem wyznacznika.

              Wyznacznik definiuje się rekurencyjnie w zależności od jego stopnia.

              Niech , czyli . Wtedy .

Przykłady

                            ,                            .

              Niech , czyli

.

Wtedy

.

Przykłady

                            ,                            .

              Niech , czyli

.

Wtedy stosujemy metodę (regułę) Sarrusa. Polega ona na dopisaniu do wyznacznika dwóch pierwszych kolumn

.

Analogicznie metodę Sarrusa można zastosować po dopisaniu dwóch pierwszych kolumn.

Przykład

.

.

Niech teraz . Opiszemy ogólną metodę obliczania wyznaczników, zwaną metodą Laplace’a. Najpierw dla macierzy postaci

określamy macierz stopnia , która powstaje z macierzy przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny, czyli

Wyznacznik tej macierzy nazywamy minorem (podwyznacznikiem) stopnia i oznaczmy symbolem . Wyrażenie

nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu .

              Teraz można podać wzór Laplace’a :

,              .

Uwaga

              Wzór Laplace’a można zapisać także w postaci

,              .

Przykłady

.

.

.

Uwaga

              Macierz kwadratową, której wyznacznik jest równy zeru nazywamy macierzą osobliwą, natomiast macierz o wyznaczniku różnym od zera nazywamy macierzą nieosobliwą.

Macierz odwrotna

Macierz nazywamy macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej , jeżeli

.

Macierz odwrotną do macierzy będziemy oznaczać symbolem . A zatem mamy równość

.

              Sposoby wyznaczania macierzy odwrotnej:

1.      z definicji,

2.      metodą operacji elementarnych,

3.      metodą wyznacznikową.

Przykład

                  Wyznaczyć na podstawie definicji macierz odwrotną do macierzy

.

Ponieważ macierz jest macierzą stopnia drugiego, a więc macierz odwrotna też musi być tego samego stopnia. Rozważmy macierz

,

gdzie , , , są nieznane. Z definicji mamy

,

czyli

,

skąd

.

Powyższa równość prowadzi do dwóch układów równań

skąd znajdujemy , oraz  , . Zatem

.

Sprawdzimy teraz, czy .

.

Ostatecznie możemy stwierdzić, że wyznaczona macierz , jest macierzą odwrotną do macierzy , czyli

.

Przykład

                  Stosując metodę operacji elementarnych wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy

.

              Metoda operacji elementarnych polega na utworzeniu macierzy

,

a następnie wykonując operacje elementarne, sprowadzeniu tej macierzy do postaci

.

Wtedy .

              Mamy więc kolejno

skąd  wynika, że

.

Przykład

                  Stosując metodę wyznacznikową znaleźć macierz odwrotną do macierzy

.

Schemat metody wyznacznikowej

Niech - macierz kwadratowa stopnia . Wykonujemy kolejno następujące czynności

1.      obliczamy (jeżeli , macierz odwrotna nie istnieje),

2.      obliczamy dopełnienia algebraiczne , ,

3.      tworzymy macierz dopełnień ,

4.      tworzymy macierz dołączoną ,

5.      wyznaczamy macierz odwrotną według wzoru

.

W naszym przykładzie mamy

1.      , co oznacza, że macierz odwrotna istnieje;

2.      , , , ;

3.      ;

4.      ;

5.      .

Rząd macierzy

Niech - macierz prostokątna o wymiarach . Rzędem macierzy A nazywamy maksymalną liczbę liniowo niezależnych wierszy macierzy i oznaczamy symbolem .

Uwagi

1.                              Rząd macierzy jest równy wymiarowi podprzestrzeni liniowej generowanej przez wiersze tej macierzy.

2.                              Maksymalna liczba liniowo niezależnych wierszy macierzy jest równa maksymalnej liczbie liniowo niezależnych kolumn tej macierzy.

3.                              .

Metody wyznaczania rzędu macierzy

1.      z definicji,

2.      za pomocą operacji elementarnych,

3.      za pomocą wyznaczników.

Przykład

              Korzystając z definicji wyznaczyć rząd macierzy

.

Niech

,              ,              .

Tworzymy kombinację liniową

,

czyli

,

skąd otrzymujemy układ równań

który, jak łatwo sprawdzić ma rozwiązanie niezerowe, np. , , .

Oznacza to, że .

Tworzymy wobec tego kombinację złożoną z dwóch wektorów, np.

,

czyli

,

skąd dostajemy

który ma rozwiązanie zerowe , co oznacza, że wektory i są liniowo niezależne, a zatem .

Przykład

              Wyznaczyć rząd macierzy za pomocą operacji elementarnych

.

Idea tej metody polega na sprowadzeniu macierzy do postaci kanonicznej (bazowej), tzn.

Wtedy .

Wobec tego

skąd wynika, że .

Przykład

              Wyznaczyć rząd macierzy za pomocą wyznaczników

.

Rząd macierzy jest równy najwyższemu stopniowi wyznacznika różnego od zera, który można utworzyć z elementów tej macierzy przez skreślenie pewnej liczby wierszy i kolumn (liczba skreślonych wierszy lub kolumn może być równa zeru).

              Rozważmy wyznacznik stopnia trzeciego

,

co oznacza, że . Weźmy więc wyznacznik stopnia drugiego

,

skąd wynika, że .