Proste zdania logiczne można łączyć w bardziej złożone. Można to osiągnąć za pomocą różnych spójników logicznych, np. „i” czy też „lub”, które mają określone symbole. Poniżej znajduje się lista podstawowych spójników.

Zastanów się teraz, które z poniższych zdań może być prawdziwe?

·         „Księżyc krąży wokół Ziemi i pies ma osiem łap”.

·         „Księżyc krąży wokół Ziemi lub pies ma osiem łap”.

·         „Księżyc krąży wokół Ziemi wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap”.

·         „Jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi”.

Okazuje się, że tylko dwa zdania są prawdziwe – „Księżyc krąży wokół Ziemi lub pies ma osiem łap” i „Jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi”. Dlaczego? Omówimy to w następnym podrozdziale.

Spójniki logiczne

Koniunkcja

Zajmijmy się takim prostym, logicznym zdaniem: „Byłem w księgarni i kupiłem książkę”. Oznaczmy to zdanie jako r. Zdanie to można podzielić na dwa zdania proste:

·         „Byłem w księgarni”, które oznaczymy przez p

·         „Kupiłem książkę”, które oznaczymy przez q

Te obydwa zdania proste łączą się spójnikiem i, które w matematyce oznaczamy przez . Zdania połączone spójnikiem i nazywamy koniunkcją. Możemy przyjąć, że zdanie r jest prawdziwe jedynie wtedy, kiedy rzeczywiście byliśmy w księgarni (p = 1) i kupiliśmy książkę (q = 1). Natomiast, jeśli któreś ze zdań p i q byłoby fałszywe (czyli nie byliśmy w księgarni lub nie kupiliśmy książki), oznaczałoby to, że skłamaliśmy, czyli wartość logiczna zdania r wynosiłaby 0. W zależności od wartości logicznych p i q możemy stworzyć tabelkę prawdziwości zdania (czyli zdania r), która jest pokazana niżej. Wynika z niej, że koniunkcja jest prawdziwa jedynie wtedy, kiedy obydwa zdania p i q są prawdziwe.

W przypadku zdania „Księżyc krąży wokół Ziemi i pies ma osiem łap” pierwsza część zdania jest prawdziwa, a druga fałszywa. Zatem całe zdanie będzie fałszywe.

Alternatywa

Oznaczmy przez r zdanie: „Dziś rano posprzątam w pokoju lub pooglądam telewizję”. Zdanie r możemy podzielić na dwa zdania proste:

·         zdanie p: „Dziś rano posprzątam w pokoju”

·         i zdanie q: „Dziś rano pooglądam telewizję”

połączone spójnikiem lub. Jak było pokazane wcześniej w tabelce, spójnik lub oznaczamy przez . Nasze zdanie r będzie zarówno prawdziwe wtedy, kiedy zdanie p będzie prawdziwe (posprzątamy w pokoju) lub zdanie q będzie prawdziwe (pooglądamy telewizję). Ponadto nie skłamiemy, jeśli posprzątaliśmy i pooglądaliśmy telewizję (obydwa zdania p i q są prawdziwe). Tabelka przedstawiającą wartości logiczne alternatywy, w zależności od prawdziwości zdania p i q będzie wyglądać tak:

W poprzednim podrozdziale powiedzieliśmy, że zdanie złożone „Księżyc krąży wokół Ziemi lub pies ma osiem łap” jest prawdziwe. Widzimy, że zdanie p „Księżyc krąży wokół Ziemi” jest prawdziwe, a zdanie q „pies ma osiem łap” jest fałszywe, dlatego wartość logiczna zdania p V q wynosi 1 V 0, czyli 1. Zatem to zdanie będzie rzeczywiście prawdziwe.

Negacja

Zdanie „Nieprawda, że byłem dzisiaj w kinie” oznaczmy jako zdanie r. Zdanie to jest zaprzeczeniem (negacją) zdania „Byłem dzisiaj w kinie”, które oznaczymy przez p. Negację zdania p przedstawiamy jako (w zapisie odręcznym: ~p). Jeśli zdanie p jest prawdziwe (byliśmy w kinie), to zdanie r jest fałszywe, bo skłamaliśmy, że nie byliśmy w kinie. Natomiast jeśli zdanie p jest nieprawdziwe, oznacza to, że zdanie r jest prawdziwe. Wnioski te można to przedstawić w poniższej tabelce.

Implikacja

Oznaczmy r jako zdanie „Jeżeli będziesz grzeczny, to dostaniesz czekoladę”. Zdanie to jest implikacją. Zdanie to składa się z dwóch zdań prostych:

·         zdania p: „Będziesz grzeczny”

·         zdania q: „Dostaniesz czekoladę”

Implikację zdań oznaczamy za pomocą spójnika , a w tym przypadku przez . Pozostaje zastanowić się, kiedy zdanie r będzie prawdą, a kiedy kłamstwem. Załóżmy, że zdanie to wypowiedziała mama do swojego syna. Jeśli syn był grzeczny i dostał czekoladę, mama nie skłamała. Jeśli syn był niegrzeczny i nie dostał czekolady, mama także nie skłamała. Jeśli syn był grzeczny, a nie dostał czekolady, oznacza to, że został okłamany. Okazuje się także, że gdyby syn był niegrzeczny i także dostał czekoladę, mama by nie skłamała. Dlaczego? Ponieważ, mama nie stwierdziła, co go spotka, jeśli będzie niegrzeczny. Powiedziała jedynie, co go spotka jeśli będzie grzeczny. Dlatego też o zdaniu p mówimy, że jest warunkiem wystarczającym do tego, by zaszło q, a o q, że jest warunkiem koniecznym do tego, by zaszło p. Tabelka wartości logicznych będzie wyglądać tak:

Powróćmy znowu do przykładu przedstawionego w poprzednim podrozdziale. Otóż było tam zdanie „jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi”. To zdanie złożone możemy podzielić na dwa proste zdania:

p: „pies ma osiem łap”,

q: „Księżyc krąży wokół Ziemi”.

Wiemy, że pierwsze p jest fałszywe, a zdanie q jest prawdziwe. Zatem wartość logiczna zdania p => q wynosi 0 => 1. Otrzymujemy wartość logiczna tego zdania wynosi 1. Jest to podobna sytuacja do tej, w której syn był niegrzeczny, a dostał czekoladę.

Wartość logiczną zdania można najprościej zapisać jako .

Równoważność

Gdyby poprzednie zdanie mama wypowiedziała tak: „Dostaniesz czekoladę jedynie wtedy, jeśli będziesz grzeczny” lub „Dostaniesz czekoladę wtedy i tylko wtedy, gdy będziesz grzeczny”, to okazałoby się, że gdyby synek był niegrzeczny, a mama i tak by mu dała czekoladę, to mama by skłamała. Spójnik logiczny „wtedy i tylko wtedy, gdy...” oznaczamy przez . Tabela równoważności będzie wyglądać tak:

Powróćmy teraz do zdania „Księżyc krąży wokół Ziemi wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap”. Na pierwszy rzut oka nam coś w nim nie pasuje. Podzielmy to zdanie na dwa podzdania p i q:

p: „Księżyc krąży wokół Ziemi”

q: „pies ma osiem łap”

Wartość logiczna zdania p wynosi 1, a q wynosi 0. Ponieważ obie wartości logiczne zdań podrzędnych nie są sobie równe, więc zdanie to jest fałszywe, jego wartość logiczna wynosi 0. Jednak gdyby to zdanie brzmiało „Ziemia krąży wokół Księżyca wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap”, wówczas byłoby prawdziwe, ponieważ wartości logiczne obu zdań podrzędnych byłyby sobie równe i wynosiłyby 0.

Czy można tworzyć zdania, które będą zawsze prawdziwe? Oczywiście. W następnym podrozdziale dowiemy się, jak to robić, a także jak sprawdzić, czy dane zdanie jest rzeczywiście prawdziwe.

Prawa rachunku zdań

Rzeczywiście zdanie jest zawsze prawdziwe. Mówiąc „Byłem w kinie lub nie byłem w kinie” nie skłamiemy. Prawo rachunku zdań nazywane jest też prawem logicznym lub tautologią. Innym przykładem zdania, zawsze prawdziwego jest zdanie „jeśli nieprawdą jest, że jadłem śniadanie lub nie jadłem obiadu, to nie jadłem śniadania i jadłem obiad”.

Ale jak sprawdzić, czy dane zdanie jest prawdziwe? Możemy do tego wykorzystać metodę „zero-jedynkową”. Zacznijmy od przykładu podanego na samym początku, czyli zdania . Najlepiej utworzyć do tego odpowiednią tabelkę i analizujemy wszystkie możliwości. W przypadku prostego zdania p mamy tylko dwie możliwości -- jego wartość logiczna może wynosić albo 1 albo 0; czyli w tabelce pod p wstawiamy 1 i 0 i wyliczamy wartości logiczne poszczególnych zdań, które dodaliśmy do tabelki.

Zobaczmy kolejny przykład. Udowodnimy, że zdanie jest tautologią. Najpierw w pierwszej (p) i w drugiej kolumnie (q) wypisujemy wszystkie możliwości, których tym razem będzie cztery.

Ponieważ zdanie jest zawsze prawdziwe (pokazuje nam to ostatnia kolumna, po prawej stronie), możemy wywnioskować, że jest tautologią (czyli prawem rachunku zdań).

Teraz jako ciekawostka metoda dowodu nie wprost, dla tych co nie lubią rysować tabelek. Zaczynamy:

Pierwszym krokiem jest założenie, że zdanie nasze jest fałszem: Załóżmy, że

Z definicji alternatywy wiemy, że jest ona fałszywa gdy oba jej składniki są fałszywe, czyli

.

Stąd widzimy, że nasza implikacja jest zawsze prawdziwa, bo p jest fałszem. Zatem całe zdanie jest prawdziwe. Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, czyli nasze zdanie jest tautologią.

...