Krzywe interakcji N-M.pdf
(
116 KB
)
Pobierz
PDF995, Job 27
A. Zaborski, Krzywe interakcji
M
–
N
Krzywe interakcji
N
-
M
No
no
przekroju zginanego i rozci
ganego
Je
eli w przekroju działa moment zginaj
cy oraz siła osiowa, to osi
gni
cie stanu granicznego
no
no
ci mo
e by
zobrazowane w układzie sił przekrojowych N - M jako pewna krzywa
zamkni
ta. Krzywe takie, dla stanu granicznej no
no
ci spr
ystej oraz stanu granicznej
no
no
ci plastycznej, nazywamy
krzywymi interakcji
albo
krzywymi no
no
ci
. Punktem
wyj
cia konstrukcji krzywych interakcji jest rozkład napr
enia normalnego w przekroju dla
odpowiedniego stanu granicznego. Ka
demu z mo
liwych rozkładów odpowiada punkt (
N
,
M
) na krzywej interakcji, okre
lany na podstawie warunków równowa
no
ci (całkowania
napr
e
w przekroju).
Charakterystyczn
wła
ciwo
ci
krzywych interakcji jest to,
e s
zawsze to krzywe wypukłe,
o czym mo
emy si
przekona
na przytoczonych poni
ej przykładach.
Obszar wewn
trzny, ograniczony czterema odcinkami prostymi, stanowi obszar pracy
spr
ystej przekroju. Brzeg tego obszaru odpowiada no
no
ci granicznej spr
ystej. Obszar
przylegaj
cy do niego okre
la zakres spr
ysto-plastycznej pracy przekroju, a jego brzeg
odpowiada osi
gni
ciu no
no
ci granicznej plastycznej. Obwiednia ta determinuje zakres
mo
liwych rozwi
za
, tj. punkty na zewn
trz jej s
statycznie niedopuszczalne (dla przyj
tej
schematyzacji Prandtla). Oznacza to
e napr
enia, równowa
ne takim warto
ciom sił
przekrojowych, musiałyby przekracza
granic
plastyczno
ci. Jak wida
z ogólnej postaci
równa
, obwiednia dla granicznej no
no
ci plastycznej jest, generalnie, lini
krzyw
.
Zakres spr
ysty
W zakresie spr
ystym, którego przypadkiem granicznym jest stan granicznej no
no
ci
spr
ystej, obowi
zuje zasada superpozycji, a wi
c napr
enia mog
zosta
wyra
one
bezpo
rednio poprzez siły przekrojowe:
s
=
N
+
M
z
,
x
F
I
skr
y
gdzie przez
z
skr
oznaczono poło
enie włókien skrajnych (górnych i dolnych). Jak wida
ze
wzoru, zale
no
pomi
dzy siłami przekrojowymi jest liniowa. Do narysowania krzywej
interakcji w stanie granicznym no
no
ci spr
ystej wystarcza wi
c znajomo
4 punktów
"skrajnych": dla ekstremalnej siły podłu
nej i ekstremalnego momentu zginaj
cego, zarówno
dodatnich jak i ujemnych.
Łatwo wywnioskowa
,
e ekstremalna siła podłu
na zostanie osi
gni
ta dla jednorodnego
pola napr
enia odpowiadaj
cemu prostemu rozci
ganiu lub
ciskaniu, czyli dla pełnego
uplastycznienia przekroju i
M
= 0.
Dla jakiego rozkładu napr
e
wyst
pi ekstremalny moment zginaj
cy? Zapisuj
c liniowy
rozkład napr
e
w ogólnej postaci i obliczaj
c z warunku równowa
no
ci moment
zginaj
cy:
s
=
a
+
bz
¼
M
=
ÐÐ ÐÐ ÐÐ
s
zdF
=
a
zdF
+
b
z
2
dF
=
aS
+
bI
=
bI
,
x
x
y
y
y
F
F
F
dochodzimy do wniosku,
e ekstremalny moment wyst
pi dla ekstremalnej warto
ci
parametru
b
. Kiedy to b
dzie miało miejsce? Odpowied
na to pytanie jest ju
natychmiastowa: dla jednoczesnego uplastycznienia włókien skrajnych górnych i dolnych,
przy przeciwnych znakach i osi oboj
tnej w połowie wysoko
ci przekroju.
Zakres spr
ysto-plastyczny
W zakresie spr
ysto-plastycznym, którego granicznym przypadkiem jest stan granicznej
no
no
ci plastycznej, nie obowi
zuje zasada superpozycji napr
e
od sił przekrojowych
N
i
A. Zaborski, Krzywe interakcji
M
–
N
M
. Wiemy jedynie,
e w stanie granicznym no
no
ci plastycznej, rozkład napr
e
jest
odcinkami stały (prostok
tny):
s
=
Ê
±
R
e
,
dla
z
>
z
0
,
x
@
R
,
dla
z
<
z
e
0
a zale
no
pomi
dzy siłami przekrojowymi jest, ogólnie, nieliniowa:
(
N
=
ÐÐ
s
x
dF
=
±
R
e
F
1
-
F
2
)
,
M
=
ÐÐ
s
x
zdF
=
±
R
e
(
S
y
1
-
S
y
2
)
.
F
F
Z pierwszego z równa
powy
szego układu wynika
e, podobnie jak w stanie granicznym
no
no
ci spr
ystej, ekstremalna siła podłu
na zostanie osi
gni
ta dla prostego rozci
gania
albo
ciskania. O ekstremalnej warto
ci momentu zginaj
cego nic nie wiadomo, z uwagi na
dowolno
kształtu przekroju. Warto
t
mo
emy, po wykonaniu całkowania warunków
równowa
no
ci, okre
li
poszukuj
c poło
enia osi oboj
tnej dla którego warto
momentu
b
dzie ekstremalna:
¶
M
(
z
0
)
=
0
¼
M
ekstr
,
N
.
¶
z
0
Przykład - Krzywe interakcji dla trójk
ta równoramiennego b
´
h
Zakres spr
ysty
Rozkład napr
e
normalnych jest dany wzorem:
s
=
2
N
+
36
M
z
.
x
bh
bh
2
Obliczamy punkty skrajne dla ekstremalnych warto
ci siły podłu
nej i momentu zginaj
cego:
- dla prostego rozci
gania (
M
= 0):
s
=
R
e
¼
N
=
1
bhR
e
,
M
=
0
s
jest to jednocze
nie ekstremalna siła podłu
na, jaka mo
e by
przenoszona przez
przekrój.
- jednoczesne uplastycznienie skrajnych włókien, o znakach napr
e
przeciwnych,
odpowiadaj
ce ekstremalnemu momentowi zginaj
cemu:
albo dla prostego
ciskania:
=
-
R
e
¼
N
=
-
1
bhR
e
,
M
=
0
s
(
z
=
2
h
)
=
R
,
s
(
z
=
-
1
h
)
=
-
R
,
¼
N
=
1
bhR
,
M
=
-
1
bh
2
R
,
x
e
x
e
e
e
3
3
6
18
albo:
s
(
z
=
2
h
)
=
-
R
,
s
(
z
=
-
1
h
)
=
R
,
¼
N
=
-
1
bhR
,
M
=
1
bh
2
R
,
x
e
x
e
e
e
3
3
6
18
Zakres spr
ysto-plastyczny
Rozkład napr
e
normalnych jest prostok
tny:
Z uwagi na symetri
przekroju i napr
e
, obliczenia przeprowadzamy dla połowy jego
szeroko
ci, danej równaniem:
1
b
(
z
)
=
-
b
z
+
b
.
2
2
h
3
Warunki równowa
no
ci:
Ç
1
b
(
z
)
2
h
1
b
(
z
)
×
z
È
ob
2
3
2
Ø
Ä
2
Ô
z
2
z
1
N
=
2
R
È
-
-
dz
Ð
dy
+
Ð
dz
Ð
dy
Ø
=
2
=
2
bhR
Å
Æ
0
-
0
-
Õ
Ö
,
e
e
2
3
h
36
È
Ø
2
h
h
0
z
0
È
ob
Ø
É
3
Ù
Ç
z
1
b
(
z
)
2
h
1
b
(
z
)
×
È
Ø
ob
2
3
2
Ä
z
3
2
z
2
Ô
4
M
=
2
R
È
-
-
zdz
Ð
dy
+
Ð
zdz
Ð
dy
Ø
=
2
=
2
bh
2
R
Å
Æ
0
-
0
+
Õ
Ö
.
e
È
Ø
e
Å
3
h
3
3
h
2
81
Õ
h
0
z
0
È
ob
Ø
É
3
Ù
2
2
A. Zaborski, Krzywe interakcji
M
–
N
Ekstremalna siła podłu
na wyst
pi dla osi oboj
tnej w niesko
czono
ci (
M
= 0). Dla
ekstremalnego momentu poło
enie osi oboj
tnej wyniesie:
¶
M
=
0
¼
z
=
0
drugi pierwiastek nie ma sensu fizycznego.
o
¶
z
Moment ekstremalny i odpowiadaj
ca mu siła podłu
na wynosz
wi
c:
M
(
z
=
0
)
=
8
bh
2
R
=
0
.
0988
bh
2
R
0
81
e
e
.
N
(
z
=
0
)
=
-
1
bhR
=
-
0
.
0556
bhR
0
18
e
e
Analogiczne obliczenia mo
emy przeprowadzi
dla rozkładu napr
e
o przeciwnych
znakach. Wówczas i rozwi
zanie zmienia znaki.
Wyniki przedstawia poni
szy wykres dla bezwymiarowych sił przekrojowych.
Krzywe interakcji M(N) dla trójk
ta
0,1
0,05
0
-0,05
-0,1
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
Przykład - Krzywe interakcji dla teownika
Przyjmujemy dane do oblicze
: półka 5 ´ 1 cm,
rodnik 1 ´ 5 cm, R
e
= 200 MPa. Obliczamy
poło
enie
rodka ci
ko
ci,
z
= 4 cm, oraz moment bezwładno
ci
I
y
= 33.33 cm
4
.
Zakres spr
ysty
Ekstremalna siła podłu
na, dla rozci
gania i
ciskania, wynosi:
N
= R
e
F = ± 200 kN, przy
czym
M
= 0.
Ekstremalny moment osi
gni
ty zostanie dla równoczesnego uplastycznienia skrajnych
włókien i osi oboj
tnej w połowie wysoko
ci przekroju, czyli dla:
s
=
±
(
a
+
bz
)
=
±
Å
Æ
R
e
+
100
R
e
z
Õ
Ö
¼
a
=
±
1
R
,
b
=
±
100
R
.
x
e
e
3
3
3
3
Jest wi
c:
N
=
aF
=
@
66
67
kN,
M
=
bI
y
=
±
2
22
kNm.
Zakres spr
ysto-plastyczny
Ekstremalna siła podłu
na wyst
pi, podobnie jak dla granicznej no
no
ci spr
ystej, dla
prostego rozci
gania i
ciskania.
W stanie granicznym plastycznym, prostok
tny rozkład napr
e
jest osi
gany dla dwóch
przypadkach szczególnych poło
enia osi oboj
tnej:
1. o
oboj
tna przechodzi przez półk
, 0.01 £ z
0
£ 0.02,
2. o
oboj
tna przechodzi przez
rodnik, -0.04 £ z
0
£ 0.01.
Całkuj
c warunki równowa
no
ci w pierwszym przypadku, dostajemy:
(
=
±
R
e
[
0
05
0
02
-
z
0
)
-
0
05
(
z
0
-
0
01
)
-
0
01
×
0
05
] (
=
±
2
0
.
01
-
z
0
)
7
,
M
=
±
R
e
[
0
05
(
0
02
-
z
0
) (
0
5
0
.
02
+
z
0
)
-
0
05
(
z
0
-
0
01
) (
0
5
z
0
+
0
01
)
+
0
05
×
0
.
01
×
0
015
]
(
=
±
0
0004
-
z
0
2
)
7
.
Ekstremum momentu le
y poza przedziałem.
Ä
Ô
.
N
10
10
A. Zaborski, Krzywe interakcji
M
–
N
W drugim przypadku, mamy:
(
=
±
R
e
[
0
05
×
0
01
+
0
01
0
.
01
-
z
0
)
-
0
01
(
z
0
+
0
04
)
]
(
=
±
4
0
01
-
z
0
10
6
,
M
=
±
R
e
[
0
05
×
0
01
×
0
015
+
0
01
(
0
01
-
z
0
) (
0
0
01
+
z
0
)
-
0
01
z
0
+
0
04
) (
z
0
-
0
04
)
]
(
=
±
2
0
0016
-
z
0
2
)
6
.
Ekstremum momentu wyst
pi dla z
0
= 0: N = 40 kN, M = 3.2 kNm.
Krzywe interakcji M(N) dla teownika
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
N
)
(
0
10
Plik z chomika:
pat807
Inne pliki z tego folderu:
Dokumentacja techniczna - symbole.pdf
(129 KB)
Ekstremalne naprężenia styczne.pdf
(71 KB)
Hipotezy wytężenia.pdf
(1320 KB)
Koło Mohra.pdf
(222 KB)
Krzywe belki statycznie wyznaczalne.pdf
(80 KB)
Inne foldery tego chomika:
Ćwiczenia
Laboratorium
Literatura
Zadania
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin