Rachunek prawdopodobieństwa.Zadania.pdf
(
1317 KB
)
Pobierz
379628739 UNPDF
Spis tre±ci
1 Elementarny rachunek prawdopodobie«stwa
3
2 Rachunek prawdopodobie«stwa
17
3 Rozkłady warunkowe
87
4 Nieobci¡»ono±¢ i minimalna wariancja estymacji
145
5 Modele statystyki matematycznej
159
6 Dostateczno±¢
173
7 Metoda ML
181
8 Metoda momentów
191
9 Testowanie i przedziały ufno±ci
199
10 Estymacja baeysowska
221
11 Regresja liniowa
231
12 Ła«cuchy Markowa
237
13 Algorytmy wyceny instumentów pochodnych 253
13.1 Oznaczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
13.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
14 Teoria gier 335
14.1 Oznaczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
14.2 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
15 Rachunek prawdopodobie«stwa w modelach aktuarialnych
341
1
2
SPIS TRECI
Rozdział 1
Elementarny rachunek
prawdopodobie«stwa
1. [42, EA 05.10.96 Zadanie 2] W czterech urnach, ponumerowanych liczbami
od 1 do 4 znajduje si¦ po cztery kule. W urnie o numerze
k
(
k
= 1
,
2
,
3
,
4)
znajduje si¦
k
kul białych i 4
−
k
kul czarnych. Z losowo wybranej urny
wylosowano kul¦ czarn¡. Jakie jest prawdopodobie«stwo wlosowania kuli
czarnej losuj¡c ponownie z tej samej urny.
4
,
ka»d¡ z nich. W nast¦pnym kul¦ z wybranej urny i w trzecim
ponownie kul¦ z tej samej urny. Je±li w pierszym losowaniu wylosowano
urn¦ o numerze
k,
to prawdopodobie«stwo wylosowania kuli czarnej wy-
nosi
k
4
i wylosowanie nast¦pnej czarnej z tej samej urny wynosi
k
−
1
3
.
St¡d
Pr ( W III etapie kula czarna
|
W II etapie kula czarna) =
Pr ( W II i trzecim etapie kula czarna
|
W II etapie kula czarna) =
1
4
·
0
+
4
·
2
4
·
1
+
4
·
3
4
·
2
+
4
·
4
4
·
3
2
3
3
3
3
3
=
4
·
1
4
·
2
4
·
3
4
·
4
+
+
+
4
4
4
4
4
2. [47, EA 05.04.97 Zadanie 2] W pierwszej skrzynce znajduje si¦ 15 jabłek
zdrowych i 5 zepsutych. W drugiej 14 zdrowych i 6 zepsutych. Wybieramy
3
Rozwi¡zanie:
Eksperyment traktujemy jako losowanie trójetapowe. W
pierwszym etapie losujemy urn¦ z równym prawdopodonie«stwem wyno-
sz¡cym
1
4
·
1
1
1
1
1
1
1
1
4
Rozdział 1. Elementarny rachunek prawdopodobie«stwa
losowo skrzynk¦, anast¦pnie z niej 3 jabłka. Jakie jest prawdopodobie«stwo
wybrania drugiej skrzynki, je±li wszystkie trzy jabłka okazały si¦ zdrowe.
Rozwi¡zanie:
Niech
S
1
i
S
2
oznaczaj¡ zdarzenia polegaj¡ce na tym, »e
wylosowano skrzynk¦ pierwsza¡ i drug¡ odpowiednio. Niech
A
oznacza
zdarzenie odpowiadaj¡ce wylosowaniu trzech zdrowych jabłek w drugim
losowaniu. Wtedy
Pr (
A
) = Pr (
A
|
S
1
) Pr (
S
1
)+Pr (
A
|
S
2
) Pr (
S
2
) =
15
20
14
19
13
18
2
+
14
13
19
12
18
1
2
20
St¡d
Pr (
S
2
|
A
) =
Pr (
A
|
S
2
)
Pr (
A
|
S
1
) Pr (
S
1
) + Pr (
A
|
S
2
) Pr (
S
2
)
=
4
9
.
4
3. [47, EA 05.04.97 Zadanie 1] W pierwszej urnie znajduje si¦ 10 kul po-
numerowanych od 1 do 10, w drugiej 20 kul ponumerowanych od 6 do
25. Losujemy jedn¡ kul¦ z ka»dej z urn. Jakie jest prawdopodbie«stwo
zdarzenia polegaj¡cego na tym, »e obie kule maj¡ ten sam numer.
Rozwi¡zanie:
Poniewa» losowania z urn s¡ niezale»ne, wi¦c przyjmuj¡c
=
{
(
i,j
) :
i
= 1
,
2
,...,
10
, j
= 6
,
7
,...,
25
}
,
8
i,j
Pr ((
i,j
)) =
1
10
1
20
.
Dla
A
=
{
(
i,i
) :
i
= 6
,
7
,...,
10
}
mamy Pr (
A
) = 5
1
10
1
20
=
1
40
.
4
4. [44, EA 16.11.96 Zadanie 1] Obliczy¢ Pr (
A
|
B
\
C
) je±li
Pr (
A
) =
2
5
,
Pr (
B
|
A
) =
1
4
,
Pr (
C
|
A
\
B
) =
1
2
,
Pr (
A
[
B
) =
6
10
,
1
3
.
Pr (
C
|
B
) =
Rozwi¡zanie:
Pr (
A
|
B
\
C
) =
Pr (
A
\
B
\
C
)
Pr (
B
\
C
)
=
Pr (
C
|
A
\
B
) Pr (
A
\
B
)
Pr (
B
\
C
)
=
1
2
·
Pr (
A
\
B
)
Pr (
B
\
C
)
1
2
·
Pr (
B
|
A
) Pr (
A
)
Pr (
B
\
C
)
2
·
1
4
·
Pr (
A
)
Pr (
C
|
B
) Pr (
B
)
=
=
=
2
·
1
4
·
2
1
3
·
Pr (
B
)
5
1
1
1
5
Poniewa»
6
10
= Pr (
A
[
B
) = Pr (
A
) + Pr (
B
)
−
Pr (
A
\
B
) =
2
5
+ Pr (
B
)
−
1
5
,
wi¦c Pr (
B
) =
3
10
i Pr (
A
|
B
\
C
) =
1
2
.
4
5. [42, EA 05.10.96 Zadanie 1] Niech zdarzenia
A, B, C
spełniaj¡ warunki
Pr (
A
|
B
\
C
) = 0
.
6
,
Pr (
B
|
A
\
C
) = 0
.
3
,
Pr (
C
|
A
\
B
) = 0
.
9
.
Obliczy¢ Pr (
A
\
B
\
C
|
(
A
\
C
)
[
(
A
\
C
)
[
(
B
\
C
))
.
Rozwi¡zanie:
Poniewa»
Pr (
A
\
B
\
C
|
(
A
\
C
)
[
(
A
\
C
)
[
(
B
\
C
)) =
Pr (
A
\
B
\
C
)
Pr (
B
\
C
) + Pr (
A
\
C
) + Pr (
A
\
B
)
−
2Pr (
A
\
B
\
C
)
oraz zachodz¡ równo±ci
Pr (
A
\
B
\
C
) = 0
.
6 Pr (
B
\
C
)
Pr (
A
\
B
\
C
) = 0
.
3 Pr (
A
\
C
)
Pr (
A
\
B
\
C
) = 0
.
9 Pr (
A
\
B
)
.
Niech
a
= Pr (
A
\
B
\
C
)
.
Wtedy
a
6
= 0 i
Pr (
A
\
B
\
C
|
(
A
\
C
)
[
(
A
\
C
)
[
(
B
\
C
)) =
a
0
.
9
+
a
0
.
3
+
a
0
.
6
−
2
a
=
9
37
4
6. [46, EA 18.01.97 Zadanie 1] Niech
A
1
,A
2
,C
b¦d¡ zdarzeniami spełniaj¡-
cymi warunki
A
1
\
A
2
\
C
=
;
, A
1
i
A
2
s¡ niezale»ne
Pr (
C
|
A
1
) =
1
3
,
Pr (
C
|
A
2
) =
1
2
,
Pr (
A
1
) =
1
2
,
Pr (
A
2
) =
1
2
.
Obliczy¢ Pr (
C
|
A
1
[
A
2
)
.
Rozwi¡zanie:
Pr (
C
|
A
1
[
A
2
) =
Pr ((
C
\
A
1
)
[
(
C
\
A
2
))
Pr (
A
1
) + Pr (
A
2
)
−
Pr (
A
1
\
A
2
)
=
1
6
1
4
−
0
Pr (
C
\
A
1
) + Pr (
C
\
A
2
)
−
Pr (
C
\
A
1
\
A
2
)
Pr (
A
1
) + Pr (
A
2
)
−
Pr (
A
1
) Pr (
A
2
)
+
5
9
.
=
1
2
2
−
1
=
+
4
a
1
Plik z chomika:
chomikSGHowy
Inne pliki z tego folderu:
Balicki A, Makać W - Metody wnioskowania statystycznego [fragment].pdf
(106241 KB)
Ignatczyk W, Chromińska M - Statystyka.Teoria i zastosowanie.pdf
(116914 KB)
Blalock H - Statystyka dla socjologów.pdf
(81489 KB)
King B, Minium E - Statystyka dla psychologów i pedagogów.pdf
(96277 KB)
Komosa A, Musiałkiewicz J - Statystyka.pdf
(87057 KB)
Inne foldery tego chomika:
_Matematyka. Rozwiązania
_Matematyka. Serie
Gorgoł I - Matematyka
Grzesiak M - Matematyka (Analiza, Algebra)
Jastrzębski T - Matematyka
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin