Autor: Wojciech Drabik (PJWSTK)
AM2:WYKŁAD-1
· METRYKA I TOPOLOGIA PRZESTRZENI Rn
· DZIEDZINA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
· GRANICA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
· CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
Rozważając funkcje rzeczywiste jednej zmiennej rzeczywistej mieliśmy do czynienia z dziedziną funkcji Dom(f) i zbiorem wartości Im(f).
Zbiory te były podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych R.
Dla funkcji wielu zmiennych rzeczywistych o wartościach rzeczywistych
o których będziemy mówić na tym wykładzie dziedziną będzie iloczyn kartezjański zbioru R a zatem ogólnie sytuacja wygląda nieco inaczej:
Ażeby nasze rozważania były ogólne wprowadzimy też ogólne pojęcie odległości (metryki) w zbiorze A.
Odległością d miedzy elementami P oraz Q zbioru A będziemy nazywali funkcję która przekształca iloczyn kartezjański AxA w zbiór liczb nieujemnych i ma określone własności:
nieujemność
symetria
warunek trójkąta dla elementów P,Q,R
Jeżeli nie jest spełniony warunek 4. to funkcję d nazywamy półodległością
Parę (A,d) nazywamy:
· przestrzenią metryczną jeżeli spełnione są warunki 1,2,3,4
· przestrzenią półmetryczną jeżeli są spełnione warunki 1,2,3
W szczególności w zbiorze którego elementami sa punkty oraz możemy wprowadzić odległość kartezjańską określoną definicją:
Przykładowo:
w zbiorze
Wprowadzimy też pojęcie otoczenia punktu o promieniu
oraz sąsiedztwa punktu o promieniu .
Zdefiniujemy teraz pojęcia charakterystycznych punktów zbioru.
Punkt wewnętrzny zbioru A
Punkt jest punktem wewnętrznym zbioru A
czyli jeżeli istnieje otoczenie tego punktu całkowicie zawarte w zbiorze A
Punkt zewnętrzny zbioru A
Punkt jest punktem zewnętrznym zbioru A
czyli jeżeli istnieje otoczenie tego punktu które nie zawiera żadnego punktu ze zbioru A
Punkt brzegowy zbioru A
Punkt jest punktem brzegowym zbioru A
czyli w każdym otoczeniu tego punktu są punkty należące do zbioru A i są punkty nie należące do zbioru A.
Punkt skupienia zbioru A
Punkt jest punktem skupienia zbioru A
czyli jeżeli w każdym sąsiedztwie tego punktu możemy znależć punkty ze zbioru A
Przykładowo: punkty wewnętrzne i punkty brzegowe są punktami skupienia zbioru.
Lokalizacja punktu wewnętrznego Pw, brzegowego Pb i zewnętrznego Pz.
Przy pomocy tych pojęć określimy nowe ważne definicje:
· Zbiór ograniczony
· Zbiór otwarty
· Zbiór domknięty
· Zbiór spójny (obszar)
Zbiór A jest ograniczony
Zbiór A jest otwarty zawiera wyłącznie punkty wewnętrzne
Zbiór A jest domknięty zawiera wyłącznie punkty skupienia (wewnętrzne i brzegowe)
Zbiór A jest obszarem
· Jest zbiorem otwartym
· Każde dwa punkty można połączyć łamaną całkowicie zawartą w tym zbiorze
Można też wypisać kilka wniosków wynikających z powyższych definicji.
Przestrzeń Rn oraz zbiór Æ jest jednocześnie zbiorem otwartym i domkniętym
Dopełnienie zbioru otwartego jest zbiorem domkniętym
Dopełnienie zbioru domkniętego jest zbiorem otwartym
Żaden punkt brzegowy zbioru otwartego do niego nie należy
Każdy punkt brzegowy zbioru domkniętego do niego należy
ZADANIE:
Na podstawie powyższych definicji wykaż ze zbiór
nie jest otwarty ani nie jest domknięty.
ROZWIĄZANIE:
Punkt A(1, 1/2) należy do zbioru ale nie jest punktem wewnętrznym – zbiór nie jest zatem zbiorem otwartym
Punkt B(1,1) jest punktem skupienia naszego zbioru ale nie należy
do tego zbioru – zbiór nie jest zatem zbiorem domkniętym.
Wprowadzimy teraz ważne pojęcie topologii przestrzeni metrycznej.
Topologią przestrzeni metrycznej (A,d) nazywamy rodzinę indeksowaną podzbiorów otwartych zbioru A takich że zachodzą nastepujące własności:
jest zbiorem otwartym zawartym w
Można wykazac że każda przestrzeń metryczna jest przestrzenią topologiczną.
Przejdźmy teraz do definicji funkcji wielu zmiennych
Funkcją n-zmiennych rzeczywistych nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi P zbioru dokładnie jednej liczby rzeczywistej
Zbiór D nazywamy dziedziną funkcji wielu zmiennych.
Zbiór punktów P przestrzeni dla których wzór funkcji f(P) ma sens nazywamy
dziedziną naturalną
Przykład funkcji 2-zmiennych:
Przykład funkcji 3-zmiennych: ...
chomikSGHowy