Miary_ryz.pdf

(91 KB) Pobierz
Microsoft PowerPoint - Miary_ryz
2009-05-24
Miary ryzyka,
zasady kalkulacji składek
Matematyczne podstawy teorii ryzyka
i ich zastosowanie
Semestr zimowy 2008/2009
R. Łochowski
Value at Risk
• - łączna wartość szkód z portfela ryzyk
• - pobrana składka
• - strata ubezpieczyciela
• Value at Risk (VaR, wartość zagrożoną) na
poziomie definiujemy jako
P
( )
X
L X X
=
− P
( )
a
( )
VaR L c L c
a
P
99.5%,99.9%
=
inf : 1
{
(
>
)
£ −
a
}
• zwykle
• Zadanie: udowodnić, że dla a>0:
a =
VaR aL b aVaR L b
a
(
+
)
=
Y
a
( )
+
Value at Risk, c. d.
• Jeżeli jest składką opartą na
kwantylu, wówczas
P
( )
X X
a
= P
( )
P P
( )
(
L X X
a
>
0
)
=
(
> P
( )
)
£ −
1
a
i
• Wada Value at Risk: niech - straty
możliwa jest sytuacja, gdy
- niezależne, lecz
VaR L c L c
a
=
inf : 1 0
{
P
(
>
)
£ −
a
}
£
L L L L
1 2 3 , ,
1 2 3 4
, , ,
L L L L
- -
r
S L L
(
1 3 , 1,
)
= 2 4
L L
VaR L L VaR L L
a
(
1 3
+
)
<
a
(
2 4 !
+
)
1
X
244528570.002.png
2009-05-24
Value at Risk, przykład
• Niech
• Niech - niezależne, o takim
samym rokładzie jak L
P
(
L
= − =
5 0.98, 100 0.02
)
P
(
L
=
)
=
L L L
, ,...,
•
•
VaR L = −
95% 100 500
(
Y
)
VaR L L L
95% 1 2
(
+
+
... ?
+
100
)
=
L L S S Bin
+
... 105 500, ~ 100,0.02
+
100
=
Y
−
(
)
• Stosujemy przybliżenie Poissona, i dostajemy
P
(
S e −
£
2
4 1 2 /1! ... 16 /4! 0.947
)
»
(
+
+
+
)
»
VaR L L
95% 1
(
+
... 1055 500 25
+
100
)
=
Y
−
=
Koherentne miary ryzyka
• Koherentną miarą ryzyka L nazywamy
charakterystykę ryzyka którą cechują
następujące własności
• monotoniczność
• podaddytywność
• dodatnia jednorodność
• niezmienniczość na przesunięcia
r
( ) ,
L
L L
³ ¼ ³
0 0
r
( )
r
(
L M L M
+
)
£
r
( ) ( )
+
( )
r
a aL a L
³ ¼
0
r
=
r
( )
r
(
L b L b
+
)
=
r
( )
+
Expected shortfall
• Expected shortfall, ES, jest zdefiniowany za
pomocą formuły
ES L VaR L du
a
( )
=
1
Ð
1
( )
1
−
a
a
u
• Jeżeli L ma rozkład ciągły, wówczas
ES L L L VaR L
a
( )
=
E
(
|
³
a
( )
)
• Expected shortfall jest koherentną miarą ryzyka
• Zadanie: Obliczyć ES dla strat z przykładu
dotyczącego VaR
2
1 2 100
1
244528570.003.png
2009-05-24
VaR i ES – różnice
•
odpowiada na pytanie:
Jaka jest najmniejsza strata wśród
największych strat, stanowiących 1%
wszystkich przypadków?
99%
( )
•
odpowiada na pytanie:
Jaka jest średnia strata wśród największych
strat, stanowiących 1% wszystkich
przypadków?
99%
( )
ES L VaR L
99%
( )
³
99%
( )
Estymatory Var i ES
• Niech - niezależne straty z pewnego
portfela ryzyk
L L
1 ,..., n
•
L L L
n n
£
£
...
£
n n
:
- statystyki pozycyjne
VaR L L
L L
a
( )
»
Ç É Ù
n n
:
( )
Ç É Ù
a
n n
:
+
...
+
n n
:
ES L
»
a
n
L L
1
...
(
−
a
)
Ç É Ù
a
n n
:
+
+
n n
:
( )
lim
=
ES L
n
® ¥
n
(
1
−
a
)
a
Podaddytywność ES
• Niech i niezależne próbki
z dwóch portfeli ryzyk
L L 1 ,..., n
1 ,..., n
M M
(
)
(
L M
+
)
Ç É Ù
a
n n
:
+
...
+
(
L M
+
)
n n
:
ES L M n
L L M M
n
+
»
a
(
1
−
a
)
Ç ×
a
n n
:
+
...
+
n n
:
Ç ×
a
n n
:
+
...
+
n n
£
+
(
)
(
)
1
−
a
n
1
−
a
»
ES L ES M
a
( )
+
a
( )
3
VaR L
ES L
1: 2:
a
:
É Ù
É Ù
244528570.004.png
2009-05-24
Zasady kalkulacji składek
• Składka oparta na wartości oczekiwanej
P
( ) (
1X X
=
+ E
q
)
• Składka oparta na wariancji
P
( )
2
X X X
=
E D
a
( )
• Składka oparta na odchyleniu standardowym
P
( )
X X X
=
E D
b
( )
• Składka oparta na FGK
1 ln X
P
( )
X e h
h
= E
Możliwe własności składek
• (A) Addytywność
P
(
X Y X Y
+
)
= P
( )
+ P
( )
• (H) Dodatnia jednorodność
( )
( )
0a aX a X
³ ¼ P
= P
• (T) Niezmienniczość na przesunięcia
P
(
X b X b
+
)
= P
( )
+
• (M) Monotoniczność
X Y X Y
³ ¼ P
( )
³ P
( )
Możliwe własności składek, c.d.
• (Sub) Podaddytywność
P
(
X Y X Y
+
)
£ P
( )
+ P
( )
• (Sup) Nadaddytywność
P
(
X Y X Y
+
)
³ P
( )
+ P
( )
• (AI) Addytywność dla ryzyk niezależnych
• (AC) Addytywność dla ryzyk
komonotonicznych
• (SL) Zachowywanie własności stop-loss
0d X d Y d X Y
+
E E
−
)
³
(
− ¼ P
)
+
( )
³ P
( )
4
" ³
(
244528570.005.png
2009-05-24
Składki i ich własności
A H T M Sub Sup AI AC SL
(
1 X
q
)
+ + - + + + + + +
E D
2
X X
a
( )
- - + - - - + - -
E D
X X
b
( )
- + + - - - - - -
h E
X
e h
- - + + - - + - +
5
+ E
+
+
1 ln
244528570.001.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin