Ubezp-4.pdf

(454 KB) Pobierz
gdzie:
2.3. UBEZPIECZENIE NA DOŻYCIE
Ubezpieczeniem na dożycie nazywamy ubezpieczenie, na mocy którego ubezpieczy-
ciel zobowiązuje się do wypłacenia sumy ubezpieczenia ubezpieczonemu w końcu n-
tego roku od momentu ubezpieczenia (w momencie x+n), jeżeli ubezpieczony będący
w momencie zawierania umowy ubezpieczenia w wieku x dożyje wieku x+n.
Dla wyznaczenia rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej S 3 charakteryzu-
jącej ubezpieczenie na dożycie, wartości oczekiwanej tej zmiennej E(S 3 ), jednorazowej
składki netto oraz wariancji, przyjmujemy wszystkie założenia i oznaczenia poczynione w
rozdziale 2.1. Wobec tego zobowiązania ubezpieczyciela w przypadku ubezpieczenie na
dożycie określa kapitał losowy
⎪
⎪
0
dla K
=
0 1 2
,, ,... 1
n
−
(2.22)
S
=
3
n
vlaKn
≥
o rozkładzie prawdopodobieństwa
1
==
−
∑
Pr (
ob S
)
p q
=
q
3
kxxk
+
nx
(2.23)
k
=
0
n
−
∑
1
Pr (
ob S v
==− =
)
1
p q
p
3
kxxk
+
nx
(2.24)
k
=
0
gdzie: n- okres dożycia.
Rozkład zmiennej losowej S 3 - ubezpieczenie na dożycie jest, więc rozkładem dwupunk-
towym przyjmującym wartość S 0 = 0 gdy ubezpieczony w wieku x nie dożyje wieku x+n
lub s 1 = v n gdy ubezpieczony dożyje wieku x+n (por. rozkład zero- jedynkowy) 9
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej S 3
k
k=0,1,2, ...n-1
n
s k
0
v n
P(S 3 =s k )
−
∑ =
0
1
p
= −
1
q
kxxk
pq
+
nx
q
nx
nx
k
=
Jednorazowa składka netto tego ubezpieczenia jest więc równa
41
⎧
n
n
n
190915250.019.png 190915250.020.png 190915250.021.png 190915250.022.png
3
n
⎛
⎜
n
∑
−
1
⎞
⎟
ASv
= = −
()
1
p q
(2.25)
3
kxxk
+
xn
:
⏐
k
=
0
ASv
⏐ = =
()
n
p
(2.26)
3
nx
xn
:
natomiast wariancja zmiennej losowej S 3 jest równa
DS v p q
()
2
=
2
n
2.27)
3
nxnx
Korzystając z własności funkcji tablicowych 10 oraz liczb komutacyjnych wzory 2.26 i
2.27 możemy przekształcić do postaci
A
3
=
D
D
xn
x
+
(2.28)
xn
: ⏐
Wariancję zmiennej losowe S 3 możemy wyznaczyć ze wzoru
( )
DS A
()
=
3
−
A
3
2
(2.29)
3
xnr r
:( )
⏐+
2
xn
:
⏐
Dla ilustracji własności zmiennej losowej S 3 w tablicy 2.8 zamieszczono rozkład tej
zmiennej dla sumy ubezpieczenia 50 tys. zł. oraz technicznej stopy procentowej r=0,05.
Tablica 2.8. Rozkład prawdopodobieństwa ubezpieczenia na dożycie
Kapitał losowy S 3 - 5 lat
Lata Obecna war-
tość sumy
Mężczyzna
Kobieta
ubezpieczenia
x=20 lat
x=40 lat
x=20 lat
x=40 lat
k
50v (k+1)
Prob(S 3 =k) Prob(S 3 =k) Prob(S 3 =k) Prob(S 3 =k)
0 - 4
0
0,008403
0,029607
0,001948
0,010718
5
39,176
0,991597
0,970393
0,998052
0,989282
9 Jóźwiak J.,Podgórski J., Statystyka od podstaw; PWE 1994
10 Mijakowska Jadwiga,Polskie Tablice Trwania Życia 1990-1991, GUS Warszawa 1993
42
3
2
190915250.001.png 190915250.002.png 190915250.003.png
 
ciąg dalszy tablicy 2.8
Kapitał losowy S 3 - 20 lat
Lata Obecna war-
tość sumy
Mężczyzna
Kobieta
ubezpieczenia
x=20 lat
x=40 lat
x=20 lat
x=40 lat
k
50v (k+1)
Prob(S 3 k) Prob(S 3 k) Prob(S 3 k) Prob(S 3 k)
0-19
0
0,048494
0,220955
0,014246
0,084675
20
18,844
0,951506
0,779045
0,985754
0,915325
Analizując dane zawarte w tablicy 2.8 zauważmy, że rozkład prawdopodobieństwa zmien-
nej losowej S 3 jest podobnie skrajnie asymetryczny jak rozkład zmiennej losowej S 2 .
Prawdopodobieństwo wypłaty sumy ubezpieczenia przez ubezpieczyciela dla krótkich
okresów ubezpieczenia waha się w granicach od 0,97 do 0,99 (jest prawie równe 1). Wo-
bec powyższego należy się spodziewać, że składka za to ubezpieczenie będzie wysoka i w
przybliżeniu równa wartości zdyskontowanej na okres ubezpieczenia sumy ubezpieczenia.
Podobnie będzie w przypadku ubezpieczenia na długie okresy (20 lat). Składka za ubez-
pieczenie będzie wysoka i w przybliżeniu równa obecnej wartości sumy ubezpieczenia.
Wraz ze wzrostem wieku osoby ubezpieczonej prawdopodobieństwo dożycia ustalonego
okresu czasu będzie się zmniejszać, co spowoduje nieznaczne zmniejszenie składki netto.
Powyższe przypuszczenia znajdują potwierdzenie w tablicy 2.9, gdzie zamieszczono wy-
sokość składki netto dla ubezpieczenia na dożycie 20 lat dla mężczyzny i kobiety w prze-
dziale wiekowym od 18 do 50 lat .
43
190915250.004.png
Tablica 2.9. Ubezpieczenie na dożycie 20 lat. Jednorazowa składka netto.
Wiek
MĘŻCZYZNA
KOBIETA
ubez.
w
latach
Składka
jednrazowa
w tys.zł
Odchylenie
standardowe
współczynnik
zmienności
Składka jedn-
razowa w
tys.zł
Odchylenie
standardowe
współczynnik
zmienności
x
A x
D
V
A x
D
V
18
18,045
3,798
0,210
18,617
2,057
0,110
19
17,990
3,921
0,218
18,598
2,140
0,115
20
17,931
4,048
0,226
18,576
2,233
0,120
21
17,868
4,177
0,234
18,551
2,335
0,126
22
17,801
4,311
0,242
18,522
2,445
0,132
23
17,727
4,452
0,251
18,489
2,563
0,139
24
17,643
4,605
0,261
18,453
2,687
0,146
25
17,547
4,771
0,272
18,413
2,819
0,153
26
17,438
4,952
0,284
18,368
2,958
0,161
27
17,317
5,143
0,297
18,319
3,103
0,169
28
17,183
5,343
0,311
18,266
3,252
0,178
29
17,040
5,546
0,325
18,209
3,401
0,187
30
16,887
5,750
0,341
18,150
3,550
0,196
31
16,724
5,955
0,356
18,089
3,698
0,204
32
16,551
6,161
0,372
18,023
3,847
0,213
33
16,366
6,369
0,389
17,954
3,999
0,223
34
16,169
6,577
0,407
17,878
4,157
0,233
35
15,958
6,787
0,425
17,795
4,321
0,243
36
15,734
6,996
0,445
17,704
4,493
0,254
37
15,494
7,205
0,465
17,604
4,673
0,265
38
15,240
7,412
0,486
17,495
4,859
0,278
39
14,969
7,617
0,509
17,376
5,051
0,291
40
14,681
7,818
0,533
17,249
5,246
0,304
41
14,374
8,016
0,558
17,110
5,447
0,318
42
14,049
8,208
0,584
16,959
5,654
0,333
43
13,708
8,391
0,612
16,794
5,868
0,349
44
13,353
8,563
0,641
16,612
6,090
0,367
45
12,986
8,722
0,672
16,413
6,317
0,385
46
12,608
8,867
0,703
16,194
6,552
0,405
47
12,216
8,999
0,737
15,953
6,792
0,426
48
11,810
9,115
0,772
15,687
7,038
0,449
49
11,387
9,215
0,809
15,395
7,288
0,473
50
10,948
9,298
0,849
15,073
7,540
0,500
Dane z tablicy 2.9 zilustrowano na rysunkach 2.10 i 2.11
44
190915250.005.png 190915250.006.png 190915250.007.png 190915250.008.png 190915250.009.png 190915250.010.png 190915250.011.png 190915250.012.png
Rys.2.10.UBEZPIECZENIE NA DOŻYCIE. JEDNORAZOWA
SKŁADKA NETTO.
(Warunki: suma ubezp.50 tys.zł., okres dożycia 20 lat,
tech.stp.r=0,05)
Składka-m Ax
Składka-m Ax+D
Składka-k Ax
Składka-k Ax+D
25,000
20,000
15,000
10,000
5,000
0,000
WI EK UBEZ P I EC Z ONEGO w l a t a c h
Rys.2.11.UBEZPIECZENIE NA DOŻYCIE.
WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI.
(Warunki: suma ubezp.50 tys.zł., okres dożycia
20 lat., tech.stp.r=0,05
V-mężczyzna
V-kobieta
0,900
0,800
0,700
0,600
0,500
0,400
0,300
0,200
0,100
0,000
W IEK UBEZ P IEC Z ONEGO w l a t a c h
45
190915250.013.png 190915250.014.png 190915250.015.png 190915250.016.png 190915250.017.png 190915250.018.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin