gdzie oznacza moment bezwładności pola przekroju ciała płaszczyzną pływania względem osi x (obliczony zgodnie z oznaczeniami osi przyjętymi na rys. 2.8c). Wprowadzając tę zależność do wzoru (2.38) obliczamy
(2.40)
gdzie t jest objętością zanurzonej części ciała.
Oznaczmy odległość środka ciężkości od środka wyporu literą a; przyj-miemy gdy środek ciężkości leży powyżej środka wyporu. Przedłużając linię działania siły otrzymujemy na przecięciu się z osią punkt M, nazywany punktem metacentrycznym lub metacentrum . Odległość metacentrum od środka ciężkości nazywa się wysokością metacentryczną; jest ona oznaczana literą m. Przyjmuje się w przypadku gdy metacentrum leży powyżej środka ciężkości Z rys. 2.8b i 2.8d wynika, że ciało pływające na powierzchni jest stateczne w zakresie małych wychyleń z położenia równowagi o elementarnie mały kąt, gdy odległość metacentryczna jest dodatnia
(2.41)
Z zależności geometrycznych, widocznych na rys. 2.8b, wyznaczamy
i następnie po wykorzystaniu (2.40) ostatecznie otrzymujemy
(2.42)
ĆWICZENIA
Przykład 2.1. Mikromanometr napełniony dwiema cieczami nie mieszającymi się o różnych gęstościach i zbudowano w kształcie U-rurki z dwoma zbiorniczkami (rys. 2.9). Średnica rurki d = 8 mm, średnica zbiorniczka D = 80 mm. Określić zależność pomiędzy różnicą ciśnień a wysokością h słupa cięższej cieczy.
Rys. 2.9
Z rys. 2.9 wynikają zależności:
które odejmujemy stronami
Z porównania wypartych objętości cieczy mamy
oraz
czyli
Po wykorzystaniu tych wzorów uzyskujemy związek
i ostatecznie otrzymujemy
Przykład 2.2. Do U-rurki zatopionej z jednej strony nalewano stopniowo rtęci (rys. 2.10). Znając ciśnienie atmosferyczne oraz wysokość rurki h, wyprowadzić zależność między wysokościami a i b poziomów rtęci w obu ramionach U-rurki.
Rys. 2.10
Zakładamy, że sprężanie powietrza w zamkniętym ramieniu U-rurki odbywa się izotermicznie. Obowiązuje więc w tym przypadku prawo Boyle’a-Mariotte’a
gdzie jest nieznanym ciśnieniem powietrza.
Drugie równanie wynika z warunku równości ciśnień na poziomie 0-0:
Po wyeliminowaniu ciśnienia otrzymujemy:
Przykład 2.3. W akumulatorze hydraulicznym (rys. 2.11) całkowicie wypełnionym olejem o gęstości zainstalowano dwa cylindry z tłokami, przesunięte względem siebie o wysokość h = 0,5 m. Na tłok o średnicy d = 25 mm działa siła Jaką siłę należy przyłożyć do drugiego tłoka, o średnicy D = 100 mm, aby układ znajdował się w stanie równowagi?
Rys. 2.11
Ciśnienie na poziomie osi symetrii tłoka o średnicy D (poziom 1 na rys. 2.11) wynosi
.
Ponieważ:
zatem
Z ostatniej zależności wyznaczamy siłę
Po podstawieniu danych liczbowych otrzymamy
Przykład 2.4. Cylindryczny zbiornik wypełniony cieczą wiruje dookoła pionowej osi ze stałą prędkością kątową w (rys. 2.12a). Wyznaczyć kształt powierzchni swobodnej w zbiorniku oraz określić rozkład ciśnienia.
Rys. 2.12
Jednostkowa siła masowa działająca na dowolną cząstkę w naczyniu (rys. 2.12b) jest wypadkową jednostkowej siły ciężkości i jednostkowej siły bezwładności, które wyrażają się następującymi zależnościami:
Równanie powierzchni ekwipotencjalnej ma postać
po jego scałkowaniu uzyskujemy związek
który łatwo można zapisać w układzie współrzędnych cylindrycznych
Powierzchnie ekwipotencjalne (również powierzchnia swobodna) są więc paraboloidami obrotowymi.
Z warunku dla mamy
a stałą można wyznaczyć porównując objętość cieczy w spoczynku i ustalonym ruchu obrotowym.
Rozkład ciśnienia wynika z rozwiązania równania (2.9). Po jego scałkowaniu i wyznaczeniu stałej całkowania z warunku dla , otrzymujemy
Przykład 2.5. Określić stosunek wysokości zapory do jej szerokości z warunku, że moment Ph wywracający zaporę stanowi połowę momentu ustateczniającego G b (rys. 2.13). Długość zapory w kierunku normalnym do płaszczyzny przedstawionej na rysunku 2.13 wynosi L; zaporę traktujemy jako bryłę jednorodną o ciężarze właściwym ; ciężar właściwy wody .
Rys. 2.13
Parcie działające na zaporę obliczamy ze wzoru (2.26)
Odległość punktu przyłożenia wypadkowej parcia od zwierciadła wody jest określona wzorem (2.28). Wobec tego
Zważywszy następnie, że:
ze wzoru
obliczamy
Przykład 2.6. Zbiornik wody jest zamknięty obrotową płytą, wygiętą w kształcie ćwiartki walca kołowego i obracającą się względem osi, której śladem jest punkt S (rys. 2.14). Należy obliczyć wypadkowe parcie na płytę, jego punkt przyłożenia oraz moment względem osi S. Szerokość zbiornika wynosi L.
Rys. 2.14
Składowe Px i Pz wynikają bezpośrednio ze wzorów (2.30) i wynoszą:
Dowolne parcie elementarne przechodzi przez punkt N, przez ten punkt będzie również przechodzić wypadkowa układu parć elementarnych. Stąd wyznaczymy kąt b, jaki tworzy siła z płaszczyzną poziomą.
Linia działania składowej Px jest określona wzorem (2.31); jej odległość od zwierciadła cieczy jest więc równa
Linia działania składowej Pz przechodzi przez środek ciężkości bryły jednorodnej, o podstawie będącej różnicą powierzchni H R i ćwiartki koła; jej położenie określamy wykorzystując wzór (2.32)
...
lukasz938