1.          Teoria popytu

2.          Teoria produkcji

3.          Teoria przedsiębiorstwa

4.          Równowaga rynkowa

f: R®R funkcja (odwzorowanie) każdej liczbie rzeczywistej  przypisuje liczbę rzeczywistą.

f: Rm®Rn

|2 1 3|

|5 7 1| : R3®R2 f. liniowa

X=(X1, X2, ... Xn)

f(x)=(f1(x), f2(x), ..., fn(x)) f. wektorowa

f(x1, x2)=ax1µ1 x2µ2

Zadanie: znaleźć min lub max punkty funkcji.

f: R®R

f ’(x) = 0 : x *  (pochodna)

f ‘’(x*) { >0 min  , =0 pkt przegięcia,  <0 max

pkt przegięcia – wypukłość

ujemna – wklęsła

(xa)’ = axa-1

(ax) = axln a

(ex)’ = ex

f: Rm®R

GRADIENT FUNKCJI – wektor pochodnych cząstkowych.

przyrównujemy do zera wektor.

x* - wektor podejrzany o ekstremum

x* = (x*1,...x*n)

DRUGA POCHODNA (Hesjan)

Jeżeli jest dodatnia, określona to mamy minimum, jeżeli (-) ta macierz jest dodatnia, określona to

mamy maximum. Jeżeli macierz jest nieokreślona to nie wiemy co się dzieje.

f(x1,x2) =  x1x2

(x2,x1)

Jeżeli są dodatnie to wartość jest dodatnia. Jeżeli są naprzemian to ujemne. Jeśli dowolnie biegną znaki to macierz jest nieokreślona.

Zad. – min i max  f:Rm®R przy ograniczeniach  h1(x)=0, h2(x)=0, h3(x)=0

FUNKCJA LAGRANGE’AL

(X, l1l2... lk)=

gdzie l1... lk – sztuczne zmienne

przyrównujemy do zera

f(x1x2)=x1x2

p1x1+bx2=1

L(X1, l1)=x1x2-l(p1x1+bx2-1

)

Metoda sympleks – pochodna logarytmiczna

TEORIA POPYTU.

Wektor cen n towarów: p=(p1,...,pn)

dochód konsumenta: J>0

koszyk towarów: x=(x1,...xn)  -ilość nabytego towaru

x>=0 konsument ma coś kupić

Koszyk towarów zakupiony

przez konsumenta

D - zbiór wszystkich możliwości koszyków.

Zakładamy, że możemy wydać tyle ile wynoszą nasze dochody J.

Relacja preferencji e.

dwa koszyki x oraz y są w relacji preferencji (x>=y) jeżeli konsument przedkłada koszyk x nad y.

1.          (przechodniość)

2.         

(zupełność)

koszyki równoważne (indyferentne)

x~y:              x³y oraz y³x

koszyk x jest silnie preferowany nad y (x>y)

x³y oraz nieprawda (y³x)

FUNKCJA UŻYTECZNOŚCI u(x).

funkcja rzeczywista określona na przestrzeni towarów, taka że "x,y zachodzi:

u(x) ³u(y)«x³y

u(x) ³u(y)«x>y

Własności funkcji użyteczności:

funkcja u(x) jest wklęsła

("x,y:x ły)( "a,b>0:a+b=1)(x)³u(y)Þu(ax+by)³u(y)

Jeżeli mamy dwa koszyki różnorodne użyteczność mniej preferowanego koszyka może być powiększona przez dodanie innych elementów z koszyka lepszego. Można polepszyć wartość górnego koszyka dodając do niego coś z lepszego.

im więcej towarów tym wzrost użyteczności jest mniejszy. Nie jest obowiązkowa cecha f. użyteczności.

1.          Niedosyt:

("x,y : x³y Ù x¹y) x>y

funkcja rosnąca, nawet dodanie jednego towaru zawsze zwiększa użyteczność bez względu na to ile mamy.

FUNKCJA UŻYTECZNOŚCI

1.multiplakatywna             

2. logarytmiczna

3. addytywna

4. kwadratowa

ad 1

u(x1,x2)=x1a,x2a2

Krańcowa użyteczność i-tego towaru (pochodna użyteczności i-tego towaru)

zad.

PRAWO GOSSENA

Krańcowa użyteczność towaru maleje wraz ze wzrostem jego spożycia

Użyteczność-funkcja która przypisuje różnym towarom liczby rzeczywiste z reguły dodatnie

użyteczność = u      2 towary

SUBSTYTUCJA - zamiana towaru tak aby u=constans

FUNKCJA SUBSTYTCYJNA

Krańcowa stopa substytucji

Elastyczność substytucji

Zadanie maksymalizacji użyteczności ; znaleźć taki koszt , że max

FUNKCJA POPYTU

Optymalny koszyk przy dalszych cenach i dochodach    

Efektywne wyznaczanie f. popytu

f. Lagrange’a

koszyk x (z daszkiem) leży na linii budżetowej jeżeli :<x (z.dasz),p>=I

FUNKCJA POPYTU.C.D

Zadanie maksymalizacji użyteczności znaleźć taki koszyk x ,że

rozw.

funkcja popytu:j (p,1)

Efektywne wyznaczanie funkcji popytu

f. Lagrange’a

koszyk x (z daszkiem) leży na linii budżetowej jeżeli :<x (z.dasz),p>=I

FUNKCJA POPYTU.C.D

Zadanie maksymalizacji użyteczności znaleźć taki koszyk x ,że

rozw.

funkcja popytu:j (p,1)

Efektywne wyznaczanie funkcji popytu funkcja Laagrange’a.

Koszyk x(z daszkiem)leży na linii budżetowej, jeżeli <x(zdasz),p>=1

WŁASNOŚC FUNKCJI POPYTU

1.Brak iluzji pieniądza

2. Dochód kompensujący zmianę ceny:

jeżeli przy jakimś dochodzie możemy coś nabyć to , przy innych cenach mogę nabyć inny koszyk tow., to musimy zastanowić się ile musi wynosić nasz dochód („nowy”)czyli kompensujący zmianę cen.

Dochód kompensujący zmianę ceny

z p0 na p

Badany optymalny koszyk, ze względu na zmiany cen

RÓWNANIE SŁUCKIEGO

Reakcja na zmiany cen:

Całkowity efekt wpływu zmiany ceny na wielkość popytu jest równy sumie efektu z tytułu zmiany ceny kompensowanej przez odpowiednią zmianę dochodu i wpływu, który na zmianę popytu wywiera zmiany dochodu.

Relacje pomiędzy towarami przy zmianie popytu z zach. tej samej użyteczności.

Zmiana popytu na i-ty towar przy kompresowanym jednostkowym wzroście ceny j-tego towaru jest równy zmianie na j-ty towar kompresowanym jednostkowym wzroście ceny i-tego towaru.

1.          Przy wzroście dochodu konsensującym wzrost ceny towaru , popyt na ten towar maleje

4. Jeżeli wraz ze wzrostem ceny popyt na dany towar rośnie to wraz ze wzrostem dochodu popyt na ten towar maleje(paradoks Giffena).

Inna charakterystyka

Jak reaguje popyt na wymiany między towarami

na przekątnej : elastyczność cenowa popytu

poza przekątną: elastyczność cenowa popytu. 

Dla optymalnego koszyka towarów krańcowa stopa substytucji( dynamika wymiany towarów) jest równa stosunkowi cen substytuowanych towarów

Końcowa użyteczność dochodów

x=x1 *1/pj   

Elastyczność dochodowa

KLASYFIKACJA