TEORIA STANU ODKSZTAŁCENIA 8
1. WEKTOR PRZEMIESZCZENIA
« położenie pkt. P przed deformacją
« położenie pkt. P po deformacji
« przemieszczenie punktu P
« wektorowe pole przemieszczeń
2. ZMIANA ODLEGŁOŚCI MIĘDZY PUNKTAMI
« położenie pkt. Q po deformacji
« kwadrat odległości między punktami P i Q przed deformacją
« kwadrat odległości między punktami P' i Q' po deformacji
Þ
« obliczenie różnicy kwadratów odległości punktów po i przed odkształceniem
- różniczka zupełna
i, j =1, 2, 3
macierz stanu odkształcenia ( II rzędu, symetryczna )
« Macierz stanu odkształcenia jest TENSOREM
Dowód: w "nowym " układzie , obróconym wzg. układu wyjściowego
pr. transformacji tensora
3. ODKSZTAŁCENIA LINIOWE I KĄTOWE
« wybieramy 2 włókna : PQ równoległe do osi x1 i PR równoległe do x2. Wyznaczyć długości tych włókien oraz kąt między nimi po odkształceniu .
« długości włókien PQ, PR i QR przed odkształceniem
« długość włókna po odkształceniu
« długości włókien P'Q', P'R', Q'R' po odkształceniu
« zmiana kąta między włóknami P'Q' i P'R' (tw. Carnota , "tw. cosinusów")
« odkształcenia liniowe (względna zmiana długości włókna PQ)
nie ma sumowania po "i"
« odkształcenia kątowe
4. RÓWNANIA GEOMETRYCZNE
« związki między przemieszczeniami i odkształceniami
są to nieliniowe równania geometryczne
« linearyzacja równań geometrycznych
założenie : pochodne przemieszczeń są wielkościami małymi
WNIOSEK : kwadraty pochodnych przemieszczeń, jako małe wyższego rzędu można pominąć.
« odkształcenia liniowe
2 eii << 1 Þ
dla małych a arcsin a @ a Þ
« liniowe równania geometryczne - równania Cauchy'ego
« tensor odkształcenia
5. KINEMATYCZNE WARUNKI BRZEGOWE
« liniowe równania geometryczne ( rów. Cauchy'ego ) - 6 równań różniczkowych cząstkowych wzg. 3 nieznanych funkcji przemieszczeń
« rozwiązanie ma postać :
- całka ogólna układu równań różniczkowych jednorodnych (opisuje stan bezodkształceniowy eij =0 - przemieszczenia punktów bryły sztywnej)
- całka szczególna układu równań różniczkowych niejednorodnych
« elementarne przekształcenia algebraiczne i różniczkowe prowadzą do całki ogólnej w postaci
Ostatecznie otrzymujemy zatem rodzinę rozwiązań o 6 parametrach a, b, c, d, f i g.
Parametry te określa się z warunków wynikających ze sposobu podparcia konstrukcji. Warunki te noszą nazwę kinematycznych warunków brzegowych.
« przykłady kinematycznych warunków brzegowych
A.
B.
C.
6. RÓWNANIA NIEROZDZIELNOŚCI ODKSZTAŁCEŃ
- liniowe równania geometryczne ( rów. Cauchy'ego )
- 6 równań różniczkowych ze wzg. na niewiadome 3 funkcje przemieszczeń
- rozwiązanie istnieje tylko wówczas, gdy między odkształceniami zachodzą związki zwane równaniami nierozdzielności.
przestawienia wskaźników :
« liczba równań (liczba 4 elementowych wariacji ze zbioru 3 elementowego) wynosi 34 = 81, ale liczba równań niezależnych wynosi 6
« interpretacja geometryczna
7. DEFORMACJA SZEŚCIANU JEDNOSTKOWEGO
Problem : Określić deformację sześcianu o jednostkowych krawędziach ("obraz" punktu materialnego tzn. punktu o przypisanej masie).
A. W układzie współrzędnych określonym przez osie główne tensora odkształcenia
« długości krawędzi sześcianu jednostkowego po odkształceniu
« zmiana objętości sześcianu
« zmiana kątów między krawędziami sześcianu - nie występuje, gdyż dla i ¹ j, eij=0.
WNIOSEK :
1) zmiana objętości zwana dylatacją jest równa I niezmiennikowi tensora, jest więc taka sama w każdym układzie współrzędnych
2) nie występuje zmiana postaci
B. W dowolnym układzie współrzędnych
« zmiana objętości sześcianu - dylatacja
« zmiana kątów między krawędziami sześcianu
1) zmianę objętości, niezależnie od ukł. współrzędnych opisuje I niezmiennik
2) występowanie zmiany postaci zależy od układu współrzędnych.
8. DEWIATOR I AKSJATOR SYMETRYCZNEGO TENSORA II RZĘDU
TWIERDZENIE :każdy tensor symetryczny II rzędu można przedstawić w postaci sumy dwóch tensorów symetrycznych w postaci :
« aksjator
« dewiator
9. AKSJATOR I DEWIATOR TENSORA ODKSZTAŁCENIA
« I niezmiennik (zmiana objętości) aksjatora i dewiatora
dla aksjatora
dla dewiatora
WNIOSKI :
1) całą zmianę objętości opisuje aksjator tensora odkształcenia, nie opisuje on zmiany postaci
2) zmianę postaci opisuje dewiator tensora odkształcenia, nie opisuje on zmiany objętości
ichtiostega