Transformacja lorentza.pdf

(182 KB) Pobierz
(anonymous)
Transformacja Lorentza
1
Transformacja Lorentza
Transformacja Lorentza – przekształcenie liniowe
przestrzeni Minkowskiego zachowujące odległości w
metryce tej przestrzeni. W przeciwieństwie do
transformacji Galileusza, gdzie niezmiennikiem jest
czas i odległość, w transformacji Lorentza
niezmiennikami są np. interwał (odległość zdarzeń w
czasoprzestrzeni) i masa spoczynkowa, podczas gdy
odległość i czas mogą mieć różne wartości, zależne od
prędkości układu odniesienia. Fundamentalną cechą
transformacji Lorentza jest niezależność prędkości
światła od prędkości układu.
W fizyce, transformacje Lorentza opisują zależności
między współrzędnymi i czasem tego samego zdarzenia w dwóch inercjalnych układach
odniesienia wg szczególnej teorii względności. Wg klasycznej mechaniki, zależność między
czasem i współrzędnymi opisują transformacje Galileusza.
W ujęciu standardowym
Transformacje Lorentza mają najprostszą postać wówczas, gdy odpowiadające sobie osie
współrzędnych kartezjańskich inercjalnych układów odniesienia, nieruchomego K i
poruszającego się K', są do siebie wzajemnie równoległe, przy czym układ K' porusza się ze
stałą prędkością wzdłuż osi OX. Jeśli ponadto jako początek odliczania czasu w obu
układach ( ) i ( ) wybrany został moment, w którym początki osi współrzędnych
O i O' w obu układach pokrywają się, to transformacje Lorentza są w postaci:
gdzie
lub inaczej
Dla prędkości znacznie mniejszych od prędkości światła
i
, transformacja
Lorentza staje się równoważna z transformacją Galileusza. Oznacza to, że ta druga jest
przybliżeniem transformacji Lorentza dla małych prędkości.
112370133.028.png 112370133.029.png 112370133.030.png 112370133.031.png 112370133.001.png 112370133.002.png 112370133.003.png 112370133.004.png 112370133.005.png 112370133.006.png 112370133.007.png 112370133.008.png 112370133.009.png 112370133.010.png
 
Transformacja Lorentza
2
W ujęciu macierzowym
Rozpatrujemy czterowektory , których jedną współrzędną (numerowaną od 0) jest składowa
czasowa jakiejś wielkości, a pozostałymi trzema współrzędnymi - klasyczne składowe
przestrzenne. W wartościach współrzędnych czterowektorów kryje się wybór konkretnego
układu współrzędnych. Aby uzyskać współrzędne interesujących nas wektorów w innym
układzie, należy dokonać transformacji (stosujemy konwencję sumacyjną Einsteina) :
gdzie:
     - wektor w oryginalnym układzie współrzędnych
- wektor w nowym układzie współrzędnych
  - przekształcenie między starym a nowym układem współrzędnych.
Tensorem metrycznym (metryką) przestrzeni Minkowskiego jest macierz 4x4 której
składową (0,0) jest -1, pozostałymi składowymi diagonalnymi jest 1, a wszystkimi innymi
składowymi - 0. Metrykę oznaczamy literą g. Aby przekształcenie było transformacją
Lorentza, musi pozostawiać metrykę niezmienioną, a wyznacznik jego macierzy musi
wynosić 1 lub -1.
Podgrupy
Jeżeli zażądamy, żeby wyznacznik macierzy przekształcenia Lorentza był równy dokładnie
1, uzyskamy grupę Lorentza bez odbić przestrzennych .
Przekształcenie Lorentza, którego wszystkie współrzędne z wymiarem czasowym są równe
0, z wyjątkiem elementu diagonalnego, który jest równy 1, nazywamy obrotem .
Przekształcenie Lorentza, którego wszystkie współrzędne bez wymiaru czasowego są równe
0, z wyjątkiem elementów diagonalnych, które są równe 1, nazywamy pchnięciem .
Pchnięcie przekształca układ współrzędnych w układ poruszający się względem
oryginalnego ze stałą prędkością.
Przekształcenia Lorentza bez przesunięć (translacji), czyli takie, które przekształcają
początek układu współrzędnych w samego siebie, nazywane są jednorodnymi
przekształceniami Lorentza . Przekształcenia Lorentza rozpatrywane razem z
przesunięciami nazywają się niejednorodnymi przekształceniami Lorentza .
112370133.011.png 112370133.012.png 112370133.013.png 112370133.014.png 112370133.015.png
 
Transformacja Lorentza
3
Wyprowadzenie zjawisk relatywistycznych
Z równań transformacji Lorentza można wyprowadzić wszystkie zjawiska szczególnej teorii
względności. Ograniczymy się tutaj do zjawisk kontrakcji i dylatacji.
Skrócenie Lorentza- Fitzgeralda
Istotna dla nas dwuwymiarowa czasoprzestrzeń z perspektywy układu B x',t' w porównaniu z
układem A x,t jest opisana następującymi równaniami:
(ponieważ mierzone ciało jest częścią A, więc z perspektywy B jest w ruchu wzdłuż OX ',
stąd konieczność zagwarantowania względnie jednoczesnego pomiaru). Najpierw wyrazimy
x' za pomocą t':
Obliczmy długość L' (zał. t' 1 = t' 2 ):
Ponieważ > 1, więc ciało o długości spoczynkowej L zmierzonej w układzie A jest z
perspektywy układu B krótsze, co potwierdza relatywistyczną kontrakcję.
Dylatacja czasu
Czas własny układu mierzy się poprzez zdarzenia zachodzące w tym samym punkcie
przestrzeni x (np. przy pomocy zegara świetlnego; zegar świetlny mierzy wędrówkę
promienia, prostopadłego do dwóch ustawionych naprzeciw siebie luster). A zatem układ
A x,t mierzy swój czas własny przy założeniu Δ x=0. Przy przejściu do układu B zachowujemy
to Δ x=0, gdyż chodzi o te same zdarzenia. Na podstawie transformacji Lorentza mamy:
co jest wzorem na dylatację czasu ( > 1).
Zobacz też
Przez długość rozumiemy odległość dwóch punktów x' 1 , x' 2 na osi OX' w tej samej chwili t'
112370133.016.png 112370133.017.png 112370133.018.png 112370133.019.png 112370133.020.png 112370133.021.png 112370133.022.png 112370133.023.png 112370133.024.png 112370133.025.png
Transformacja Lorentza
4
Źródła i autorzy artykułu
Transformacja Lorentza   Source : http://pl.wikipedia.org/w/index.php?oldid=16630976   Contributors : 4C, AN, Beno, Kirq, Konradek, Loxley, Lzur, Ml7,
Mpfiz, PMG, Reytan, Selena von Eichendorf, Stok, 28 anonymous edits
112370133.026.png
 
Transformacja Lorentza
5
Źródła, licencje i autorzy grafiki
Plik:Lorentz transform of world line.gif   Source : http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:Lorentz_transform_of_world_line.gif   License :
unknown   Contributors : -
112370133.027.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin