Prawa rachunku kwantyfikatorów cd.
Prawa rozdzielności kwantyfikatorów:
\-/x(A -> B) -> [\-/x(A) -> \-/x(B)]
\-/x(A -> B) -> [3x(A) -> 3x(B)]
\-/x(A ^ B) <-> \-/x(A) ^ Ax(B)
3x(A ^ B) -> 3x(A) ^ 3x(B)
\-/x(A) v \-/x(B) -> Ax(A v B)
3x(A v B) <-> 3x(A) v 3x(B)
\-/x(A <-> B) -> [\-/x(A) <-> \-/x(B)]
\-/x(A <-> B) -> [3x(A) <-> 3x(B)]
Prawa uszczegóławiania:
\-/x(A -> B) ^ (A(x/t) -> B(x/t), o ile term t jest podstawialny za x do A i do B. [~ modus ponendo ponens]
\-/x(A -> B) ^ ~B(x/t) -> ~A(x/t), o ile term t jest podstawialny za x do A i do B. [~ modus tollendo tollens]
Wymagana znajomość do egzaminu
Def. 3) Dowód [wersja dla humanistów] Dowodem formalnymformuły A w oparciu o zbiór aksjomatów KRP nazywamy każdy skończony ciąg formuł:
(D) D1, D2, ..., Dn
taki, że:
(1) Formuła ostatnia Dn jest identyczna z formułą dowodzoną A.
(2) Formuła pierwsza D1 jest aksjomatem KRP.
(3) Każda formuła w ciągu (D) nie będąca aksjomatem KRP powstaje z poprzedzających ją formuł w tym ciągu przez zastosowanie do nich jednej z przyjętych reguł inferencyjnych, tj. Reguły odrywania (RO), bądź reguły generalizacji (RG).
Def 3a) Dowodem formalnym [dla purystów] formuły A w oparciu o zbiór aksjomatów KRP nazywamy każdy skończony ciąg formuł D1, ..., Dn taki, że Dn = A oraz dla każdego wskaźnika k _< n spełniony jest przynajmniej jeden z następujących warunków:
(1) Dk e Arp
(2) Istnieje takie i, j, że i<k, j<k oraz Dj ma postać Dt -> Dk
(3) Istnieje takie j < k oraz i, że Dk ma postać \-/xi(Dj).
Def. 4) Teza KRP. Formuła A jest tezą KRP wtw jest ona aksjomatem KRP bądź posiada co najmniej jeden dowód w oparciu o aksjomaty KRP.
Dygresja: ciąg jednowyrazowy <A>, gdzie A jest aksjomatem, podpada pod powyższe określenie dowodu. Tak więc, w definicji tezy wystarczyłoby sformułowanie „ma co najmniej jeden dowód w oparciu o aksjomaty”. Oczywiście taki dowód aksjomatu nie jest żadnym jego uzasadnieniem. Uznanie ciągu <A> za dowód aksjomatu A ma charakter czysto techniczny.
Aby rozwijać pewne teorie np. Matematyczne niezbędne jest dysponowanie symbolem dla relacji identyczności. Syntaktycznie rzecz biorąc znak identyczności jest predykatem 2. argumentowym (infiksowy). Ponieważ postać graficzna znaku jest nieistotna możemy przyjąc, że identyczność jest reprezentowana przez jakiś predykat 2. argumentowy np. P21 . Gdy chcemy budować rachunek predykatów z identycznością (KRPI) wprowadzamy jednak pewien specjalny znak dla relacji identyczności jako osobną stałą logiczną, np. „=”. Język KRPI różni się od języka KRP tylko tym, że mamy w nim dwa rodzaje formuł atomowych:
t1 = t2
Pkn (t1 , ..., tn),
gdzie t1, t2, ..., tn są dowolnymi termami. Wprowadzenie do słownika znaku identyczności wymaga więc zmodyfikowania definicji formuły atomowej poprzez dodanie do niej odpowiedniego warunkuL jeżeli t1 i t2 są termami, to wyrażenie t1 = t2 jest formułą atomową (!).
W KRPI przyjmuje się wszystkie aksjomaty i reguły, które obowiązują w KRP oraz dodatkowo przyjmuje się jako aksjomaty następujące formuły:
I1. x = x [zwrotność]
I2. x = y -> y = x [symetryczność]
I3. x = y ^ y = z -> x = z [przechodniość]
I4. x = y ^ Pk(z1, ..., zi-1, x, zi+1 , ..., zn) -> Pk(z1, ..., zi – 1, y, zi+1, ..., zn)
I5. x = y -> fk(z1, ..., zi-1, x, zi+1 , ..., zn) = fk(z1, ..., zi – 1, y, zi+1, ..., zn)
Dygresja: I4 i I5 to schematy aksjomatów zwanych aksjomatami ekstensjalności (gwarantują one wymienialność równego przez równe).
Notacja: Aid = zbiór aksjomatów dla indentyczności.
Jeśli języka rachunku predykatów wyróżnia predykat identyczności „=” w zwykłym jego znaczeniu to j. Taki pozwla na wprowadzenie pewnych nowych stałych nazwowych i predykatów przy pomocy definicji. Np. Można wprowadzić specjalny predykat istnienia:
E(x) <-> 3y(x = y) [W. V. O. Quine]
Na gruncie tej definicji warunkiem wystarczającym i koniecznym istnienia jakiegoś przedmiotu jest to, aby był on identyczny z przynajmniej jednym przedmiotem należącym do zakresu kwantyfikacji (czyli zbioru przedmiotów, o których w danym języku chcemy mówi). Formuła ta wyraża więc dwie intuicje wiązane z pojęciem istnienia (1) być to być wartością zmiennej (kwantyfikowanej) oraz (2) nie ma istnienia bez identyczności. Takie orzumienie istnienia znajduje w szczególności zastosowanie w filozofii matematyki, mianowicie w tzw. „argumencie z niezbędności” na rzecz realizmu matematycznego: uznając teorie matematyczne – co jest niezbędne we wspólczesnej nauce – uznajemy zarazem istnienie przedmiotów matematycznych należących do zakresów zmiennych kwantyfikowanych w owych teoriach.
[nominalizm przeciwko tej teorii]
[Odzwierciedlenie średniowiecznego dyskursu nt. Istnienia uniwersaliów]
Język KRPI pozwala też na wyrażenie ilości. Korzysta w tym celu z tzw. Kwantyfikatorów ilościowych. Zwykłemu kwantyfikatorowi egzystencjalnego odpowiada zwrot: istnieje co najmniej jeden obiekt, taki że... . Kwantyfikatorom ilościowym odpowiadają zwroty:
· istnieje co najwyżej jeden obiekt, taki że...
· istnieje dokładnie jeden obiekt taki, że...
· istnieją przynajmniej dwa różne obiekty takie, że...
· istnieją co najwyżej dwa obiekty takie, że...
· istnieją dokładnie dwa różne obiekty, takie że...; itd.
Kwantyfikator: istnieje dokładnie jedno 31 [więcej Batóg s. 187)
31xA(x) <-> 3x\-/y[A(x) <-> x = y]
albo
31A(x) <-> 3xA(x) ^ \-/x\-/y[A(x) ^ A(y) -> x=y]
Język KRPI pozwala wprowadzić tzw. Operator deskrypcyjny (jota operator, gr. Litera j -> tutaj i).
Zapisane za jego pomocą wyrażenie nazwowe, zwane deskrypcją (określoną):
(ix)A(x) odzytujemy jako: jedyny taki x, że A(x).
Operator Jota [i] jest operatorem nazwotwórczym od jednego argumentu zdaniowiego (w języku angielskim odpowiada mu rodzajnik „the”).
Np. (ix)(0 < x < 2) [nazwa własna: 1]
(ix) (x wyprowadził Izrealitów z Egiptu) [nazwa własna: Mojżesz]
Wyrażenie (ix)A(x) jest nazwą jednostkową wtw 31xA(x) jest tezą.
Rachunek predykatów z identycznością i operatorem deskrypcyjnym otrzymujemy poprzez:
· dołączenie jako aksjomatu formuły: 31xA(x) -> A(x/(ix)A(x))
bądź
· wzbogacenie reguł dowodzenia o regułę dołączania operatora deskrypcyjnego: 31xA(x) / A(x/(ix)A(x))
Rozwinął tę teorią B. Russell w związku ze sporem, który toczył z austryiackim A. Meinongiem. A. M. Był autorem bogatej ontologii dopuszczającej istnienie przedmiotów fikcyjnych (np. Skrzydlaty koń) i niemożliwych (bo posiadających wykluczający się własności, np. Kwadratowe koło). Chciał on w ten sposob zapewnic odniesienia przedmiotowe wszystkim nazwom. Russell (XX wiek!) analizował zdanie:
Obecny Król Francji jest łysy [ang. The present King of France is bald].
W którym podmiot „obecny król Francji” jest nazwą pustą. Powstaje w związku z tym pytanie, czy zdanie to jest prawdziwe, czy może fałszywe. Parafrazą tego zdania jest formułą:
Ł((ix)K(x)),
Gdzie Ł reprezentuje predykat „jest łysy”, a K reprezentuje predykat „jest obecnym królem Francji”. Jest ona równoważna formule:
3x(K(x) ^ \-/y(K(y) -> y = x) ^ Ł(x)]
które stwierdza, że:
· jest obecnym królem francji
· istnieje dokładnie jeden obecny król francji
· x jest łysy
Zdaniu:
Istnieje dokładnie jeden obecny król Francji:
3x[K(x) ^ \-/y(K(y) -> y = x)]
To zdanie jest ukrytym założeniem, tkwiącym implicite w analizowanej wypowiedzi. Ponieważ jest ono fałszywe...
Zaproponowana przez Russella parafraza pozwala zdać sprawę z dwuznaczności negacji analizowanej wypowiedzi, tj.
~Ł((ix)K(x))
Wyróżnia mianowicie:
· negację szerokozakresową: ~3x(K(x) ^ \-/y(K(y) -> y = x) ^ Ł(x)]obecny król francji nie jest łysy, bo nie istnieje nikt taki.
· Negacje wąskozakresową: 3x(
[artykuł Russella: „Denotowanie” i „Deskrypcje” w: J. Pelc (red.) „Logika i język” PWN 1967; „Mind” poświęcony teorii deskrypcji Russella w j. Ang.]
W przedstawionych dotychczas tezach KRP zmienna wiązana przez kwantyfikator przebiegała dowolne obiekty. Czasami warto przyjąc, że bierze się pod uwagę tylko obiekty z ustalonego wcześniej zbioru. Zrobić to można na dwa sposoby:
· można zawiadomić czytelnika w komentarzu do rozważań, że dalej rozważa się tylko obiekty z ustalonego zbioru.
· Za kwantyfikatorem zamiast samej zmiennej można umieścić warunek, który ma spełnić zmienna, czyli użyć kwantyfikatora o ograniczonyym zakresie.
Często stosuje się te dwie metody równocześnie.
np.
\-/x > 0 (|x| = x); ...
jelonka72